Ce problème a pour objet une étude de la constante d'Euler notée γ . On pose :

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Problème 1

Le théorème des accroissements nis intervient à plusieurs reprises dans ce problème.

Vous devrez préciser chaque fois clairement pour quelle fonction et entre quelles bornes vous l'utilisez.

Ce problème a pour objet une étude de la constante d'Euler notée γ . On pose :

∀n ∈ N ^∗ , u _n =

n

X

k=1

1 k − ln n.

Partie I

1. Prouver pour tout k ∈ N ^∗ les inégalités 1

k + 1 ≤ ln k + 1 k ≤ 1

k

2. Montrer que la suite (u n ) n∈ N

est décroissante et que pour tout n ∈ N ^∗ : 1

n ≤ u n ≤ 1

En déduire que la suite (u n ) n∈ N converge. On note γ sa limite (constante d'Euler).

3. a. Étudier, sur l'intervalle [k, k + 1] ( k ∈ N ^∗ ), le signe de la fonction f _k dénie par f _k (x) = 1

k + ( 1 k + 1 − 1

k )(x − k) − 1 x

b. En considérant une fonction F k telle que F _k ⁰ = f k , en déduire l'encadrement 1

k + 1 ≤ ln k + 1 k ≤ 1

2 ( 1 k + 1

k + 1 ) 4. Prouver que 1

2 ≤ γ ≤ 1 .

Partie II

1. On dénit les fonctions g 1 et g 2 sur ]0, +∞[ par : g 1 (x) = − 1

x + 1 + ln(1 + 1 x ) − 1

2x ² g 2 (x) = g 1 (x) + 2 3x ³ Étudier les variations de g ₁ et g ₂ sur ]0, +∞[ et en déduire leur signe.

2. Montrer que pour tout entier n ≥ 1 : 1 2n ² − 2

3n ³ ≤ u _n − u _n+1 ≤ 1 2n ² 3. Dans cette question n ≥ 2 et p ≥ n .

a. En utilisant l'inégalité des accroissements nis appliqué à la fonction x → _x ¹ entre k et k + 1 ( k entier), former un encadrement de

p

X

k=n

1 k ²

b. Former par une méthode analogue à celle de la question a. un encadrement de

p

X

k=n

1 k ³ c. En déduire

1

2n − 1

3(n − 1) ² ≤ u _n − γ ≤ 1 2(n − 1)

4. Donner une valeur de l'entier n telle que l'encadrement précédent permette, à partir de u n , de déterminer γ à moins de 10 ⁻² près.

Problème 2

Dans ce problème, a et b sont deux réels tels que a < b et I = [a, b] .

Partie I. théorème du point xe

Soit g : I → I une fonction k -lipschitzienne avec k ∈ [0, 1[ . 1. a. (Question de cours) Montrer que g est continue sur I .

b. Montrer que l'équation g(x) = x possède une solution et une seule dans le segment I . On notera α cette solution.

2. Soit u ∈ I et (x _n ) _{n∈ N} la suite réelle dénie par :

x 0 = u et ∀n ∈ N : x n+1 = g(x n )

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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a. Montrer que :

∀n ∈ N , |x n − α| ≤ k ⁿ |u − α|

En déduire que (x _n ) _{n∈ N} converge vers un réel à préciser.

b. Établir que :

∀(n, p) ∈ N ² , |x n+p − x n | ≤ 1 − k ^p

1 − k |x n+1 − x n | c. En déduire que :

∀n ∈ N , |x n − α| ≤ k ⁿ

1 − k |x 1 − x 0 |.

3. On suppose que g est dérivable en α . a. Établir que |g ⁰ (α)| ≤ k .

b. Avec les notations de la question 2, montrer que, (∀n ∈ N , x n 6= α) ⇒

x n+1 − α x n − α

n∈ N

→ g ⁰ (α)

Partie II. Méthode de Newton

Soit f une fonction de I dans R de classe C ² et telle que : f (a) < 0, f (b) > 0, ∀x ∈ I, f ⁰ (x) > 0 On s'intéresse ici à la résolution de l'équation f(x) = 0 d'inconnue x ∈ I .

1. a. Montrer que cette équation possède une unique solution dans ]a, b[ . Cette solution sera notée α .

b. Soit x 0 ∈ I . Déterminer l'abscisse du point d'intersection de l'axe des abscisses et de la tangente à f en x 0 .

2. On dénit la fonction g par : g :





 I → R x 7→ x − f (x)

f ⁰ (x) a. Justier que g est de classe C ¹ .

b. Calculer g(α) et g ⁰ (α) .

3. Dans cette question seulement, f ⁰ est décroissante.

a. Dessiner le graphe d'une fonction f vériant toutes ces conditions.

b. Montrer que, l'intervalle [a, α] est stable par g . En déduire que l'on peut dénir une suite (x n ) _n∈N par :

x 0 = a et ∀n ∈ N , x n+1 = g(x n ).

c. Montrer que (x n ) _n∈N converge vers α . 4. On revient au cas général.

a. Justier qu'il existe h > 0 tel que, en notant J = [α − h, α + h] , on ait :

∀x ∈ J, |g ⁰ (x)| < 1 b. Établir que : ∀x ∈ J, g(x) ∈ J .

c. Justier qu'il existe k ∈ [0, 1[ tel que g soit k -lipschitzienne sur J . d. En déduire que, pour tout u ∈ J , la suite (x n ) n∈ N dénie par

x 0 = u et ∀n ∈ N , x n+1 = g(x n ) converge vers α .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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