INCERTITUDES INCERTITUDES INCERTITUDES INCERTITUDES ---- ECRITURE D'UN RESULTAT ECRITURE D'UN RESULTAT ECRITURE D'UN RESULTAT ECRITURE D'UN RESULTAT

INCERTITUDES INCERTITUDES INCERTITUDES

INCERTITUDES ---- ECRITURE D'UN RESULTAT ECRITURE D'UN RESULTAT ECRITURE D'UN RESULTAT ECRITURE D'UN RESULTAT

Ce chapitre utilise Excel et ses fonctions statistiques MOYENNE; NB; ECARTYPE; INTERVALLE.CONFIANCE; DROITEREG

1. Cas d'une mesure directe

Incertitudes-types (= conforment aux normes internationales)

1.1 Incertitudes-type de type B : u

B

.

Donnée par le constructeur (ou estimation): x ± δx ⇒

3 ) x x (

u_B δ

= Ex : Voltmètre : calibre 200 V; 0.4 %erreur ; 2000 points; mesure U(V) : 122.5V ⇒ uB(U) = 0,50 V

La norme recommande un facteur d'élargissement de 2.

Incertitude élargie : 2*u_B(U) = 1,0 V

1.2

Incertitudes-type de type A : u

A

.

Evaluées par traitement statistique des mesures (loi normale).

Nombre de mesures = N; dispersion des mesures = σ (écart-type) ⇒

N ) x (

u_A σ

= Ex : 9 mesures de la tension U (en V) :

119.2 122.8 121.1 124.5 123.7 125.3 124.2 121.7 120.1 Moyenne U = 120.511 V; σ = 2.1068 V; uA(U) = 0.70 V

Incertitude élargie : 2*uA(U) = 1.4 V

Intervalle.Confiance(0.05; σ; N) ≈ 2u_A(x). Ex : Intervalle.Confiance(0.05; 2.1068; 9) = 1.4 V

1.3 Incertitude-type composée :

u_C(x)=

(

u_A(x)

)

² +

(

u_B(x)

)

²

Ex : Pour les 9 mesures de U avec le voltmètre de classe 1 au calibre 200V : uC(U) = 0.75 V Incertitude composée élargie : ∆U = 2uC(U) = 1.5 V

1.4 Incertitude relative et absolue :

∆x (avec l'unité) = incertitude absolue = 2*uC(x)

x x

∆ (sans unité) = incertitude relative.

Ex : incertitude absolue sur le tension mesurée : ∆U = 1.5 V Incertitude relative : ∆U/U = 0.012 = 1.2 % 1.5

Ecriture du résultat :

^{x= x ± ∆x}

Conseil : l'incertitude ne comporte que 2 chiffres significatifs.

Ex : U = (120.4 ± 1.5) V Conseil : même nombre de chiffres après la virgule pour x et ∆x

2. Cas d'une mesure indirecte

La valeur de z est déterminée à partir de la mesure directe de x et de y.

2.1

Méthode de réduction :

on calcul z pour chaque mesure puis on cherche ∆z comme pour une mesure directe

Ex : la mesure de R (Ω) s'obtient par mesure de U (V) et I (A)

U (V) 6,002 5,999 6,000 5,998 6,001 6,000 5,997 6,002 6,001

I (mA) 59,98 59,99 60,00 59,98 60,01 60,02 59,99 59,99 60,03

R (Ω) 100,050 100,000 100,000 100,000 100,000 99,967 99,967 100,050 99,967

R= 100,002 Ω σ =0,036 Ω N = 9 uA(R) = 0,012 Ω ∆R = 0,024 Ω

Si les incertitudes de type B sont négligeables alors : R = (100,002 ± 0,024) Ω

2.2

Méthode par propagation des incertitudes

: les mesures directes de x et y sont indépendantes est donnent les incertitudes absolues ∆x et ∆y qui induisent une incertitude ∆z.

Cas d'une somme ou différence : z = x + y ou z = x – y

⇒

∆z=

( )

∆x²+

( )

∆y²

Cas d'un produit ou d'un quotient : z = xy ou z x

= y

⇒

2 2

y y x

x z

z 







∆

 +



 



∆

∆ =

Ex : (valeurs précédentes) U = 6,00000 V I= 59,9989 mA R = 100,002 Ω ∆U = 0,00115 V ∆I = 0,0118 mA

2 2

I I U

U R

R 



 



∆

 +



 



∆

∆ =

= 0,000275 ∆R = 0,027 Ω

Si les incertitudes de type B sont négligeables alors : R = (100,002 ± 0,027) Ω

2.3 Méthode utilisant une régression linéaire.

La grandeur z à mesurer s'obtient souvent grâce à la pente a ou l'ordonnée à l'origine b d'une droite de régression li- néaire (ou droite des moindres carrés DMC). Les incertitudes-types sur a ou sur b permettent d'évaluer l'incertitude ∆z.

Avec Excel on utilise la fonction DROITEREG(yi ; xi ;VRAI

FAUX ; VRAI) Ex : mesure d'une résistance.

U (V) 3,01 3,99 5,00 5,98 7,01 8,00 8,97 10,02 11,01

I (mA) 29,98 40,05 49,92 60,00 69,98 80,01 90,02 99,99 109,97

DROITEREG(U;I;VRAI;VRAI)

Ecriture du résultat : R = (100,08 ± 0,49) Ω DROITEREG(U;I;FAUX;VRAI) Ecriture du résultat : R = (100,01 ± 0,16) Ω Résumé :

Mesure directe de x :

2 2

N 3

2 x

x 









 σ

 +











δ

=

∆

∆

∆

∆

∆x incertitude élargie; δδδδx erreur possible de type B;

σ σ σ

σ écart-type (dispersion des mesures); N nombre mesures.

2 facteur d'élargissement.

Mesure indirecte de z :

- réduction : calcul de z pour N mesures de x et y puis on cal- cule σ_z

σ σ σ

σz et N permettent le calcul de ∆∆∆∆z comme en mesure directe.

- propagation des incertitudes : on calcule ∆∆∆∆x et ∆∆∆∆y (comme en méthode directe

∆z se calcule à partir des formules de propagation

( ) ( )

∆z= ∆x²+ ∆y² ou ^{∆z ∆ ∆} z

x x

y

=  y

 

 +

 



2 2

- régression linéaire : On valide 6 cellules; on demande la fonction DROITEREG(y;x; vrai ou faux;vrai) (ctrl+maj+entrée).

on trouve z à partir de la pente a ± 2u(a) ou parfois de l'ordonnée à l'origine b ± 2u(b) figurant dans les 4 premières cellules.

Ecriture du résultat : z= (z ± ∆z)unité où ∆z ne comporte que 2 chiffres significatifs et z pas plus de décimales que ∆z.

pente a b ordonnée ori Inc.type sur a u(a) u(b) Inc.type sur b Coef. déterm. R²

y = 0,10008x - 0,00614 R² = 0,99996

0 2 4 6 8 10 12

0 2 0 40 60 80 1 0 0 12 0

I (mA)

U (V)

U = f(I) D MC 1

Graphe U = f(I) et DMC1 pente

a 0,100084 -0,006135 ord. ori b u(a) 0,000247 0,018450 u(b)

R² 0,999957 0,019156

pente 0,100007 0,000000 b forcé à 0 u(a) 0,000081 #N/A

R² 0,999957 0,018060

y = 0,100007x R² = 0,999957

0 2 4 6 8 10 12

0 20 40 60 80 100 120

I (mA )

U (V)

U = f(I) D MC2

Graphe U = f(I) et DMC2