MPSI B DM 9 29 juin 2019
Le théorème des accroissements nis intervient à plusieurs reprises dans ce problème.
Vous devrez préciser chaque fois clairement pour quelle fonction et entre quelles bornes vous l'utilisez.
Ce problème a pour objet une étude de la constante d'Euler notée γ . On pose :
∀n ∈ N ∗ , u n =
n
X
k=1
1 k − ln n.
Partie I
1. Prouver pour tout k ∈ N ∗ les inégalités 1
k + 1 ≤ ln k + 1 k ≤ 1
k
2. Montrer que la suite (u n ) n∈N
∗est décroissante et que pour tout n ∈ N ∗ : 1
n ≤ u n ≤ 1
En déduire que la suite (u n ) n∈ N converge. On note γ sa limite (constante d'Euler).
3. a. Étudier, sur l'intervalle [k, k + 1] ( k ∈ N ∗ ), le signe de la fonction f k dénie par f k (x) = 1
k + ( 1 k + 1 − 1
k )(x − k) − 1 x
b. En considérant une fonction F k telle que F k 0 = f k , en déduire l'encadrement 1
k + 1 ≤ ln k + 1 k ≤ 1
2 ( 1 k + 1
k + 1 ) 4. Prouver que 1
2 ≤ γ ≤ 1 .
Partie II
1. On dénit les fonctions g 1 et g 2 sur ]0, +∞[ par : g 1 (x) = − 1
x + 1 + ln(1 + 1 x ) − 1
2x 2 g 2 (x) = g 1 (x) + 2 3x 3 Étudier les variations de g 1 et g 2 sur ]0, +∞[ et en déduire leur signe.
2. Montrer que pour tout entier n ≥ 1 : 1 2n 2 − 2
3n 3 ≤ u n − u n+1 ≤ 1 2n 2 3. Dans cette question n ≥ 2 et p ≥ n .
a. En utilisant l'inégalité des accroissements nis appliqué à la fonction x → x 1 entre k et k + 1 ( k entier), former un encadrement de
p
X
k=n
1 k 2
b. Former par une méthode analogue à celle de la question a. un encadrement de
p
X
k=n
1 k 3 c. En déduire
1
2n − 1
3(n − 1) 2 ≤ u n − γ ≤ 1 2(n − 1)
4. Donner une valeur de l'entier n telle que l'encadrement précédent permette, à partir de u n , de déterminer γ à moins de 10 −2 près.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
