Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 22 (26/04 – 30/04) Colles à distance
Rappel : les vacances étant avancées d’une semaine, la semaine 22 est décalée de deux semaines, il n’y aura donc pas de colle la semaine du 12/04 au 16/04.
En fin de colle, vous pouvez poser un exercice de révision sur l’un des thèmes suivants : analyse globale, formules de Taylor, DL, arithmétique, groupes symétriques.
Chapitre 15 : Séries
1. Notion de série et de convergence
‚ Série, somme partielle.
‚ Convergence, divergence, nature d’une série. Somme, reste.
‚ Cas d’une somme infinie.
‚ Deux séries ne différant que d’un nombre fini de termes ont même nature.
‚ CN de convergence sur le tg ; divergence grossière. Toute divergece n’est pas grossière. Exemple de la série harmonique (DV déjà étudiée par condensation lors de l’étude duln, démonstration à revoir).
‚ Linéarité.
2. Séries à termes positifs
‚ Croissance de la somme partielle, convergence dansR.
‚ TCSTP par inégalité
‚ CVA, CVA implique CV (avec parties positives et négatives, les suites de Cauchy étant HP)
‚ TCSTP parO,o, équivalent.
‚ Contre-exemple pour la comparaison par équivalents sans l’hypothèse de positivité.
‚ Comparaison série/intégrale
‚ Séries de référence : géométriques, exponentielles, Riemann, Bertrand (ces dernières ne sont pas explicitement au programme).
‚ Comparaison avec une série de Riemann : règlenαun
‚ Comparaison avec une série géométrique : règle de d’Alembert.
3. Séries semi-convergentes
‚ Exemple de série semi-convergente : série harmonique alternée (démonstration déjà faite lors de l’étude des suites adjacentes)
‚ Plus généralement : CSCSA ou TSCSA (démonstration faite lors de l’étude des suites adjacentes, à revoir)
‚ (HP) Critère d’Abel.
4. Calculs de sommes
‚ Sommesř
Ppnqxn,P PRrXs, en se ramenant au binôme négatif (connu mais non démontré)
‚ Sommesř
Ppnqxn!n en se ramenant à des séries exponentielles.
5. Familles sommables
PAS D’EXERCICE SUR LE SUJET
‚ Problème de commutativité de termes. Cas des séries positives, des séries absolument convergentes.
‚ Familles (absolument) sommables (uniquement défini dans le cas dénombrable). Somme (défini par une énumération)
‚ Principales propriétés (expression par le sup pour les familles positives, cas des sous-familles, linéarité)
‚ Théorème d’associativité (groupements de termes) (démonstration non exigible)
‚ Théorème de Fubini.
Chapitre 22 : Polynômes et fractions rationnelles
PAS ENCORE D’EXERCICES SUR CE CHAPITRE CETTE SEMAINE. UNIQUEMENT LE COURS.
1. Polynômes à coefficients dans un anneau commutatif (NB : au programme, seulement le cas d’un corps)
‚ Notion de polynôme formel, défini comme suite à support fini de ses coefficients.
‚ Somme, produit de polynômes
‚ Structure d’anneau deArXs.
‚ Indéterminée formelle, notation X, expression du monôme Xn. Expression d’un polynôme comme somme de monômes.
‚ Principe d’identification
‚ Composition
‚ Dérivation formelle. Linéarité de la dérivation. Dérivée de produits, Leibniz, dérivée dePn, dérivée d’une composée de deux polynômes.
‚ Degré, valuation. Monôme dominant, coefficient dominant, polynôme unitaire.
‚ Degré d’une somme, d’un produit. CasAintègre.
‚ Théorème de permanence de l’intégrité.
‚ Degré d’une dérivée. Cas d’un corps de caractéristique nulle.
‚ Existence et unicité à constante près de primitives formelles dans un corps de caractéristique nulle.
2. Arithmétique dansKrXs On suppose ici queKest un corps.
‚ Division euclidienne dansKrXs.
‚ Idéaux deKrXs.KrXsest principal.
‚ Divisibilité, caractérisation par idéaux. Polynômes associés.
‚ PGCD, PPCM, relation de Bézout, algorithme d’Euclide.
‚ Distributivité du produit sur le pgcd et le ppcm.
‚ Polynômes premiers entre eux. Lemme de Gauss.
‚ Polynômes irréductibles. Lemme d’Euclide. Décomposition en produit de polynômes irréductibles.
3. Évaluation et racines d’un polynôme deArXs Aest ici un anneau commutatif.
‚ Notion de spécialisation en un élément d’uneA-algèbre (aucune connaissance approfondie n’est exigible, les élèves doivent avoir compris l’idée intuitive de spécialisation)
‚ Évaluation d’un polynôme en aP A. Fonction polynomiale associée à un polynôme formel. Ensemble des fonctions polynomiales. L’évaluationϕest un morphisme surjectif d’anneaux.
‚ SiA“RouC, l’évaluationϕest un isomorphisme d’anneaux (démonstration analytique, ce sera généralisé plus loin pour les corps infinis)
‚ Contre-exemple dans le casA“Fp.
‚ La dérivation commute avec l’évaluation.
‚ Racine, caractérisation par la divisibilité (au programme : sur un corps).
‚ Multiplicité d’une racine. Formule de Taylor (sur un corps de caractéristique nulle). Caractérisation de la multiplicité par les dérivées successives (surKde caractéristique nulle)
‚ On suppose à partir d’ici queKest un corps. Le nombre maximal de racines estdegpPq.
‚ Théorème de rigidité des polynômes (si P P KnrXs admet plus de n racines, alors P “ 0, et toutes les variantes imaginables).
‚ SiKest infini, l’évaluation polynomiale est un isomorphisme.
‚ Polynômes d’interpolation de Lagrange. Existence et unicité d’un polynôme deKn´1rXsprenant des valeurs imposées ennpoints. Polynôme d’interpolation d’une fonction associée à une famille finiepxiqiPv1,nw.
‚ Polynômes scindés. Relations de Viète (coefficients/racines).
4. Polynômes irréductibles dans CrXs etRrXs
‚ Théorème de d’Alembert-Gauss (admis)
‚ Tout polynôme deCrXsest scindé. Description des éléments irréductibles deCrXs.
‚ Caractérisation de la divisibilité par les racines dansCrXs.
‚ Caractérisation dans CrXsdes polynômes de RrXs (par commutation avec la conjugaison, par l’image de l’axe réel)
‚ SirPCest racine deP PRrXs, alorsraussi, de même multiplicité.
‚ Polynômes irréductibles de RrXs. Factorisation dansRrXs.
5. Fractions rationnelles
‚ Généralités
˚ Définition deKpXq.
˚ Définition des loisˆet`
˚ Structure de corps deKpXq
˚ Injection canoniqueKrXsãÑKpXq; via l’indentification de P1 et P, on considèreKrXs ĂKpXq.
˚ Simplification des fractions
‚ Degré, racines, pôles
˚ Degré.
˚ Degré d’une somme, d’un produit, d’un inverse.
˚ Partie entière (ou partie polynomiale)
˚ Racine, pôle, multiplicité.
˚ Fonction rationnelle associée, et domaine de définition.
‚ Décomposition en éléments simples
˚ Partie entière (polynomiale) d’une fraction rationnelle.
˚ Séparation des parties associées à chaque facteur irréductible : F“E`ÿ Qi
Piαi.
˚ DécompositionQ“ř
RjPiβ,degpRjq ădegP.
˚ DÉS dansKrXs.
˚ Expression de la DÉS dansCrXs.
˚ Expression du coefficient à l’aide de P et Q1 pour un pôle simple. Expression par multiplication et évaluation.
˚ Utilisation de DL pour des pôles multiples (la validité du DL de la variable complexe est admise ; elle peut être justifiée par la formule de sommation des séries géométriques). La division suivant les puissances croissantes n’est pas au programme et n’a pas été évoquée.
˚ DÉS de PP1 dansCrXs, (ou dansRrXssiP scindé)
˚ DÉS dansRrXs
6. Intégration des fractions rationnelles
La méthode a été explicitée. Se limiter à des situations pas trop complexes. Évitez les exercices excessivement techniques.
