D 1813 Un encadrement

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D 1813 Un encadrement

Problème proposé par Dominique Roux

Soit un triangle ABC acutangle. Les points A',B' et C' sont les symétriques des sommets A,B et C par rapport aux côtés BC,CA et AB. On désigne par S l'aire du triangle ABC et S' celle du triangle A'B'C'.

Trouver la plus grande borne inférieure a et la plus petite borne supérieure b du rapport S'/S.

Analyse rapide

Quand le triangle ABC est rectangle (donc à la limite d’un acutangle), le triangle B’CA’ est le symétrique du triangle ABC par rapport à C.

Donc A’B’=AB et h=CC’/2.

On déduit que la hauteur de A’B’C’ est 3 fois celle de ABC.

Et

A

(A’B’C’) = A’B’ * 3 * h

A

(A’B’C’) = 3 * AB * h = 3 *

A

^(ABC)

Ce serait la même chose si le triangle était rectangle en A ou B : les perpendiculaires en A et B limitent le point C pour garder un triangle acutangle.

Quand le triangle ABC est équilatéral, le triangle B’CA’ est constitué

de 4 triangles isométriques à ABC

Et dans ce cas :

A

(A’B’C’) = 4 *

A

^(ABC)

3 * A (ABC) <= A (A’B’C’) <= 4 * A ^(ABC)

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D 1813 Un encadrement