CLASSE DE SECONDE DEVOIR DE MATHEMATIQUES DUREE : 2 HEURES .
• TRAITER DANS L’ORDRE LES CINQ PARTIES DE CE PROBLEME .
• L’USAGE DE LA CALCULATRICE EST AUTORISE .
•IL EST RAPPELE QUE LA PRESENTATION ; L’ECRITURE AINSI QUE L’ORTHOGRAPHE COMPTENT POUR UNE PART IMPORTANTE DANS L’APPRECIATION DES COPIES
A . CONSTRUCTION D’UNE COURBE .
On considère dans un repère orthonormé (O ; i j ) les cinq points de coordonnées suivants : ( -1 ; -4) ; ( 1 ; -2 ) ; ( 2 ; - 4 ) et ( 3 ; 0 ) et ( 4 ; 16 ).
1°) Placer ces points . Unités graphiques 1cm.
Ces points appartiennent à une même courbe représentative (Cf) d’une fonction numérique réelle f définie sur l’intervalle [ -1; 4].
La description des variations de la fonction f montre que : f est une fonction croissante sur les intervalles [ -1 ; 0] et [ 2 ; 4 ].
f est une fonction décroissante sur l’intervalle [ 0; 2].
Par ailleurs (Cf) passe par l’origine O du repère.
2°) Tracer la courbe (Cf) sur la figure précédente.
B . IMAGES –ANTECEDENTS.
1°) Quelles sont les images par f de 1 ? de 4 ? 2°) Quelles sont les antécédents par f de 0 et de – 4 ,
C. VARIATION DE LA FONCTION .
1°) Etablir le tableau de variation de f sur [ -1; 4 ].
2°) Recopier et compléter le tableau suivant :
MAXIMUM ATTEINT EN MINIMUM ATTEINT
SUR [ -1; 1 ] SUR [ 0 ; 4 ]
3°) A l’aide du tableau de variation justifier que : a) f(
2
1
)
f ( -1 ) b) f(2
3 )
f ( 2 )c) f(
2
3 )
0.4°) a) Résoudre graphiquement en expliquant la méthode : a) f(x) = 0 b) f(x)
0 c) f(x)
0.b) En déduire dans un tableau le signe de f(x) pour x nombre réel de l’intervalle [ -1 ; 4 ].
D . ECRITURE DE LA FONCTION .
La modélisation mathématique de la courbe (Cf) montre que la fonction f est définie par : f(x) = x3 – 3 x 2 avec x nombre réel dans l’intervalle [ -1 ; 4 ].
1°) a) A partir de l’expression de f (x) recopier et compléter le tableau de valeur suivant
x -1 0 1 2 3 4
f(x) 0
On donnera le détail des calculs comme indiqué : f(0) = (0)3 -3( 0)2 = 0.
b) Vérifier la cohérence des résultats avec les coordonnées des cinq points donnés à la partie A.
2°) a) Calculer à l’aide de l’écriture de f en faisant figurer le détail des calculs les nombres : f (
2
1
) et f ( 2 3 ).
On donnera les résultats sous forme de quotients irréductibles.
b) Retrouver les résultats des la question C. 3°).
3°) Résoudre par le calcul l’équation f (x) = o sur l’intervalle [ -1 ; 4].
4°) a) Pour tout nombre réel x de l’intervalle [ -1 ; 4 ] calculer f ( 1 –x ) + f ( 1 + x ).
b) Que peut –on en déduire ?
c) Vérifier ce résultat en remplaçant x par 0 . E. RESOLUTION D’UNE EQUATION .
On se propose de résoudre sur l’intervalle [ -1 ; 4 ] l’équation: x3 -3x2 - x + 3 = 0
1°) METHODE GRAPHIQUE :
a) Etablir que l’équation proposée s’écrit f (x) = g (x) avec g (x) = x – 3.
On désigne par (Cg) la droite d’équation y = x – 3.
b) Sur l’intervalle [-1 ; 4 ] (Cg) est un segment de droite [AB] où A désigne le point d’abscisse -1 et B le point d’abscisse 4.
Calculer les ordonnées des points A et B.
c) Placer les points A et B sur la figure précedente et construire (Cg ) d’une couleur différente.
d) Comment obtient –on les solutions de l’équation proposée à l’aide des courbes (Cf) et (Cg) ? e) Quelles sont les solutions de l’équation ?
2°) METHODE ALGEBRIQUE :
a) Ecrire sous la forme d’un produit de trois facteurs : x3 -3x2 - x + 3 . On effectuera des regroupements judicieux !
b) En déduire les valeurs exactes des solutions de l’équation proposée et retrouver le résultat 1°) f.
