TD 8 - np.array - Euler
CORRIGÉ 0 - Les np.array
import numpy as np from random import *
# --- 1 ---
z = np.zeros((4,4))
# --- 3 ---
h = np.array( [[randint(1,6) for j in range(4)] for i in range(4)] )
# --- 5 ---
b = np.array( [[i+j for j in range(4)] for i in range(4)] )
# --- 6 ---
a = 100*np.sin(b)**2
# --- 7 et 8 ---
X1 = a[:,2] # renvoie un tableau 1D !!
X2 = a[:,2:3] # renvoie un tableau 2D !!
# --- 9 ---
a = np.dot(a[:,1:2] , a[0:1,:]) # a = (sa 2ème colonne) * (sa 1ère ligne)
# --- 10 ---
for k in range(1,4):a[0]+=a[k]
# --- 11 ---
aa = a # cela ne crée pas de copie de a dans la mémoire. aa[1,1]=69 affectera a également ! aa = np.copy(a) # cela crée une copie de a dans la mémoire. aa[1,1]=69 n'affectera pas a
# --- 12 ---
b = np.zeros((4,4)) for i in range(4) :
for j in range(4) :
if i!=j : b[:,i] += a[:,j]
a = b/3 # pas besoin d'écrire a = np.copy(b)/3 car le fait de faire une opération sur b print(a) # force Python a créer un nouveau tableau...!
1
I - Ordre 1 tout bête +Calcul d'erreur
1. Dessiner sur[0,1]le graphe de la solution du problème de Cauchy : (
y0(x) =−xy(x) +e−x
2 2
y(0) = 0 yH(x) =Ke−x
2
2 etyP(x) =K(x)e−x
2
2 oùK(x) = Z x
0
e−t
2 2
| {z }
=b(t)
et
2 2
|{z}
=eA(t)
dt=xd'oùyP(x) =x e−x
2 2 . Ainsi, commey(0) = 0, on trouveK= 0et donc y(x) =x e−x
2 2
2. from math import *
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np
n = 20
y = [0]*(n+1) for k in range(n) :
h = 1.0/n x = k*h
y[k+1] = y[k] + h * (-x*y[k]+exp(-x*x/2)) plt.clf()
xx = np.linspace(0,1,n+1) plt.plot(xx,y)
plt.plot(xx,xx*np.exp(-xx*xx/2)) plt.show()
3. from math import *
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np
def ValeurEn1(n) : y = [0]*(n+1) for k in range(n) :
h = 1.0/n x = k*h
y[k+1] = y[k] + h * (-x*y[k]+exp(-x*x/2)) return y[n-1]
plt.clf()
nn = np.linspace(10,200,21)
yy = [ abs(ValeurEn1(int(n))-exp(-1/2)) for n in nn ] plt.plot(nn,yy)
plt.show()
II - Système d'équations diérentielles from math import *
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt n = 1000
b = 2
x = [1]*(n+1) y = [1]*(n+1) for k in range(n):
t = b * k/n h = b/n
x[k+1] = x[k] + h * (t - x[k]*y[k]) y[k+1] = y[k] + h * (x[k] + y[k]) plt.plot(x,y)
plt.show()
2
III - Système matriciel d'équation diérentielles from math import *
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt n = 100
b = 2
A = np.array([[1,3,-1],[0,2,1],[1,-1,1]]) X = np.zeros((3,n+1))
X[:,0] = [1,0,-1]
for k in range(n):
t = b * k/n h = b/n
X[:,k+1:k+2] = X[:,k:k+1] + h * np.dot(A,X[:,k:k+1]) plt.plot(np.linspace(0,b,n+1) , X[0,:])
plt.plot(np.linspace(0,b,n+1) , X[1,:]) plt.plot(np.linspace(0,b,n+1) , X[2,:]) plt.show()
IV - Evolution spacio-temporelle from math import *
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt LongBarre = 2 # la barre mesure 2m tpsTot = 3 # l'expérience dure 3s nLong = 100
nDur = 1000
y = np.zeros((nLong+1,nDur+1)) # y[kx,kt] contient y à la position kx*LongBarre/nLong
y += 1 # et à l'instant kt*tpsTot/nDur
xx = np.linspace(0,LongBarre,nLong+1) # positions de la barre for k in range(nDur):
h = tpsTot/nDur # durée d'un pas de temps t = k/h # date au k-ième pas
y[:,k+1] = y[:,k] + h * y[:,k] * np.cos(xx*5) * abs(cos(t)) # on utilise des np.array à 1 dimension for kt in np.linspace(0,nDur,10) :
plt.plot(np.linspace(0,LongBarre,nLong+1) , y[:,int(kt)]) plt.show()
3
TD 8 - Bonus : Diagrammes de Feigenbaum
1. La fonction f est croissante sur[0,12]et décroissante sur[12,1], etf(0) =f(1) = 0 etf(12) = p4. L'intervalle[0,1]est donc stable parf
⇐⇒ p∈[0,4]
# --- 2 ---
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np
def suite(p,ndeb,nfin) : u = [0.3]
for k in range (nfin) : u.append(p*u[-1]*(1-u[-1])) return u[ndeb:nfin+1]
# --- 3 ---
def escalier(p,nfin) :
xx = np.linspace(0,1,300)
plt.plot(xx,p*xx*(1-xx),color="#000055") #--- 1 --- graphe de fp plt.plot([0,1],[0,1] ,color="#0000FF") #--- 2 --- 1ère bissectrice u = suite(p,0,nfin)
ux,uy = [] , []
for k in range(len(u)-1) : ux.append(u[k])
ux.append(u[k])
if (k==0) : uy.append(0) else : uy.append(u[k]) uy.append(u[k+1])
plt.plot(ux,uy,color="#770000"); #--- 3 --- la ligne brisée plt.clf()
escalier(3.1,1000);
plt.show()
# --- 6 ---
for p in np.linspace(1,4,1000) : u = suite(p,100,200)
plt.plot([p]*len(u),u,",",color="#FF0000") plt.show()
# --- 7 ---
import matplotlib.pyplot as plt import numpy as np
def f(x,p) : return x*x*x-p*x+1 def fp(x,p) : return 3*x*x-p def Newton(p,nDeb,nFin) :
u = [0]
for k in range (nFin) :
u.append(u[-1] - f(u[-1],p)/fp(u[-1],p) )
plt.plot([p]*(nFin-nDeb+1),u[nDeb:nFin+1],",",color="#FF0000") plt.clf()
pTabl = np.linspace(1.26,1.29,1000);
for p in pTabl : Newton(p, 100,200) plt.show()
4
