Seconde Chapitre 8 : Fonctions affines et signe de ax+b 2014-2015
I Rappels
Définition 1 aetb étant des réels fixés. Une fonction affinef est une fonction qui àxassocief(x) =ax+b.
Remarque 1 :
• Si a= 0, la fonction affinef est constante. (f(x) =b)
• Si b= 0, la fonction affinef est linéaire. (f(x) =ax) EXERCICE 1 : Compléter les cases du tableau par des croix.
Fonctions x7→3x−5 x7→2x2+ 1 x7→√
3x x7→π x7→ 7
x−2 x7→(x+ 1)2−x2 x7→ −5 7x+12
7 Affine
Linéaire Constante Non affine
II Représentation graphique
Dans un repère, la représentation graphique de la fonction affine f :x7−→ax+b
est la droiteDde coefficient directeurapassant par le pointP(0;b).
b est l’ordonnée à l’origine et a= ∆y
∆x .
y=ax+best l’équation réduite deD. O ~i
~j P
x
b
y
b
bA
∆x
∆y D
Exemple 1 :
la fonction affinef est définie surRpar :f(x) =− 3 5x+ 2.
Représenterfgraphiquement.
O ~i
~j x
y
Remarque 2 :
La fonction linéaire f définie sur R par : f(x) = ax est représentée par la droite d’équation y = ax passant par l’origine du repère.
O ~i
~j x
y y=ax
La fonction constante f définie sur R par : f(x) = b est représentée par la droite d’équation y=b parallèle à l’axe des abscisses.
O ~i
~j x
y
y=b
bb
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III Sens de variation d’une fonction affine
Une fonction affine est monotone surR. Cela veut dire qu’elle est soit croissante surR, soit décroissante surR.
Théorème 1 :
Soitf une fonction affine.
• Sia >0, la fonction affinef est croissante surR.
(a > 0) x Variations def
−∞ −ab +∞
0
• Sia <0, la fonction affinef est décroissante surR.
(a < 0) x Variations de f
−∞ −ab +∞
0
Démonstration : Soituetvdeux réels quelconques. On suppose queu < v, l’idée consiste à comparerf(u) etf(v).
Exemple 2 :
Quel est le sens de variation de la fonction affinegdéfinie surRparg(x) = 2−3x?
IV Signe de ax+ b
Chercher le signe deax+b, c’est trouver pour unxdonné, le signe de l’imageax+bsans la calculer.
Méthode : On résoutd’abord(sia6= 0) ax+b= 0⇔x=−b a a >0
La fonction affine est croissante surR. Les images croissent en passant de valeurs négatives à des valeurs
positives.
−b a b
x
Images positives Images négatives
Tableau de signes def : (a > 0) x
Signe deax+b
−∞ −ab +∞
− 0 +
a <0
La fonction affine est décroissante surR. Les images décroissent en passant de valeurs positives à des valeurs
négatives.
−b
b a x
Images positives
Images négatives
Tableau de signes def : (a < 0) x
Signe deax+b
−∞ −ab +∞
+ 0 −
Exemple 3 :
Réaliser le tableau de signes de2x+ 5, de− 2
3x+ 4, de(3x−12)(5−4x)et de −x−5 x .
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V Pourcentage d’augmentation et de diminution
V.1 Augmentation
x
+p%
y avant augmentation après augmentation
y est l’image dexpar la fonction linéaireA: A(x) = (1 +p%)x
O y
x CA
pente 1 +p%
Exemple 4 :
+p% +38% +7% +123% +100% +50%
fonction linéaire
Exemple 5 :
Une somme de 5700 e est placée durant 1 an. La somme disponible au bout d’un an est de 5882,4 e : quel est le taux de ce placement ? Si l’on place 8400e au taux précédent, combien aurons-nous au bout d’un an ? On obtient 2167,20 e au bout d’un an avec le taux précédent ; combien a-t-on placé ?
V.2 Diminution
x
−p%
y avant diminution après diminution
y est l’image dexpar la fonction linéaireD: D(x) = (1−p%)x
O y
x CD
pente 1−p%
Exemple 6 :
−p% −54% −8% −100% −50% −12%
fonction linéaire
Exemple 7 :
Quel est le pourcentage de remise d’un article qui passe de 250e à 180e?
Dans le même magasin, combien sera soldé un article affiché initialement 320e si l’on applique le même pourcentage ? Toujours avec le même pourcentage, combien un article soldé 90e coûtait-il avant les soldes ?
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