une série à termes positifs.

PanaMaths Novembre 2011

Soit ∑ u

_n

une série à termes positifs.

On pose

1

n n

n

v u

= + u .

Montrer que les séries ∑ u

_n

^et ∑ ^v

ⁿ

sont de même nature.

Analyse

Ne pas oublier, avant toute autre chose, que la première étape de l’étude d’une série consiste à étudier la limite de son terme général …

Résolution

On distingue deux situations selon que la suite

( )

un tend ou non vers 0.

1^er cas : la suite

( )

un tend vers 0

Dans ce cas, on peut donner le développement limité :

(

¹

)

¹

(

^{1 o}

( ) )

^{2 o}

( )

²

1

n

n n n n n n n n n

n

v u u u u u u u u u

u

= = + − = − + = − +

+

On en déduit : ^{vn−un = − +un2 o}

( )

^{un2 =o}

^{( )}

^{un , soit : un}_+∞^∼vn.

Ainsi, les séries

∑

u_n ^et

∑

^vn sont de même nature.

2^ème cas : la suite

( )

un ne tend pas vers 0

Dans ce cas, la série

∑

u_n diverge grossièrement.

Mais on en déduit également que la suite

( )

vn ne tend pas vers 0 (en effet, si la suite

( )

vn

tendait vers 0, il en irait de même de la suite

( )

un en vertu de : 1

n n

n

u v

= v

− (aucun élément de la suite

( )

vn ne peut être égal à 1)) et que, de fait, la série

∑

v_n diverge grossièrement.

Les deux séries sont encore de même nature.

PanaMaths Novembre 2011

Résultat final

Si

∑

u_n est une série à termes positifs alors les séries

∑

u_n ^et ₁ ⁿ

n

u +u

∑

sont de même nature.