L3– Algorithmique1(Année2014/2015) A. Lagoutte & A. Plet
TD 07 – NP-complétude
Exercice1. Independent Set
Montrer que le problème défini ci-dessous estN P-complet.
IndependentSet
Instance :Un grapheG= (V,E)et un entierk.
Question :Existe-t-il un stable de taillekdansG?
Exercice2. Deux cliques
Montrer que le problème suivant estN P-complet : Deux-Cliques
Instance :Un grapheG= (V,E), et un entierk>0
Question :Existe-t-il deux cliques disjointes de taillekdansG?
On rappelle qu’une clique est un sous-ensemble de sommets tous adjacents deux à deux.
Exercice3. Vertex Cover
SoitG= (V,E)un graphe. Unecouverture de sommetsde taillekest un sous-ensemble de sommetsV0 de taille ktel que pour toute arêteuv ∈ E, on au ∈ V0 ou v ∈ V0 (ou les deux). Autrement dit, les sommets choisis "couvrent" toutes les arêtes du graphe.
Montrer que le problème suivant estN P-complet : Couverture-Sommets
Instance :Un grapheGet un entierk≥0
Question :Existe-t-il une couverture de sommets de taillek?
Indication : Faire une réduction à partir deClique
Exercice4. Chemin avec paires interdites
Montrer que le problème suivant estN P-complet : CheminAvecPairesInterdites
Instance : Un graphe orientéG = (V,A)(on distingue l’arc (u,v) de l’arc (v,u)), deux sommets de ce graphes,t∈Vet une listeP={(a1,b1), . . . ,(an,bn)}de paires de sommets deG.
Question :Existe-t-il un chemin orienté desverstdansGqui contient au plus un sommet de chaque paire de la listeP?
Indication : faire une réduction à partir de3-SAT.
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