Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 21 (05/04 – 09/04)
Rappel : les vacances étant avancées d’une semaine, la semaine 22 est décalée de deux semaines, il n’y aura donc pas de colle la semaine du 12/04 au 16/04.
Chapitre 14 : Approximations polynomiales
1. Formules de Taylor
‚ Développement de Taylor à l’ordren : polynôme dont les dérivées successives jusqu’à l’ordrencoïncident avec celles def. Expression du développement de Taylor à l’aide des dérivées def.
‚ Reste de Taylor. Notion de fonction développable en série de Taylor.
‚ Rappel : Formule de Taylor avec reste intégral (FTI)
‚ Formule de Taylor-Lagrange (FTL) (HP, démonstration non exigible)
‚ Inégalité de Taylor-Lagrange (ITL) (au programme, mais avec les hypothèses de la FTI)
‚ Formule de Taylor Young (FTY), avec l’hypothèseCn, conformément au programme.
2. Formules de Taylor pour les fonctions usuelles
‚ Développements limités en0 deexp, ln,cos,sin,sh,ch,p1`xqα.
‚ Développement en série deexp,cos,sin. Développement deeiy. Développement deezpourzPC(ADMIS).
‚ Développement en série deln,p1`xqα.
‚ Formule de Taylor pour les polynômes.
3. Généralités sur les développements limités
‚ Définition d’un DL au voisinage dex0. Existence pour les fonctions de classeCn. Ce n’est pas une CN.
‚ Unicité du DL
‚ LeDL1 donne la dérivabilité et l’existence de la dérivée. Redémonstration de la formule de dérivation des composées.
‚ DL au sens fort (avec reste enO)
‚ Troncature d’un polynôme au degrérau voisinage dex0. Restriction à l’ordrerd’un DL à l’ordreněr.
‚ Forme normalisée, partie principale, équivalent issu d’un DL.
4. Opérations sur les développements limités
‚ Somme
‚ Produit, optimisation de l’ordre lorsque les pp ne sont pas constantes.
‚ Composition
‚ Quotient, en se ramenant à 1`u1 : la méthode de division suivant les puissances croissantes est HP
‚ réciproque (par identification),
‚ primitivation, dérivation (pour f de classeCn)
‚ DL deArctan(à connaître),Arcsin(à savoir retrouver).
5. Développements asymptotiques
‚ DA enn x1 au voisinage de`8
‚ DA au voisinage dex0 avec des puissances négatives. Exemples
‚ Notion d’échelle de comparaison (HP, évoqué très rapidement, rien d’exigible sur le sujet)
‚ Exemples de DA sur des échelles non polynomiales (avec des techniques issues des DL)
Chapitre 15 : Séries
JUSQU’À MERCREDI : SEULEMENT DES EXERCICES SIMPLES liées à l’étude de nature de séries explicites, basés sur les propriétés de convergence des séries de référence, sur les théorèmes de comparaison, et sur le CSCSA.
1. Notion de série et de convergence
‚ Série, somme partielle.
‚ Convergence, divergence, nature d’une série. Somme, reste.
‚ Cas d’une somme infinie.
‚ Deux séries ne différant que d’un nombre fini de termes ont même nature.
‚ CN de convergence sur le tg ; divergence grossière. Toute divergece n’est pas grossière. Exemple de la série harmonique (DV déjà étudiée par condensation lors de l’étude duln, démonstration à revoir).
‚ Linéarité.
2. Séries à termes positifs
‚ Croissance de la somme partielle, convergence dansR.
‚ TCSTP par inégalité
‚ CVA, CVA implique CV (avec parties positives et négatives, les suites de Cauchy étant HP)
‚ TCSTP parO,o, équivalent.
‚ Contre-exemple pour la comparaison par équivalents sans l’hypothèse de positivité.
‚ Comparaison série/intégrale
‚ Séries de référence : géométriques, exponentielles, Riemann, Bertrand (ces dernières ne sont pas explicitement au programme).
‚ Comparaison avec une série de Riemann : règlenαun
‚ Comparaison avec une série géométrique : règle de d’Alembert.
3. Séries semi-convergentes
‚ Exemple de série semi-convergente : série harmonique alternée (démonstration déjà faite lors de l’étude des suites adjacentes)
‚ Plus généralement : CSCSA ou TSCSA (démonstration faite lors de l’étude des suites adjacentes, à revoir)
‚ (HP) Critère d’Abel.
4. Calculs de sommes
‚ Sommesř
Ppnqxn,P PRrXs, en se ramenant au binôme négatif (connu mais non démontré)
‚ Sommesř
Ppnqxnn! en se ramenant à des séries exponentielles.
5. Familles sommables
PAS D’EXERCICE SUR LE SUJET
‚ Problème de commutativité de termes. Cas des séries positives, des séries absolument convergentes.
‚ Familles (absolument) sommables (uniquement défini dans le cas dénombrable). Somme (défini par une énumération)
‚ Principales propriétés (expression par le sup pour les familles positives, cas des sous-familles, linéarité)
‚ Théorème d’associativité (groupements de termes) (démonstration non exigible)
‚ Théorème de Fubini.
Chapitre 25 : Polynômes et fractions rationnelles
UNIQUEMENT LE COURS CETTE SEMAINE
1. Polynômes à coefficients dans un anneau commutatif (NB : au programme, seulement le cas d’un corps)
‚ Notion de polynôme formel, défini comme suite à support fini de ses coefficients.
‚ Somme, produit de polynômes
‚ Structure d’anneau deArXs.
‚ Indéterminée formelle, notation X, expression du monôme Xn. Expression d’un polynôme comme somme de monômes.
‚ Principe d’identification
‚ Composition
‚ Dérivation formelle. Linéarité de la dérivation. Dérivée de produits, Leibniz, dérivée dePn, dérivée d’une composée de deux polynômes.
‚ Degré, valuation. Monôme dominant, coefficient dominant, polynôme unitaire.
‚ Degré d’une somme, d’un produit. CasAintègre.
‚ Théorème de permanence de l’intégrité.
‚ Degré d’une dérivée. Cas d’un corps de caractéristique nulle.
‚ Existence et unicité à constante près de primitives formelles dans un corps de caractéristique nulle.
