Fonctions : G´ en´ eralit´ es
I. D´ efinition
SoitD, un ensemble de nombres r´eels.
D´efinir unefonctionf sur l’ensembleDf, c’est associer `a chaque r´eelxdeDf ununique r´eely.
On note :
f : Df Ñ R x ÞÑ yfpxq
Df est l’ensemble de d´efinition de la fonctionf
xest un ant´ec´edent de y par la fonctionf
yfpxqestl’image dexpar la fonctionf
Remarque :xest une variable qu’on peut remplacer par une autre lettre :tÞÑfptq Attention :fpxqest un nombre, alors quef est une fonction (une boˆıte noire).
Exemples :
On note la temp´erature d’une ville entre 8h et 20h. A chaque instanttcompris entre [8 ; 20], on associe la temp´erature mesur´ee f(t).
Ainsi s’il fait 10˚C `a 9h, on note :fp9q10.
L’ensemble de d´efinition de f est [8 ; 20].
Soit g la fonction d´efinie sur [-4 ; 7] par :gpxq3x2 2x1 L’ensemble de d´efinition de g est [-4 ; 7].
On associe le nombre -2 `a 3(-2)2 + 2(-2) - 1 = 7.
Ceci se note : g(-2) = 7.
Soit h la fonction d´efinie par :xÞÑ 1 x3. hp6q 1
3.
L’image de 3 par h n’existe pas.
L’ensemble de d´efinition de h estRzt3u.
II. Repr´ esentation graphique
D´ efinition :
Dans un plan muni d’un rep`ere, la courbe repr´esentative de la fonction f est l’ensemble des points Mpx; yqtel que :
L’abscissexappartient `a l’ensemble de d´efinition def;
L’ordonn´eey est l’image dexparf :yfpxq.
Exemple : soitf la fonction d´efinie surRparfpxqpx2q25.
Table de valeurs :
x -1 0 1 1,5 1,75 2 2,25 2,5 3 4 fpxqpx2q
2
5 4 -1 -4 -4,75 -4,94 -5 -4,94 -4,75 -4 -1
R´esolution graphique(unit´e le centim`etre) :
R´esoudre : fpxq1,25
R´esolution graphique :
S = -0.5 ; 4.5
R´esolution alg´ebrique :
Supposons qu’il existe un r´eelxv´erifiantfpxq 5 4 D’o`u : px2q25 5
4
ñpx2q2 25 4
ñpx2q225 4 0
ñ
x25 2
x2 5 2
0
9 1
V´erification :f 9
2
5
4 etf 1
2
5 4. S =t1
2;9 2u.
R´esoudrefpxq 1,25 graphiquement revient `a :
D’o`u : S = ]-0.5 ; 4.5[
R´esoudre : fpxq6
R´esolution graphique :
S =H
R´esolution alg´ebrique :
Supposons qu’il existe un r´eelxv´erifiantfpxq6 D’o`u : px2q256
ñpx2q21 Un carr´e est toujours positif, ainsi il y a contradiction.
S =H
III. Variation d’une fonction
1. Fonctions croissantes
D´ efinition :
On dit qu’une fonction estcroissante sur un intervalle Ilorsque : pour tous a et bPI, on a :a¤bñfpaq¤fpbq.
Remarque :l’ordre est conserv´e.
Repr´esentation graphique :
Exemple :
La fonction f d´efinie par :fpxqpx2q25 est croissante sur l’intervalle [2 ; 4] (voire sur [2 ; +8[).
2. Fonctions d´ ecroissantes
D´ efinition :
On dit qu’une fonction estd´ecroissante sur un intervalle Ilorsque : pour tous a et bPI, on a :a¤bñfpaq¥fpbq.
Remarque :l’ordre est invers´e.
Repr´esentation graphique :
Exemple :
La fonction f d´efinie par :fpxqpx2q25 est d´ecroissante sur l’intervalle [-1 ; 2] (voire sur ]-8; 2]).
3. Tableau de variation
Le sens de variation d’une fonctionf est r´esum´e par un tableau.
Exemple : Le tableau de variation de la fonctionf d´efinie par :fpxqpx2q25 est :
x 8 2 8
fpxq &5%
4. Extr´ emum
D´ efinition :
Soitf une fonction d´efinie surDf et un r´eel aPDf.
fpaqest lemaximumM de la fonctionf surDf si pour toutxdeDf, on a :fpxq¤fpaq. fpaqest leminimumm de la fonctionf surDf si pour toutxdeDf, on a :fpxq¥fpaq.
Exemple : la fonctionf d´efinie par : fpxqpx2q25 a pour minimum -5. Il est atteint en 2.
Sur l’intervalle [-6 ; -3],f a pour maximum 59 atteint en -6.
