On considère la série de sommes suivante.
S1 = 1 ; S2 =11
2 ; S3 =11 21
3 ; S4 =11 21
31
4 ; S5 =11 21
31 41
5 Cette série s'appelle la série harmonique. Elle joue un rôle très important en mathématiques.
a. Donne la valeur exacte de chacune de ces sommes.
b. Exprime S6 en fonction S5. Quelle est la valeur exacte de S6 ?
On veut obtenir une valeur approchée des 1 000 premiers termes de cette série, à l'aide du tableur.
c. Pour cela, recopie la feuille de calcul ci-dessous.
Dans la colonne A, écris tous les entiers jusque 1 000.
Dans la colonne B, programme les cellules pour qu'elles calculent la fraction 1/n.
d. Quelle formule faut-il saisir en C3 pour obtenir la somme S2 ? Recopie alors cette formule vers le bas.
e. À partir de quel terme de la série la somme dépasse-t-elle 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? À ton avis, la somme dépassera-t-elle 10 ? 100 ?
On considère maintenant la série de sommes suivante.
S '1 = 1 ; S '2 =1−1
2 ; S '3 =1−1 21
3 ; S '4 =1−1 21
3−1
4 ; S '5 =1−1 21
3−1 41
5 Cette série s'appelle la série harmonique alternée.
f. Donne la valeur exacte de chacune de ces sommes.
g. Exprime S '6 en fonction S '5. Quelle est la valeur exacte de S '6 ? h. Dans une nouvelle feuille de
calcul, construis la feuille ci-contre et complète-la.
i. Combien vaut le 100e terme de la série ? Le 1 000e ?
À ton avis, comment évoluent les termes de cette série ?
j. Il a été démontré que les termes de cette série se rapprochent de plus en plus du nombre 0,69314718... et qu'aucun terme de la série (à part le premier) est un nombre entier. Vérifie ces deux affirmations à l'aide de ta feuille de calcul.
N2 • Fractions : comparaison et addition
36
Série de sommes
TICE Tableur
