ECS1 H. Boucher 02/09/2020 Devoir surveill´e no1 (dur´ee : 2 heures)
Les calculatrices et les documents sont interdits.
Les r´esultats devront ˆetre encadr´es .
Si le candidat rep`ere ce qui lui semble ˆetre une erreur d’´enonc´e, il l’indique sur sa copie et poursuit en expliquant les initiatives qu’il a ´et´e amen´e `a prendre.
Probl`eme 1
On ´etudie une cuve creus´ee dans le sol et suivant les contraintes suivantes (voir sch´ema ci-contre).
• Elle est d´elimit´ee par trois bords plans verticaux dont les deux oppos´es sont pa- rall`eles.
• Sa profondeur va de 0 `a 2 m`etres.
• Son profil lat´eral, identique sur toute sa largeur (5 m`etres) suit le bord vertical de 2 m`etres, une partie incurv´ee et naturelle- ment la ligne horizontale du sol.
5m
2m
La partie courbe qui constitue le profil lat´eral de la cuve est mod´elis´ee par la fonction f, d´efinie sur [2,2e] par
f(x) =xln x
2
−x+ 2.
On appelleC sa courbe repr´esentative dans un rep`ere orthonorm´e.
1. ´Etude def.
(a) Pourquoif est-elle bien d´efinie et d´erivable sur [2,2e] ?
(b) Exprimer sa d´eriv´ee, calculer ses valeurs aux bornes de l’intervalle, et dresser son tableau de variations.
(c) Donner une ´equation de la tangente `a C en x= 2.
(d) Montrer que la tangente `a C en x= 2ea pour ´equation y =x+ 2−2e.
(e) On poseg(x) =f(x)−(x+ 2−2e). `A l’aide d’une ´etude des variations deg, d´eterminer le signe de g(x) sur [2,2e].
(f) En d´eduire la position relative deC et de sa tangente en x= 2e.
(g) Dessiner l’allure de la courbeC en faisant intervenir les ´el´ements ´etudi´es pr´ec´edemment.
2. Volume de la cuve.
(a) Soit h(x) = x2 2 lnx
2 −x2
4 . Exprimerh0.
(b) En d´eduire une primitive de f sur l’intervalle [e,2e].
(c) D´eterminer une expression du volume de la cuve ´etudi´ee.
1
Probl`eme 2 (S´erie harmonique) Soit la fonctionf d´efinie sur ]1,+∞[ par
f(x) = 1 x+ 1+ ln
x x+ 1
.
A Une ´ etude de fonction
1. D´eterminer la limite de f en +∞.
2. Pourquoif est-elle d´erivable sur ]1,+∞[ ? D´emontrer que pour toutx∈]1,+∞[, f0(x) = 1
x(x+ 1)2. 3. En d´eduire le signe def sur ]1,+∞[.
B Etude de la s´ ´ erie harmonique
Soit (Sn) la suite d´efinie par
Sn= 1 +1 2 +1
3 +. . .+ 1
n pour toutn∈N∗. et soit (un) la suite d´efinie surN∗ parun=Sn−lnnpour toutn∈N∗.
4. D´emontrer que pour tout n∈N∗,
un+1−un=f(n).
En d´eduire le sens de variation de la suite (un).
5. Soit k∈N∗. (a) Justifier que
Z k+1
k
1 k − 1
x
dx>0.
(b) En d´eduire que Z k+1
k
1
xdx6 1
k puis que ln(k+ 1)−lnk6 1 k. 6. `A l’aide de l’in´egalit´e pr´ec´edente, montrer que pour tout n∈N∗,
ln(n+ 1)61 +1 2 +1
3 +. . .+ 1 n. 7. En d´eduire lim
n→+∞Sn.
8. Montrer que pour toutn >0,un>0. En d´eduire que la suite (un) est convergente.
Sa limite, not´ee γ, est connue sous le nom de constante d’Euler (ou d’Euler-Mascheroni) et pose aux math´ematiciens de nombreuses questions. Elle vaut environ 0,577 et on ne sait toujours pas si elle est rationnelle ou irrationnelle.
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