A RITHMÉTIQUE DES POLYNÔMES ET FRACTIONS RATIONNELLES

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A RITHMÉTIQUE DES POLYNÔMES ET FRACTIONS RATIONNELLES

Dans tout ce chapitre,Kest l’un des corpsRouC. Les preuves qui ressemblent trop fort à celles du chapitre « Arithmétique des entiers relatifs » seront souvent omises.

1 F ACTORISATION IRRÉDUCTIBLE SUR R OU C

Définition (Polynôme irréductible) SoitP∈K[X]. On dit quePestirréductible(surK) siP n’estPAS CONSTANTet si ses seuls diviseurs sont 1 etPà constante multiplicative non nulle près.

$ Attention ! . . . irréductibleSURK! Le polynôme X²+1 n’est pas irréductible surCcar : X²+1= (X+i)(X−i), mais nous allons voir qu’il l’est surR.

Exemple Tout polynôme de degré 1 est irréductible.

Démonstration Soit P∈K[X]de degré 1. SoientDun diviseur dePetA∈K[X]pour lesquels : P=AD.

CommeAest non nul : deg(A)¾0, donc : deg(D)¶deg(P). AinsiDest de degré 0 ou 1.

— Si : deg(D) =0, Dest constant non nul.

— Si : deg(D) =1, alors : deg(A) =0, i.e.Aest constant non nula. AussitôtDs’écrit : D= 1 aP.

Comme voulu,Pest irréductible surK.

Le résultat suivant est un théorème d’EXISTENCE facile à démontrer. Il montre que les polynômes irréductibles sont l’analogue polynomial des nombres premiers dansZet des particules élémentaires en physique. Tout polynôme peut être cassé en petits morceaux que l’on ne peut pas casser davantage. Nous aurons plus tard un théorème d’UNICITÉ.

Théorème (Existence de la factorisation irréductible) Tout polynôme non nul deK[X]est le produit d’un élément deK^∗et d’une collection — éventuellement vide — de polynômes irréductiblesUNITAIRESsurK. Une telle écriture est appelé unefactorisation irréductible de P surK.

Démonstration Par récurrence forte sur le degré.

• Initialisation : Les polynômes constants non nuls sont le produit d’eux-mêmes avec. . . rien.

• Hérédité : Soit n ∈N^∗. Faisons l’hypothèse que tout polynôme non nul de K[X]de degré strictement inférieur ànest le produit d’un élément deK^∗et d’une collection de polynômes irréductibles unitaires sur K. SoitP∈K[X]non nul de degrén. Deux cas possibles — soitP est irréductible, soit il ne l’est pas. SiP est irréductible, on obtient la décomposition voulue en factorisant simplement par le coefficient dominant.

Dans le cas contraire : P=AB pour certainsA,B ∈K[X]non nuls de degrés strictement inférieurs à n. Or par hypothèse de récurrence,AetBsont chacun le produit d’un élément deK^∗et d’une collection de

polynômes irréductibles unitaires, doncPaussi par produit.

Il nous reste bien sûr à déterminer tous les polynômes irréductibles deR[X]etC[X]. Déjà, les polynômes de degré 1 le sont. Il se trouve que la réciproque est vraie dansC[X]— autre manière d’énoncer le théorème de d’Alembert-Gauss.

Théorème (Polynômes irréductibles deC[X]et unicité de la factorisation irréductible surC) (i) Les irréductibles deC[X]sont exactement ses polynômes de degré 1.

(ii) La factorisation irréductible d’un polynôme non constant deC[X]coïncide avec sa forme scindée — en particulier, elle est unique.

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Démonstration Pour l’assertion (i), soit P ∈C[X]irréductible. Non constant, P possède une racineλ ∈C d’après le théorème de d’Alembert-Gauss. Ainsi,X−λdiviseP, donc par irréductibilité deP surC,P etX−λ sont associés, doncPest de degré 1. La réciproque a été traitée à l’instant comme un exemple. Que dire à présent des irréductibles deR[X]? La situation reste assez simple, mais moins que surC.

Exemple Tout polynôme deR[X]de degré 2SANS RACINE RÉELLEest irréductible surR— par exempleX²+1.

Démonstration Soit P ∈R[X] de degré 2 sans racine réelle. SoientD un diviseur deP et A∈R[X]pour lesquels : P=AD. Cette fois,Dest de degré 0, 1 ou 2.

— Si : deg(D) =0, Dest constant non nul.

— Si : deg(D) =2, alors : deg(A) =0, i.e.Aest constant non nula. AussitôtDs’écrit : D= 1 aP.

— Enfin,Dpeut-il être de degré 1 ? Si c’était le cas,Dserait de la formeaX+bpour certainsa∈R^∗etb∈R, donc−b

a serait racine dePmais c’est contraire à nos hypothèses.

Comme voulu,Pest irréductible surR.

Théorème (Polynômes irréductibles deR[X]et unicité de la factorisation irréductible surR)

(i) Les irréductibles deR[X]sont exactement ses polynômes de degré 1 et ses polynômes de degré 2 à discriminant strictement négatif, i.e. sans racine réelle.

(ii) La factorisation irréductible d’un polynôme non constant deR[X]est unique. Elle est précisément de la forme : A

Yr i=1

(X−λ_i)^mⁱ× Ys

j=1

X²+b_jX+c_jn_j

avec : — Apour coefficient dominant,

— λ₁, . . . ,λ_rpour racines réelles distinctes de multiplicités respectivesm₁, . . . ,m_r,

— des polynômesX²+b_jX+c_jdistincts et irréductibles surRpour toutj∈¹1,sº, etn_j∈N^∗.

Démonstration

(i) Soit P ∈ R[X] irréductible. Non constant, P possède une racine λ COMPLEXE d’après le théorème de d’Alembert-Gauss et nous savons alors,Pétant à coefficients réels, queλaussi est racine deP.

• Siλest réel, X−λdivisePdansR[X], orPest irréductible surR, doncPetX−λsont associés etP est de degré 1.

• Siλn’est pas réel : λ6=λ, donc : P= (X−λ) X−λ

Q pour un certainQ∈C[X]. Or après développement : P = X²−2 Re(λ)X +|λ|²

Q etX²−2Re(λ)X +|λ|² est à coefficients réels, doncQ aussi par unicité de la division euclidienne dansC[X]. De là, P étant irréductible surR, Pet X²−2 Re(λ)X+|λ|²sont associés, doncPest de degré 2, sans racine réelle.

(ii) SoitP∈R[X]non constant. Nous savons quePest scindéSURC, mais aussi, parce qu’il est à coefficients

RÉELS, que ses racines non réelles peuvent être regroupées par paires de conjuguées de mêmes multiplicités.

Comme en (i), le regroupement de termesX−λetX−λdonne un termeX²−2 Re(λ)X+|λ|²irréductible.

Pour finir, cette factorisation irréductible surRest unique, car si elle ne l’était pas,Paurait plusieurs formes

scindées surC— ce que nous savons être faux.

La factorisation irréductible surRse calcule à partir de la factorisation irréductible surCpar regroupement des racines non réelles par paires de conjuguées.

Exemple La factorisation irréductible deX⁴+16 surCest : X⁴+16=

X−2e⁻^iπ⁴

X−2e^iπ⁴

X−2e⁻^3iπ⁴

X−2e^3iπ⁴ . Quant à sa factorisation irréductible surR: X⁴+16= X²−2p

2X+4

X²+2p 2X+4

. Démonstration

• Factorisation irréductible surC: Qui sont les racines complexes deX⁴+16 ? Pour toutr∈C: r⁴+16=0 ⇐⇒ r⁴=−16=

2e^iπ⁴4

⇐⇒ ∃k∈¹0, 3º, r=2e^iπ⁴⁺^2ikπ⁴ . La factorisation irréductible deX⁴+16 surCen découle — avec ici des racines simples.

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• Factorisation irréductible surR: Il nous reste à regrouper les racines par paires de conjuguées.

X−2e⁻^iπ⁴

X−2e^iπ⁴

=X²−2

e⁻^iπ⁴ +e^iπ⁴

X+4=X²−4 cosπ

4 ×X+4=X²−2p 2X+4 et :

X−2e⁻^3iπ⁴

X−2e^3iπ⁴

=X²−2

e⁻^3iπ⁴ +e^3iπ⁴

X+4=X²−4 cos3π

4 ×X+4=X²+2p 2X+4.

2 PGCD, PPCM

2.1 PGCD

DE DEUX POLYNÔMES

Définition-théorème (PGCD de deux polynômes)

• SoientA,B∈K[X]avec : A6=0 ou B6=0. On appelleplus grand commun diviseur(ouPGCD)de A et B tout diviseur commun deAetBde degré maximal.

• On convient enfin que 0 est le seul PGCD de 0 et 0.

Ceci n’est pour le moment qu’une définition, il se pourrait bien queAetBn’aient pas de PGCD ou qu’ils en aient plusieurs.

Nous pouvons cela dit justifier tout de suite l’existence d’un PGCD dans le cas où : A6=0. L’ensemble desDEGRÉSdes diviseurs communs non nuls deAetBcontient 0 — carAetBsont divisibles par 1 — et il est majoré par deg(A). Partie non vide majorée deN, cet ensemble possède un plus grand élément, à savoir notre PGCD.

Exemple Pour toutA∈K[X], les PGCD deAet 0 sont exactement les associés deA.

Démonstration Si : A6=0, les diviseurs communs deAet 0 sont exactement les diviseurs deAet les diviseurs deAde degré maximal sont exactement ses associés.

Théorème (Idée fondamentale de l’algorithme d’Euclide) Pour tousA,B,K ∈K[X],A+BK etB ont les mêmes diviseurs communs queAetB, et donc aussi les mêmes PGCD.

En particulier, pour tousA,B∈K[X]avec : B6=0, en notantRle reste de la division euclidienne deAparB,BetR ont les mêmes diviseurs communs queAetB.

Démonstration Tout diviseur commun deAetBdivise aussiA+BKetB, et inversement, tout diviseur commun

deA+BK etBdivise aussiA= (A+BK)−BK etB.

Théorème (« Unicité » du PGCD de deux polynômes, diviseurs communs et diviseurs du PGCD) SoientA,B∈K[X].

• Les PGCD deAetBsont associés. Un seul d’entre eux est donc unitaire — ou nul si : A=B=0 — on l’appelle

LEPGCD de A et Bet on le noteA∧B.

• Les diviseurs communs deAetBsont exactement les diviseurs deA∧B.

Démonstration Nous allons mettre en œuvre dans cette preuve un algorithme de calcul du PGCD qu’on appelle l’algorithme d’Euclide. SoientA,B∈K[X]. On peut supposer que : deg(B)¶deg(A) sans perte de généralité.

On définit une suite de polynômesR₀,R₁,R₂. . . de la manière suivante.

— Au départ, on pose : R₀=A et R₁=B.

— Ensuite, pourk∈N,TANT QUE: R_k+16=0, on noteR_k+2le reste de la division euclidienne deR_k par R_k+1— en particulier : deg(R_k+2)<deg(R_k+1).

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À l’issue de cette construction : deg(R₀)¾deg(R₁)>deg(R₂)>. . ., et comme il n’existe qu’un nombreFINI

d’entiers naturels entre 0 et deg(R₀), on obtient forcément : deg(R_N) =−∞ pour un certainN∈N^∗, i.e. : R_N =0 — l’algorithme se termine. Or, en vertu de l’idée fondamentale de l’algorithme d’Euclide,A=R₀et B =R₁ont les mêmes diviseurs communs et les mêmes PGCD queR₁etR₂, puis queR₂ etR₃. . . et enfin que R_N−1etR_N=0. Les PGCD deR_N−1et 0 étant exactement les associés deR_N−1, les diviseurs communs deAetB sont ainsi exactement les diviseurs deR_N₋₁et leurs PGCD sont exactement les associés deR_N−1. En particulier,

les PGCD deAetBsont associés.

Comme on vient de le voir, l’algorithme d’Euclideest un algorithme de calcul du PGCD de deux polynômes. Il a été montré en particulier que : A∧B=R_N−1 oùR_N−1est le dernier polynôme non nul de la listeR₀,R₁,R₂. . . On retiendra ceci :

À une constante multiplicative près,A∧Best leDERNIER RESTE NON NULde la suite des restes successifsR₀,R₁,R₂. . .

Exemple On peut vérifier grâce à l’algorithme d’Euclide que : (X+1)³∧(X+1)²(X+2) = (X+1)². Si vous aimez les calculs :

2X⁴+9X³+12X²+10X+3

∧

2X⁴+X³−2X²+3X+2

=X+1 2.

Théorème (Relations de Bézout pour deux polynômes) SoientA,B∈K[X]. Il existe des polynômesU,V ∈K[X] pour lesquels : A∧B=AU+BV. Une telle relation est appeléeUNErelation de Bézout de A et B.

$ Attention ! Les polynômesUetV ne sont pas du tout uniques.

Démonstration On l’a vu précédemment, on peut toujours se ramener au cas où : deg(B)¶deg(A). On reprend dans cette preuve les restes successifs de l’algorithme d’Euclide en posant : R₀=A et R₁=B et en notant pour toutk ∈N, tant que : R_k+1 6=0, R_k+2 le reste de la division euclidienne deR_k parR_k+1. Le quotient de cette division euclidienne sera quant à lui notéQ_k+2: R_k+2=R_k−Q_k+2R_k+1. La suite ainsi construite est finie de rang finalNpour lequel : R_N=0.

On définit deux nouvelles suites(U_k)₀¶k¶Net(V_k)₀¶k¶Npar : (U₀,V₀) = (1, 0), (U₁,V₁) = (0, 1) et pour tout k∈¹0,N−2º: U_k+2,V_k+2

= U_k−Q_k+2U_k+1,V_k−Q_k+2V_k+1

. Il n’est alors pas dur de voir par récurrence double que pour toutk∈¹0,Nº: R_k=AU_k+BV_k. En particulier : A∧B=R_N₋₁=AU_N₋₁+BV_N₋₁. Le principe de l’algorithme d’Euclide étenduest le même qu’au chapitre « Arithmétique des entiers relatifs » et je ne re- détaillerai pas ici. Cherchons par exemple le PGCD de : A=6X⁴+8X³−7X²−5X−2 et B=6X³−4X²−X−1 ainsi qu’une relation de Bézout associée.

k Q_k R_k=AU_k+BV_k U_k V_k

0 6X⁴+8X³−7X²−5X−2 1 0

1 6X³−4X²−X−1 0 1

2 X+2 2X²−2X 1 −X−2

3 3X+1 X−1 −3X−1 3X²+7X+3

À chaque étape : R_k=AU_k+BV_k.

Relation de Bézout : A∧B =X−1

=−(3X+1)×A+ 3X²+7X+3

×B.

Théorème (Propriétés du PGCD de deux polynômes) SoientA,B,C,K∈K[X].

(i) Associativité : (A∧B)∧C=A∧(B∧C).

(ii) Factorisation par un diviseur commun : (AK)∧(BK)etK(A∧B)sont associés.

Quand on connaît la factorisation irréductible de deux polynômesAetB, on peut déterminerA∧Bsans utiliser l’algorithme de Bézout. Le principe est le même que dansZ.

Exemple

2X(X+1)²(X+2)³

∧

X(X+2)⁴ X²+1

=X(X+2)³.

(5)

2.2 PGCD

D

’

UNE FAMILLE FINIE DE POLYNÔMES

Définition-théorème (PGCD d’une famille finie de polynômes)

• SoientA₁, . . . ,A_r∈K[X]des polynômes dont l’un au moins est non nul. On appelleplus grand commun diviseur (ouPGCD)de A₁, . . . ,A_rtout diviseur commun deA₁, . . . ,A_rde degré maximal.

On peut montrer que les PGCD deA₁, . . . ,A_r sont associés. Un seul d’entre eux est donc unitaire — ou nul si : A₁=. . .=A_r=0 — on l’appelleLEPGCD de A₁, . . . ,A_ret on le noteA₁∧. . .∧A_r.

• On pose enfin pour toutr¾2 : 0∧. . .∧0

| {z }

rfois

=0.

Comme dansZ, le calcul du PGCD d’une famille finie de polynômes peut être ramené à des calculs de PGCD de deux polynômes. Par exemple : X³+4X²+5X+2

∧ X³+4X²+4X

∧ X²−4

= (X+2)∧ X²−4

=X+2.

Théorème (Reprise des résultats précédents dans le cas d’une famille finie de polynômes) SoientA₁, . . . ,A_r∈K[X].

• Les diviseurs communs deA₁, . . . ,A_r sont exactement les diviseurs deA₁∧. . .∧A_r.

• Pour toutK∈K[X],(A₁K)∧. . .∧(A_rK)etK(A₁∧. . .∧A_r)sont associés.

• Il existe des polynômesU₁, . . . ,U_r∈K[X]pour lesquels : A₁∧. . .∧A_r=A₁U₁+. . .+A_rU_r. Une telle relation est appeléeUNErelation de Bézout de A₁, . . . ,A_r.

2.3 P

OLYNÔMES PREMIERS ENTRE EUX

Définition (Polynômes premiers entre eux dans leur ensemble/deux à deux) SoientA,B,A₁, . . . ,A_r∈K[X].

• On dit queAetBsontpremiers entre euxsi 1 est leur seul diviseur commun unitaire, i.e. si : A∧B=1.

• On dit queA₁, . . . ,A_r sontpremiers entre eux dans leur ensemblesi 1 est leur seul diviseur commun unitaire, i.e.

si : A₁∧. . .∧A_r=1.

• On dit queA₁, . . . ,A_rsontpremiers entre eux deux à deuxsiA_ietA_jsont premiers entre eux pour tousi,j∈¹1,rº distincts.

$ Attention ! Premiers entre euxDEUX À DEUX =⇒ Premiers entre euxDANS LEUR ENSEMBLE mais LA RÉ-

CIPROQUE EST FAUSSE! Par exemple,X(X+1),X(X+2)et(X+1)(X+2)sont premiers entre eux dans leur ensembleMAIS: X(X+1)∧X(X+2) =X 6=1, X(X+2)∧(X+1)(X+2) =X+26=1 et (X+1)(X+2)∧X(X+1) =X+16=1.

Théorème (Théorèmes de Bézout et Gauss, conséquences) SoientA,B,C,P,A₁, . . . ,A_r∈K[X].

• Théorème de Bézout : Les assertions suivantes sont équivalentes :

(i) A∧B=1. (ii) Il existe deux polynômesU,V ∈K[X]tels queAU+BV=1.

• Théorème de Gauss : Si : A|BC et si : A∧B=1, alors : A|C.

• Lemme d’Euclide : Pour toutP∈K[X]IRRÉDUCTIBLE : P|AB ⇐⇒ P|A ou P|B.

• Produits de polynômes :

— Si chacun des polynômesA₁, . . . ,A_rest premier avecP, leur produitA₁. . .A_r l’est aussi.

— SiA₁, . . . ,A_rdivisentPet sont premiers entre euxDEUX À DEUX, leur produitA₁. . .A_r diviseP.

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2.4 PPCM

DE DEUX POLYNÔMES

Définition (PPCM de deux polynômes) SoientA,B∈K[X]. On appelleplus petit commun multiple(ouPPCM)de A et Btout polynômeM∈K[X]satisfaisant les deux assertions :

— M est un multiple commun deAetB, — M divise tout multiple commun deAetB.

Théorème (Existence du PPCM et lien avec le PGCD) SoientA,B∈K[X].

• Existence et « unicité » : AetBpossèdent un unique PPCMUNITAIRE OU NULappeléLEPPCM deAetBet noté A∨B, et leurs autres PPCM sont les associés deA∨B, i.e. les polynômesλ(A∨B),λdécrivantK^∗.

• Lien avec le PGCD : Les polynômesABet(A∧B) (A∨B)sont associés.

Quand on connaît la factorisation irréductible de deux polynômesAetB, on peut déterminerA∨Bsans utiliser l’algorithme de Bézout. Le principe est le même que dansZ.

Exemple

3X²(X+1)

∨

X⁴(X+2)²

=X⁴(X+1)(X+2)².

3 F RACTIONS RATIONNELLES

Nous avons déjà parlé informellement des fractions rationnelles en début d’année au chapitre « Introduction à la dé- composition en éléments simples », mais nous ne connaissions alors pas la notion de polynôme formel et tous nos résultats étaient admis. Nous sommes à présent en mesure de les fonder proprement.

3.1 C

ONSTRUCTION DES FRACTIONS RATIONNELLES

Définition (EnsembleK(X)) On construit dans la preuve ci-dessous un ensembleK(X)satisfaisant les trois assertions suivantes :

— À tout couple(A,B)∈K[X]²avecBnon nul, on peut associer un unique élément deK(X)noté A B.

— Tout élément deK(X)peut être écrit sous la forme A

B pour certainsA,B∈K[X]avecBnon nul.

— Pour tous(A,B),(C,D)∈K[X]²avecBetDnon nuls : A B = C

D ⇐⇒ AD=BC.

Les éléments deK(X)sont appelés lesfractions rationnelles à coefficients dansK.

Démonstration Notons F l’ensembleK[X]×

K[X]\ 0

. On définit sur F une relation binaire∼ de la manière suivante — pour tous(A,B),(C,D)∈ F : (A,B)∼(C,D) ⇐⇒ AD=BC. Il se trouve alors que cette relation∼est une relation d’équivalence.

• Réflexivité : Pour tout(A,B)∈ F : AB=AB donc : (A,B)∼(A,B).

• Transitivité : Soient(A,B),(C,D),(E,F)∈ F pour lesquels : (A,B) ∼(C,D) et (C,D)∼ (E,F).

Aussitôt : AD=BC et C F=DE, donc : ADF=BC F=BDE. OrK[X]est intègre et : D6=0, donc : AF=BE, i.e. : (A,B)∼(E,F).

• Symétrie : Pour tous(A,B),(C,D)∈ F, si : (A,B)∼(C,D), alors : AD=BC, donc : C B=DA, i.e. : (C,D)∼(A,B).

On note finalementK(X)l’ensemble quotient deF par∼et, pour tout(A,B)∈ F, A

B la classe d’équivalence de (A,B)associée. L’ensemble ainsi construit satisfait par définition toutes les propriétés désirées. Remarquez bien que la notation « fraction » n’est qu’une NOTATIONpour désigner une classe d’équivalence — mais à vrai dire,

c’est une remarque que vous pouvez oublier.

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Exemple DansR(X), les fractions 1

X et X+1

X(X+1) sont égales car : 1×X(X+1) =X×(X+1).

Définition (Structure de corps surK(X)) On munitK(X)de deux lois internes+et×qui en font un corps en posant pour tous(A,B),(C,D)∈K[X]²avecB etDnon nuls :

A B +C

D =AD+BC

BD et A

B×C D= AC

BD, définitions possibles car les fractionsAD+BC

BD et AC

BD dépendent de A B et C

D sans dépendre du choix de(A,B)et(C,D).

Démonstration SoientA,B,C,D,E,F ∈K[X]avecB,DetF non nuls.

• Bonne définition de+et×: Pourquoi d’abord y a-t-il un problème de définition ? Les fractions A B et C sont définies à l’aide de quatre polynômes précisA,B,C,D, mais une fraction a plein d’écritures possibles,D disons : A

B = Ae e

B et C D = Ce

e

D avecA,eB,e C,e De ∈K[X]etBeet eDnon nuls. Si nous voulons que les définitions de+et×aient un sens, nous devons nous assurer que les deux égalités suivantes sont vraies : AD+BC

BD = AeeD+BeCe

BeeD et AC BD = AeeC

BeeD. Or par définition de∼:

AC×eBDe=AeB×CDe=BAe×DCe=BD×AeeC et : (AD+BC)×BeDe=AeB×DeD+BBe×CDe=BAe×DeD+BBe×DCe=BD× AeeD+BeCe

.

• Commutativité de+: A B+ C

D=AD+BC

BD = C B+DA DB = C

D+ A B.

• Associativité de+:

A B +C

D

+E

F =AD+BC BD + E

F =(AD+BC)F+ (BD)E (BD)F

=A(DF) +B(C F+DE) B(DF) = A

B +C F+DE DF = A

B +

C D+E

F

.

• Neutralité de 0

1 pour+: A B+0

1= A×1+B×0 B×1 = A

B et de même : 0 1+A

B = A B.

• Inverses pour+: A B+−A

B =AB+B(−A) B² = 0

B² =0

1 et de même : −A B + A

B =0 1.

• À ce stade, K(X),+

est un groupe commutatif d’élément neutre 0

1. Pour montrer que K(X),+,× est un anneau, on peut montrer de même que K(X),×

est un magma associatif d’élément neutre 1 1 et que

×est distributive sur+. Enfin, pour montrer que K(X),+,×

est un corps, on peut montrer que× est commutative et que toute fraction non nulle A

B admet un inverse, en l’occurrence B

A.

Théorème (Les polynômes sont des fractions rationnelles) On identifie tout polynôme P ∈K[X]à la fraction rationnelle P

1. Cette identification fait deK[X]un sous-anneau deK(X).

Démonstration

• Pseudo-inclusion : L’applicationP7−→ P

1 est injective deK[X]dansK(X)car pour tousP,Q∈K[X], si : P

1 =Q

1, alors : P=P×1=1×Q=Q. On peut donc voirK[X]comme une partie deK(X).

• Cohérence des notations+et×: SoientP,Q∈K[X]. C’est bien beau de vouloir voirPetQcomme des fractions, le problème c’est queP+QetP×Qdésignent alors à la fois des objets dansK[X]et des objets dansK(X)— peut-être différents. Tout se passe pour le mieux heureusement, car :

P 1 +Q

1 = P×1+1×Q

1×1 = P+Q

1 et P

1×Q 1 = PQ

1×1= P×Q 1 .

• Sous-anneau : Avec notre identification : K[X] =

§P 1

P∈K[X] ª

. Ainsi : 1

1 =1∈K[X] et K[X]est stable par différence et produit car : P

1 − Q

1 = P−Q

1 ∈K[X] et P

1 ×Q 1 = PQ

1 ∈K[X]

pour tousP,Q∈K[X].

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Théorème (Structure d’espace vectoriel deK(X)) Parce que tout élément deKpeut être identifié à un polynôme et donc à une fraction rationnelle, on sait multiplier toute fraction rationnelle deK(X)par un scalaire. Cette identification fait deK(X)unK-espace vectoriel.

Dans tout ce qui suit, quand nous écrirons sans préciser : R= A

B, il sera sous-entendu que : (A,B)∈K[X]² et B6=0. Les résultats qui suivent seront admis par souci d’efficacité.

Définition (Forme irréductible d’une fraction rationnelle) SoitR∈K(X). On appelleforme irréductible de Rtoute écriture deRde la forme : R= A

B avecAetBpremiers entre eux. Une telle écriture est toujours possible, et unique à multiplication près par des scalaires non nuls.

Exemple L’écriture X²+1

(X+1)²

X(X+1) n’est pas irréductible, mais l’écriture X²+1 (X+1)

X l’est.

Définition (Dérivée d’une fraction rationnelle)

• SoitR= A

B ∈K(X). La fraction rationnelle A^′B−AB^′

B² dépend deRsans dépendre du choix de(A,B). On l’appelle ladérivée de Ret on la noteR^′.

• Pour tousR,S∈K(X): (R+S)^′=R^′+S^′, (RS)^′=R^′S+RS^′ et siSest non nulle :

R S

_′

=R^′S−RS^′ S² . En outre, la dérivée d’un polynôme coïncide avec sa dérivée comme fraction rationnelle.

Exemple

+∞

X

k=0

k 7^k = 7

36.

Démonstration Dérivons pour toutn∈Nla relation : Xn k=0

X^k=1−Xⁿ⁺¹

1−X dansK(X).

Cela donne : Xn k=0

kX^k−1 = −(n+1)Xⁿ(1−X) + 1−Xⁿ⁺¹

(1−X)² = 1+nXⁿ⁺¹−(n+1)Xⁿ

(1−X)² . Multiplions par X : Xn

k=0

kX^k= X (1−X)²

1+nXⁿ⁺¹−(n+1)Xⁿ

, puis évaluons en 1 7 :

Xn k=0

k 7^k = 7

36

1+ n

7ⁿ⁺¹−n+1 7ⁿ

. Il ne reste plus qu’à passer à la limite.

Définition (Degré d’une fraction rationnelle)

• SoitR= A

B ∈K(X). La quantité deg(A)−deg(B)dépend deRsans dépendre du choix de(A,B). On l’appelle le degré de Ret on la note deg(R). Le degré d’une fraction rationnelle est ainsi soit un entierRELATIF, soit−∞.

• Pour tousR,S∈K(X): deg(R+S)¶max

deg(R), deg(S) et deg(RS) =deg(R) +deg(S).

En outre, le degré d’un polynôme coïncide avec son degré comme fraction rationnelle.

$ Attention ! Une fraction rationnelle peut être de degré positif sans être un polynôme. C’est le cas de la fraction rationnelle X⁴+X³+1

X²+3 , de degré 4−2=2.

Définition (Fonction rationnelle) SoitR= A

B ∈K(X)IRRÉDUCTIBLE. La fonctionx7−→ A(x)

B(x) définie surKprivé des racines deB est appelée lafonction rationnelle associée à Ret encore notéeR— définition possible car cette fonction dépend deRsans dépendre du choix de(A,B).

(9)

On impose ici à l’écriture : R= A

B d’être irréductible pour que le dénominateur deRait le moins de racines possible, et donc pour queR, comme fonction, soit définie sur le plus grand ensemble possible. Par exemple, la fonctionx7−→ x³+x+1

x−1 est définie surR\

1 mais la fonctionx7−→ x x³+x+1

x(x−1) l’est seulement surR\ 0, 1 .

Définition (Zéros et pôles d’une fraction rationnelle, multiplicité) SoitR= A

B ∈K(X)IRRÉDUCTIBLE.

• Soitλ∈K. On dit queλest unzéro de Rsiλest une racine deA. La multiplicité deλdansAest alors appelée la multiplicité deλdans R.

• Soitµ∈K. On dit queµest unpôle de Rsiµest une racine deB. La multiplicité deµdansBest alors appelée lamultiplicité deµdans R. Un pôle de multiplicité 1 (resp. 2) est aussi appelé un pôlesimple(resp.double).

On impose ici à l’écriture : R= A

B d’être irréductible pour qu’il ne soit pas possible de confondre les zéros et les pôles deR. QuandAetBsont premiers entre eux, il est certain en effet qu’ils n’ont pas de racine commune.

Exemple DansR(X), la fraction X²+1

(X−2)³(X+1)X

(X−1)² X²+X+1 a pour zéros les réels−1, 0 et 2 et pour pôle le seul réel 1. La multiplicité de 2 est égale à 3, celle de 1 est 2, etc.

Théorème (Partie entière) Soit R= A

B ∈K(X). Il existe un unique polynôme E ∈K[X]et une unique fraction rationnelleQ∈K(X)pour lesquels : R=E+Q et deg(Q)<0. Le polynômeEest appelé lapartie entière de R et n’est autre que le quotient de la division euclidienne deAparB.

En particulier, la partie entière deRest nulle si : deg(R)<0.

Démonstration

• Existence : NotonsEle quotient de la division euclidienne deAparBetFson reste, et posons : Q= F B. Alors d’une part : R= A

B = EB+F

B =E+Q, mais d’autre part : deg(Q) =deg(F)−deg(B)<0.

• Unicité : Soient : R=E+Q et R=Ee+Qe deux décompositions deR. LePOLYNÔME E−eEest de degré : degQe−Q

¶max¦ degQe

, deg(Q)©

<0, donc est nul, donc : E=eE, puis : Q=Q.e

Exemple La partie entière de la fraction X⁴−3X³+5X²−1

X²−3X+1 estX²+4.

Démonstration Simple division euclidienne : X⁴−3X³+5X²−1= X²−3X+1

X²+4

+12X−5.

3.2 D

ÉCOMPOSITION EN ÉLÉMENTS SIMPLES SUR

R

OU

C

Théorème (Décomposition en éléments simples surC) SoitR∈ C(X)de partie entière E et de pôles distincts λ₁, . . . ,λ_r de multiplicités respectivesm₁, . . . ,m_r. Il existe une et une seule famille(a_ik)1¶i¶r

1¶k¶m_i de nombres complexes pour laquelle :

R=E

On n’oublie pas la partie entière !

+ Xr

i=1 mi

X

k=1

a_ik (X−λ_i)^k.

| {z }

Partie polaire associée au pôleλ_i

Cette décomposition deR est appelée sa décomposition en éléments simples surC.

Démonstration Démonstration hors programme, mais il n’est pas inintéressant de comprendre l’EXISTENCEde la décomposition. Écrivons pour cela : R= A

B avecA∈C[X]et : B= (X−λ₁)^m¹. . .(X−λ_r)^m^r.

(10)

• LesPOLYNÔMES B

(X−λ₁)^m¹, . . . , B

(X−λ_r)^m^r sont premiers entre eux dans leur ensemble, donc pour certains U₁, . . . ,U_r∈C[X]: 1=

Xr i=1

BU_i

(X−λ_i)^mⁱ — relation de Bézout. Multiplions parR: R= Xr

i=1

AU_i (X−λ_i)^mⁱ.

• Pour touti∈¹1,rº, la division euclidienne deAU_ipar(X−λ_i)^mⁱ s’écrit : AU_i= (X−λ_i)^mⁱE_i+R_i pour certainsE_i∈C[X]etR_i∈C_m

i−1[X].

• Pour touti∈¹1,rº, décomposonsR_idans la base

(X−λ_i)^mⁱ^−k

1¶k¶m_i deC_m

i−1[X]. Il existe des scalaires a_i1, . . . ,a_im_i ∈Cpour lesquels : R_i=

m_i

X

k=1

a_ik(X−λ_i)^mⁱ^−k. Il nous reste à conclure : R= A

B = Xr

i=1

AU_i (X−λ_i)^mⁱ =

Xr i=1

(X−λ_i)^mⁱE_i+R_i (X−λ_i)^mⁱ =

Xr i=1

E_i

| {z }

Polynôme

+ Xr

i=1

R_i (X−λ_i)^mⁱ

| {z }

Fraction de degré strictement négatif

=E+ Xr

i=1 mi

X

k=1

a_ik

(X−λ_i)^k.

Exemple Dans les exemples suivants, on a pris soin de faire apparaître la partie entière même quand elle est nulle. Les fractions proposées étant en outre à coefficientsRÉELS, elles sont égales à leur conjuguée, raison pour laquelle, par unicité de la décomposition en éléments simples certains coefficients sont égaux à conjugaison près tandis que d’autres sont réels.

• Pour un certaina∈C: X³+4X²+1

X²+1 =X+4+ a X−i+ a

X+i.

• Pour certainsa,b,c,d∈Rete∈C: X⁴+X+1

X(X−5)³ X²+4=0+ a X + b

(X−5)³+ c

(X−5)²+ d

X−5+ e

X−2i+ e X+2i.

• Pour certainsa∈Retb,c∈C: 1

X X²+X+12 =0+ a X + b

(X−j)²+ c

X−j+ b

X−j2+ c X−j.

Théorème (Décomposition en éléments simples surR) SoitR= A

B ∈R(X)IRRÉDUCTIBLEde partie entièreE. On introduit la factorisation irréductible deB, avec des notations évidentes : B=β

Yr i=1

(X−λ_i)^mⁱ Ys

j=1

X²+b_jX+c_jnj

. Il existe des familles uniques(a_ik)1¶i¶r

1¶k¶m_i,(u_jk)1¶j¶s 1¶k¶nj

et(v_jk)1¶j¶s 1¶k¶nj

de réels pour lesquelles : R=E

On n’oublie pas la partie entière !

+ Xr i=1

mi

X

k=1

a_ik (X−λ_i)^k

| {z }

Partie polaire associée au pôleλi

+ Xs

j=1 n_j

X

k=1

u_jkX+v_jk

X²+b_jX+c_jk. Cette décomposition deR est appelée sa décomposition en éléments simples surR.

Démonstration Hors programme.

Exemple On reprend ci-dessous les exemples précédents, comparez !

• Pour certainsa^′,b^′∈R: X³+4X²+1

X²+1 =X+4+a^′X+b^′ X²+1 .

• Pour certainsa^′,b^′,c^′,d^′,e^′,f^′∈R: X⁴+X+1

X(X−5)³ X²+4 =0+a^′

X + b^′

(X−5)³+ c^′

(X−5)²+ d^′

X−5+ e^′X+f^′ X²+4 .

• Pour certainsa^′,b^′,c^′,d^′,e^′∈R: 1

X X²+X+12=0+ a^′

X + b^′X+c^′

X²+X+12+ d^′X+e^′ X²+X+1.

Pour le calcul pratique des coefficients, nous avions quatre techniques en début d’année :

— multiplier par(X−λ)^mpuis évaluer enλ,

— multiplier parX puis passer à la limite en+∞,

— évaluer en un point,

— mettre au même dénominateur et identifier.

(11)

Exemple X²+3X+1

(X−1)²(X−2)=− 5

(X−1)²− 10

X−1+ 11 X−2. Démonstration

• Forme de la décomposition en éléments simples surR: La partie entière est nulle, donc pour certains a,b,c∈R: Æ X²+3X+1

(X−1)²(X−2)= a

(X−1)²+ b

X−1+ c X−2.

• Calcul dea: On multiplieÆpar(X−1)²puis on évalue en 1 : a=−5.

• Calcul dec: On multiplieÆparX−2 puis on évalue en 2 : c=11.

• Calcul deb: On multiplieÆparX puis on passe à la limite en+∞: b+c=1, doncb=−10.

Le théorème qui suit est spécifique auxPÔLES SIMPLESet pratique quand le dénominateur est écrit sous forme développée.

Théorème (Partie polaire associée à un pôle simple) SoientR= A

B ∈C(X)IRRÉDUCTIBLEetλ∈C.

Siλest un PÔLE SIMPLE deRde partie polaire associée a

X−λ aveca∈C, alors : a= A(λ) B^′(λ).

Démonstration Commeλest pôle simple deR: B= (X−λ)C pour un certainC∈K[X]avec : C(λ)6=0 et la décomposition en éléments simples de Rsur C s’écrit : R = a

X−λ +Q pour une certaine fraction Q∈C(X)n’admettant pasλpour pôle. Aussitôt : A

C = (X−λ)R=a+ (X−λ)Q, donc enλ: a= A(λ) C(λ), mais par ailleurs : B^′=C+ (X−λ)C^′, donc : B^′(λ) =C(λ), donc en effet : a= A(λ)

C(λ)= A(λ) B^′(λ).

Exemple Pour toutn∈N^∗: 1 Xⁿ−1=1

n X

ω∈U_n

ω X−ω. Démonstration Les pôles de 1

Xⁿ−1 sont les racinesn^èmes de l’unité et sont tousSIMPLES. La partie entière étant par ailleurs nulle : 1

Xⁿ−1= X

ω∈U_n

a_ω

X−ω pour une certaine famille(a_ω)_ω_∈U_n∈Cⁿ.

Soitω∈U_nfixé. La technique de multiplication/évaluation serait ici pénible à mettre en œuvre — essayez pour comprendre — nous allons nous en sortir grâce au théorème précédent. On peut écrire : 1

Xⁿ−1= A

B avec : A=1 et B=Xⁿ−1. Ainsi,ωétantPÔLE SIMPLE: a_ω= A(ω)

B^′(ω)= 1 nωⁿ⁻¹

ωⁿ=1

= ω n.

Quand les pôlesNON RÉELSd’une fractionRÉELLEsont SIMPLES, on peut obtenir la décomposition en éléments simples surRfacilement à partir de la décomposition en éléments simples surCen regroupant les parties polaires conjuguées.

Exemple Z ¹₂

0

t⁵dt t⁴−1= 1

8+1 4 ln3

5. Démonstration

• Décomposition en éléments simples surC: La partie entière est nulle, donc pour certainsa,b∈Ret c∈C: Æ X⁵

X⁴−1= X⁵

(X−1)(X+1)(X−i)(X+i)=X+ a

X−1+ b

X+1+ c X−i+ c

X+i, et les pôles étantSIMPLES: a= X⁵

X⁴−1_′(1) = 1

4, b= X⁵

X⁴−1_′(−1) = 1

4 et c= X⁵

X⁴−1_′(i) =−1 4.

• Décomposition en éléments simples surR: On regroupe ! X⁵

X⁴−1=X+1 4

1

X−1+ 1

X+1− 1 X−i− 1

X+i

=X+1 4

1

X−1+ 1

X+1− 2X X²+1

.

• Calcul de l’intégrale : Z ¹₂

0

t⁵dt t⁴−1 =

t² 2 +1

4

ln(1−t) +ln(t+1)−ln t²+1t=1 2 t=0

= t²

2 +1

4 ln1−t² 1+t²

t=1 2 t=0

= 1 8+1

4 ln3 5.

(12)

Exemple Pour toutn∈N^∗, 1

X²ⁿ−1 a pour décomposition en éléments simples surR: 1

X²ⁿ−1= 1

2n(X−1)− 1

2n(X+1)+1 n

Xn−1 k=1

Xcoskπ n −1 X²−2Xcoskπ

n +1 .

Démonstration Nous avons déjà calculé la décomposition en éléments simples surC, elle admet−1 et 1 pour seuls pôles réels, les autres peuvent être regroupés par paires de conjugués.

1

X²ⁿ−1 = 1 2n

2nX−1 k=0

e^2ikπ²ⁿ X−e^2ikπ²ⁿ

= 1 2n

2nX−1 k=0

e^ikπⁿ X−e^ikπⁿ

= 1 2n

1

X−1− 1 X+1+

n−1

X

k=1

e^ikπⁿ X−e^ikπⁿ

+ e⁻^ikπⁿ X−e⁻^ikπⁿ

= 1

2n(X−1)− 1

2n(X +1)+ 1 2n

n−1

X

k=1

e^ikπⁿ

X−e⁻^ikπⁿ

+e⁻^ikπⁿ

X−e^ikπⁿ

X−e⁻^ikπⁿ

= 1

2n(X−1)− 1

2n(X +1)+ 1 2n

n−1

X

k=1

2Xcoskπ n −2 X²−2Xcoskπ

n +1

= 1

2n(X−1)− 1

2n(X+1)+1 n

n−1

X

k=1

Xcoskπ n −1 X²−2Xcoskπ

n +1 .