Sur la série harmonique

(1)

N OUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES

E. C ESÀRO

Sur la série harmonique

Nouvelles annales de mathématiques 3

^e

série, tome 4 (1885), p. 295-296

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(2)

SIR LA SÉRIE HARMONIQUE;

P\R M. E. CESARO.

1. Désignons par Hw la somme des /? premiers terme*

de la série harmonique. Si l'on pose;

I l I I I I i »3 5 /?° 7 n'

on a, d'après une formule connue,

, n — i i n — i n \

Si, dans eette formule, on change n en n — i, n — 2, ..., 3, 2, on obtient, par addition,

?i(n -;- \) / i i / = 2( i

ou bien

O)

2. Pour calculer Sn_^ étudions la série u{, M2

^«_<. On a

1 / 1

3

On obtient, par addition,

5« - ' < 72-

(3)

Donc Sn i tend, vers une limite S, inférieure à -~. Les

«termes élant positifs, on a ('2) S,, ! CS.

D'autre part, on trouve de la même façon

S •

d'où

1 ^ (\n{n — i)

Des inégalités (2) et (3), il résulte qu'on peut poser

Q étant compris entre o et 1.

3. Si, dans (1), on remplace S,, , par sa valeur, on obtient

/ / / ( / / i ) 0

ou bien

( f ) H „ = C - 1 \/n(n - i j - i - -

bn( /i -4- 1 )

C est une constante. Celte constante, qui porte le nom de constante d'Euler, est égale à o, 577215664. . . .

Remarqua. — La formule (4) donne H,; avec une erreur moindre que -—-• On trouve, par exemple,

, _ _ . . . _, = 1 4 » ^)-