R.Flouret
Série Harmonique
Ce document présente différentes façons de montrer que
∑
=+∞+∞ =
→ n
n k 1k
lim 1 . Pour cela, on pose
∑
=
= n
k
n k
H
1
1
1ère méthode :
2 1 2 2
1
1 2
1 2
1
2 − =
∑
≥∑
= =+
= +
= n
n n H k
H
n
n k n
n k n n
Comme 0
1 1
1 >
= +
+ − H n
Hn n , on en déduit que la suite (Hn) est croissante.
Supposons que (Hn) converge vers l . On aurait alors lim 2 − = − =0
+∞
→ H n Hn l l
n et
2 1
2n −Hn =
H Absurde !
On en déduit que (Hn) diverge. Comme elle est croissante, on en déduit que
∑
=+∞+∞ =
→ n
n k 1k
lim 1
2ième méthode :
On utilise l’inégalité classique : x
x
x≥ + ≤
∀ 0,ln(1 ) .
On a donc
k k
) 1 1 1
ln( + ≤ . Or 1) ln( 1) ln( ) 1
ln( k k
k = + −
+
On en déduit par sommation et téléscopage que ln(n+1)≤Hn. Par passage à la limite, on obtient le résultat.
3ième méthode :
], 1
;
[ +
∈
∀t k k on a k ≤t≤k+1donc
dt k t k
t
k
k
1 1 1
1 1
∫
+ ≤≤ ⇒ .
On en déduit par sommation que n
n
H tdt
∫
+ ≤1
1
1 d’où ln(n+1)≤Hnpuis le résultat par passage à la limite.
4ième méthode :
On applique l’inégalité des accroissements finis à la fonction ln sur [k;k+1] pour obtenir : k k
k k
) 1 ln(
) 1 1 ln(
1 ≤ + − ≤
+ . Par sommation, télèscopage et changement d’indice (ce sera tout !) on en déduit
que n n Hn
H n − ≤ + ≤
+ + 1 ln( 1) 1
1 . Par passage à la limite, on en déduit le résultat voulu.
5ième méthode :
C’est une série de Riemann. Elle est divergente. En effet,
∑
αk
1 diverge pour α ≤1
