ECS1 H. Boucher Corrig´e Devoir surveill´e no1
Exercice 1 (inspir´e du bac S 2016, Am´erique du Nord) 1. ´Etude def sur I = [e,2e].
(a) ln est d´efinie et d´erivable surR∗ et pour x∈[e,2e], x/2>0 donc x7→ln(x/2) est bien d´efinie et d´erivable sur I par composition.
Finalement, f est d´efinie et d´erivable sur I par produit et somme de fonctions qui le sont.
(b) Pour toutx∈I, f0(x) = ln(x/2) . Pour toutx∈I,x/2>1 doncf0(x)>0 etf0(x) = 0⇔x= 2.
On a f(2) = 0 et f(2e) = 2 .
x f0(x)
f(x)
2 2e
+
0 0
2 2
(c) y=f0(2)(x−2) +f(2), soit y= 0 .
(d) y=f0(2e)(x−2e) +f(2e), soit y=x−2e+ 2 .
(e) g est d´erivable surI comme diff´erence de fonctions qui le sont et pour x∈I,g0(x) =f0(x)−1 = ln(x/2)−1.
Pour tout 26x62e, 06ln(x/2)61.
Doncg0(x) est toujours n´egatif, nul si et seulement si x= 2e. Ainsi g est d´ecroissante et comme g(2e) = 0, g est toujours positive ou nulle .
(f) Donc C est au-dessus de sa tangente enx= 2e. (g)
x C
2 2
2e 2. Volume de la cuve.
(a) h est d´erivable sur I et pour tout x∈I, h0(x) =xln(x/2) . (b) Donc une primitive def sur I est F(x) =h(x)−x2/2 + 2x.
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(c) • Aire sous la courbeC, d´elimit´ee parx= 2 etx= 2e: A=
Z 2e
e
f(t)dt=F(2e)−F(2) = 4e−e2−1.
• Aire au-dessus de la courbe :S= 4e−A=e2+ 1.
• Volume de la cuve (longueur 5 m`etres) :V = 5×S, soit 5(e2+ 1) . Probl`eme 1 (d’apr`es bac S 1996)
Soit la fonctionf d´efinie sur ]1,+∞[ par f(x) = 1
x+ 1+ ln x
x+ 1
.
A Une ´ etude de fonction
1. lim
x→+∞
x
x+ 1 = 1, d’o`u lim
x→+∞ln x
x+ 1
= 0. Donc lim
x→+∞f(x) = 0 . 2. x7→ x
x+ 1est d´erivable sur ]1,+∞[ comme quotient de fonctions d´erivables sur cet intervalle, de sorte que le d´enominateur ne s’annule pas. De plus, pour tout x >1, x
x+ 1 >0 donc x7→ ln x
x+ 1
est d´erivable sur ]1,+∞[. Enfin, f est d´erivable sur ]1,+∞[ comme somme de fonctions d´erivable sur cet intervalle.
Pour toutx∈]1,+∞[, on ´ecrit x
x+ 1 = 1− 1
x+ 1. Alors on a f0(x) =− 1
(x+ 1)2 +
1 (x+1)2
x x+1
= −1
(x+ 1)2 + x+ 1
x(x+ 1)2. D’o`u f0(x) = 1
x(x+ 1)2.
3. f0 est positive sur ]1,+∞[. Donc f est croissante sur ]1,+∞[. Comme sa limite en +∞ est 0, n´ecessairement, f(x)60 pour tout x∈]1,+∞[.
B Etude de la s´ ´ erie harmonique
Soit (Sn) la suite d´efinie par
Sn= 1 +1 2 +1
3 +. . .+ 1
n pour toutn∈N∗. et soit (un) la suite d´efinie surN∗ parun=Sn−lnnpour toutn∈N∗.
4. Pour toutn∈N∗,un+1−un= 1 +1
2 +. . .+ 1
n+ 1−ln(n+ 1)−(1 +1
2 +. . .+ 1
n) + lnn= 1 n+ 1+ ln
n n+ 1
.Donc un+1−un=f(n) . Comme f est n´egative, on a pour tout n∈N,un+1−un60.
Donc (un) est d´ecroissante . 5. Soit k∈N∗.
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(a) Pour x∈[k,k+ 1], on a 1 k > 1
x, soit 1 k− 1
x >0.
Donc par positivit´e de l’int´egrale, Z k+1
k
1 k− 1
x
dx>0 .
(b) D’o`u par lin´earit´e de l’int´egrale, Z k+1
k
1 xdx6
Z k+1
k
1
kdx, soit Z k+1
k
1
xdx6 1 k . En calculant l’int´egrale, on obtient que ln(k+ 1)−lnk6 1
k .
6. Pour n∈N, on va utiliser l’in´egalit´e pr´ec´edente, ´ecrite pourk= 1, k= 2, ..., k=n. Et on va sommer cesn in´egalit´es. Ainsi on obtient
(ln 2−ln 1) + (ln 3−ln 2) +. . .+ (ln(n+ 1)−lnn)6 1 1 +1
2+. . .+ 1 n.
Dans le membre de gauche, tous les termes s’annulent sauf ln(n + 1)−ln 1 (on parle de somme t´elescopique). Il reste ln(n+ 1)61 +1
2+. . .+ 1 n . 7. On sait que lim
n→+∞ln(n+ 1) = +∞. Donc par comparaison, lim
n→+∞Sn= +∞ .
8. De l’in´egalit´e de la question 6, on d´eduit que un>0 . Montrer que pour tout n >0,un>0 . La suite (un) est ainsi d´ecroissante (voir partie A) et minor´ee par 0. Donc elle est convergente .
Sa limite, not´ee γ, est connue sous le nom de constante d’Euler (ou d’Euler-Mascheroni) et pose aux math´ematiciens de nombreuses questions. Elle vaut environ 0,577 et on ne sait toujours pas si elle est rationnelle ou irrationnelle.
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