Plan du chapitre

Séries numériques

Plan du chapitre

1

Généralités sur les séries . . . .page 2 1.1Etude d’un exemple . . . page 2 1.2Définitions . . . page 2 1.3Reste à l’ordrend’une série convergente . . . page 4 1.4Propriétés . . . page 5 1.5Lien suites-séries. Séries télescopiques . . . .page 6

2

Séries de référence. . . .page 8 2.1Séries géométriques . . . .page 8 2.2Séries deRiemann . . . page 8

3

Etude des séries à termes réels positifs. . . .page 11 3.1Généralités . . . page 11 3.2Utilisation des relations de comparaison . . . page 12

4

Comparaison séries-intégrales . . . .page 13

5

Séries absolument convergentes . . . .page 14 5.1Les suites(u⁺_n)et(u⁻_n) . . . .page 14 5.2Définition de la convergence absolue . . . page 15 5.3Application à la convergence d’une série . . . page 15 5.4Exemples de séries semi-convergentes . . . page 16

1 Généralités sur les séries

1.1 Etude d’un exemple

Un des paradoxes de Zénon d’élée (≈ 450 av. J.-C.) était le suivant : pour parcourir une certaine distance, il faut d’abord en parcourir la moitié, puis il faut parcourir la moitié de la moitié restante, puis il faut parcourir la moitié de la moitié de la moitié restante, . . . Nous ne parviendrons donc jamais à franchir cette distance.

b b

1 2

1

4= ¹₂×¹2

1 8

1 16

1 32

1

Il manquait àZénon d’élée une vision claire de l’infini. Pour nous aujourd’hui, un segment de longueur non nulle est composé d’une infinité de points ou plus généralement d’une infinité de morceaux sans que cela ne nous pose de problème particulier :

1= 1 2 +1

4 +1 8+ 1

16+. . .

Que signifient précisément les pointillés ? Au bout d’une étape, la longueur estS₁= 1

2. Au bout de deux étapes, la longueur estS₂= 1

2 +1

4. Au bout denétapes, la longueur est S_n = 1

2 + 1

2² +. . .+ 1 2ⁿ =

Xn

k=1

1 2^k = 1

2× 1− 1

2ⁿ 1− 1

2

=1− 1 2ⁿ.

(Cette dernière égalité était immédiate car, après lan-ème étape, il reste la dernière moitié de moitié de . . . de moitié à franchir pour obtenir1). Maintenant,

n→+∞lim Sn = lim

n→+∞

Xn

k=1

1

2^k = lim

n→+∞

1− 1

2ⁿ

=1.

1est donc la somme infinie des nombres 1 2, 1

4, 1 8, 1

16, . . . ou encore 1=

+∞

X

k=1

1 2^k.

1.2 Définitions

On généralise la démarche précédente :

Définition 1.Soit(u_n)_n∈N∈C^N. Pourn∈N, on poseS_n = Xn

k=0

u_k. Lasérie de terme généralun est la suite(Sn)_n∈N.

Sn est lasomme partielle de rangnde la série de terme généralun.

Quand on connaît la suite(S_n)_n∈N, on peut récupérer le terme généralu_n de la série : Théorème 1.Soit(u_n)_n∈N∈C^N. Pourn∈N, on poseS_n=

Xn

k=0

u_k. Alors,u₀=S₀ et pour toutn∈N^∗,u_n =S_n−S_n−1.

Exemple.Si pour toutn∈N, Xn

k=0

u_k= n(n+1)

2 , alorsu₀=0 et pourn>1,

u_n = Xn

k=0

u_k−

nX−1

k=0

u_k = n(n+1)

2 −(n−1)n

2 =n

n+1

2 −n−1 2

=n(ce qui reste vrai pourn=0).

❏ Définition 2.Soit(un)_n∈N∈C^N. Pourn∈N, on poseSn =

Xn

k=0

uk.

La série de terme généralu_n,n∈N, convergesi et seulement si la suite des somme partielles(S_n)_n∈Nconverge.

La série de terme généralu_n est dite divergentedans le cas contraire.

Si la série de terme généralu_n converge, lasomme de la sérieest S= lim

n→+∞S_n= lim

n→+∞

Xn

k=0

u_k. Elle se note S=

+∞X

k=0

uk.

Un premier résultat est :

Théorème 2.Soit(u_n)_n∈N∈C^N.

Sila série de terme généralun converge,alors lim

n→+∞un =0.

Sila suite (u_n)_n∈Nne converge pas vers0,alorsla série de terme généralun diverge.

Démonstration. Pourn∈N, posonsSn= Xn k=0

uk. Pourn∈N^∗, on aun=Sn−Sn−1. Si la suite(Sn)_n∈Nconverge vers un certain nombre (réel ou complexe)S, alorsuntend versS−S=0.

Par contraposition, siunne tend pas vers0quandntend vers+∞, alors la suite(Sn)_n∈Ndiverge ou encore la série de terme général un,n∈N, diverge.

❏

Définition 3.Soit(u_n)_n∈N∈C^N.

On dit que la série de terme général un est grossièrement divergente si et seulement siun ne tend pas vers 0 quandntend vers+∞.

Par exemple, si pour toutn∈N,un = (−1)ⁿ, alors la série de terme généralun est grossièrement divergente car (−1)ⁿ ne tend pas vers0 quandntend vers+∞.

Etudions maintenant deux séries célèbres non grossièrement divergentes.

Exemple 1.Pour n∈N^∗, posons u_n = 1

n (et u₀ =0 si on tient absolument à travailler avec une suite définie surN).

Puisqueu_n →

n→+∞0, la série de terme généralu_n n’est pas grossièrement divergente.

Vérifions que la série de terme généralu_n est divergente. Soitk∈N^∗. La fonctiont7→ 1

t est continue et décroissante sur ]0,+∞[et en particulier sur[k, k+1]. Pour toutt∈[k, k+1], on a 1

t 6 1

k et on en déduit que Zk+1

k

1 t dt6

Zk+1

k

1

k dt= 1

k(k+1−k) = 1 k.

Soitn∈N^∗. En additionnant membre à membre les inégalités précédentes quandk varie de1à n, on obtient Xn

k=1

1 k >

Xn

k=1

Zk+1

k

1 t dt=

Zn+1

1

1

t dt=ln(n+1).

Puisque ln(n+1) →

n→+∞+∞, on en déduit que Xn

k=1

1

k →

n→+∞+∞. Ainsi, la série de terme général 1

n, n∈N^∗, diverge.

❏ Exemple 2.Pourn∈N^∗, posons u_n = 1

n². Puisqueu_{n n→+∞}→ 0, la série de terme général u_n n’est pas grossièrement divergente.

Pourn∈N^∗, posonsS_n = Xn

k=1

u_k= Xn

k=1

1 k².

• Pourn∈N^∗,S_n+1−S_n = 1

(n+1)² et en particulier,S_n+1−S_n >0. La suite(S_n)_n∈Nest croissante.

•Soitn>2. Pourk∈J2, nK, 1 k² = 1

k×k 6 1

k(k−1)= 1 k−1−1

k. En additionnant membres à membre ces inégalités, on obtient :

Xn

k=1

1 k² =1+

Xn

k=2

1 k² 61+

Xn

k=2

1 k−1 − 1

k

=1+1− 1

n (somme télescopique)

=2− 1 n 62.

En résumé, la suite(S_n)_n∈N∗ est croissante et majorée par le réel2. On en déduit que la suite(S_n)_n∈N∗ converge ou encore que

la série de terme général 1

n²,n∈N^∗, converge.

❏

1.3 Reste à l’ordre n d’une série convergente

On suppose dans ce paragraphe que la série de terme général un, n ∈N, converge. On note S la somme de la série de terme généralun,n∈N:

S=

+∞X

k=0

u_k.

Pournentier naturel donné, la somme partielleSn = Xn

k=0

uk n’est pas, en général, la « somme complète »S= X+∞

k=0

uk. La différence entre les deux est

R_n =S−S_n= lim

p→+∞(S_p) −S_n= lim

p→+∞(S_p−S_n) = lim

p→+∞

Xp

k=n+1

u_k= X+∞

k=n+1

u_k.

Définition 4.Soit(u_n)_n∈N. Si la série de terme général uk,k∈N, converge, on poseS=

+∞

X

k=0

uk. Pour chaque entier natureln, on peut définirRn lereste à l’ordre nde la série de terme généralun :

Rn=S−Sn= X+∞

k=n+1

uk. Pour tout entier natureln, on aS=Sn+Rn.

On a presque immédiatement :

Théorème 3. Soit (u_n)_n∈N. Si la série de terme général u_k, k ∈ N, converge, alors la suite des restes (R_n)_n∈N et définie et converge vers0.

Démonstration. Puisque lim

n→+∞Sn=S,Rn=S−Sntend versS−S=0quandntend vers+∞.

❏

Exemple. Posons u0 = 0 et pour k ∈ N^∗, posons uk = 1

2^k (il s’agit de la suite étudiée dans le premier exemple du chapitre). Pourn∈N^∗, on aS_n =1− 1

2ⁿ etS=1 puis

Rn =S−Sn= 1 2ⁿ ou encore

+∞

X

k=n+1

1 2^k = 1

2ⁿ.

❏

1.4 Propriétés

Tout d’abord, la notion de convergence de la série de terme généralu_n ne dépend pas de la valeur des premiers termes de la suite(u_n)_n∈N:

Théorème 4.Soient(u_n)_n∈Net(v_n)_n∈Ndeux suites complexes. On suppose qu’il existen0∈Ntel que pourn>n0, un =vn.

Alors, les séries de termes généraux respectifs un et vn, n ∈ N, sont de même nature (c’est-à-dire toutes deux convergentes ou toutes deux divergentes).

Démonstration. Pourn∈N, posonsUn= Xn

k=0

uk etVn= Xn

k=0

vk. Pourn>n0, Un−Vn=

Xn

k=0

(uk−vk) =

n0

X

k=0

(uk−vk) =Un0−Vn0.

Ainsi, pour toutn>n0,Un=Vn+Un0−Vn0etVn=Un+Vn0−Un0. Mais alors, si la série de terme généralunconverge ou encore si la suite(Un)_n∈N converge alors la suite(Vn)_n∈Nconverge ou encore la série de terme généralvn converge et réciproquement.

❏

Théorème 5.Soient(u_n)_n∈N et(v_n)_n∈Ndeux suites complexes.

Siles séries de termes généraux respectifsun etvn convergent,alorspour tout(λ, µ)∈C², la série de terme général λu_n+µv_n converge. De plus, en cas de convergence

+∞X

n=0

(λu_n+µv_n) =λ X+∞

n=0

u_n+µ X+∞

n=0

v_n.

Démonstration. Soit(λ, µ)∈C². Pourn∈N, posonsUn= Xn

k=0

uk etVn= Xn

k=0

vk. Pour toutn∈N, on a Xn

k=0

(λuk+µvk) =λ Xn

k=0

uk+µ Xn

k=0

vk=λUn+µVn.

Supposons que la série de terme généralun converge versU= X+∞

k=0

uk et que la série de terme généralvnconverge versV= X+∞

k=0

vk. Alors, la suiteλ(Un) +µ(Vn)converge versλU+µV ou encore la série de terme généralλun+µvn converge versλU+µVce qui s’écrit

X+∞

k=0

(λuk+µvk) =λ X+∞

k=0

uk+µ X+∞

k=0

vk.

❏

 L’hypothèse : « les deux séries convergent » est essentielle. Pour n∈N, posonsu_n= 1

n et v_n = −1

n. Pour tout n∈N^∗, on aun+vn =0 puis, pour toutn∈N^∗,

Xn

k=1

(uk+vk) =0. Donc, la série de terme généralun+vn

converge et a pour somme0. Par contre, la série de terme généralu_n diverge de même que la série de terme général

vn. Ainsi, on a le droit d’écrire

+∞X

n=1

1 n− 1

n

=0mais on n’a pas le droit d’écrire X+∞

n=1

1 n− 1

n

=

+∞X

n=1

1 n−

X+∞

n=1

1 n (qui « vaut »(+∞) − (+∞)et ne veut donc rien dire).

Théorème 6.Soit(u_n)_n∈Nune suite complexe.

La série de terme général u_n converge si et seulement si la série de terme général u_n converge. De plus, en cas de convergence

+∞X

n=0

u_n=

+∞X

n=0

u_n

! .

Démonstration. Pourn∈N, posonsUn= Xn

k=0

uk. Alors, pourn∈N, Xn

k=0

uk=Un. Si la série de terme généralunconverge versU=

X+∞

k=0

uk, on sait que la suite(Un)converge versUou encore la série de terme généralun converge vers X+∞

k=0

uk

! .

❏ Théorème 7.Soit(u_n)_n∈Nune suite complexe.

La série de terme généralu_n converge si et seulement si les séries de termes généraux respectifs Re(u_n)et Im(u_n) convergent. De plus, en cas de convergence

+∞X

n=0

un=

+∞X

n=0

Re(u_n) +i

+∞X

n=0

Im(u_n).

Démonstration. Si les séries de termes généraux respectifs Re(un) et Im(un)convergent, alors la série de terme général un=Re(un) +iIm(un)converge d’après le théorème 5 et de plus,

X+∞

n=0

un= X+∞

n=0

Re(un) +i X+∞

n=0

Im(un).

Réciproquement, si la série de terme généralun converge, alors la série de terme généralun converge d’après le théorème 6 puis les séries de termes généraux respectifs Re(un) = 1

2un+1

2un et Im(un) = 1 2iun− 1

2iunconvergent.

❏

1.5 Lien suites-séries. Séries télescopiques

Théorème 8.Soit(u_n)_n∈Nune suite complexe.

La suite (u_n)_n∈N et la série de terme généralu_n+1−u_n sont de même nature (c’est-à-dire ou bien toutes deux convergentes, ou bien toutes deux divergentes).

Démonstration. Pourn∈N, posonsvn=un+1−un. Pourn∈N, Xn

k=0

vk= Xn k=0

(uk+1−uk) =un+1−u0(somme télescopique).

Si la suite(un)converge vers un certain nombre complexeℓ, alors Xn

k=0

vk →

n→+∞ℓ−u0. Ainsi, la série de terme général un+1−un

converge.

Réciproquement, supposons que la série de terme généralun+1−un converge vers un certain nombre complexeS. Pourn∈N^∗, on aun=u0+

n−1X

k=0

(uk+1−uk)et donc,un →

n→+∞u0+S. Ainsi, la suite(un)converge.

❏

Exercice 1.Montrer la convergence et déterminer la somme de la série de terme généralundans les deux cas suivants : 1)pour toutn∈N^∗,u_n = 1

n(n+1). 2)pour toutn∈N^∗,un = 1

n(n+1)(n+2). 3) pour tout n ∈ N, u_n = Arctan

1 n²+n+1

(on rappelle que si a > 0 et b > 0, Arctana−Arctanb = Arctan

a−b 1+ab

.) Solution 1.

1)Pourn∈N^∗, 1

n(n+1) = (n+1) −n n(n+1) = 1

n− 1

n+1 puis pourn∈N^∗, Xn

k=1

1 k(k+1) =

Xn

k=1

1 k− 1

k+1

=1− 1

n+1 (somme télescopique).

Quandntend vers+∞, on obtient la convergence de la série de terme général 1

n(n+1),n∈N^∗, et

+∞X

k=1

1

k(k+1) =1.

2)Pourn∈N^∗, 1

n(n+1)(n+2) = 1

2 × (n+2) −n n(n+1)(n+2) = 1

2 1

n(n+1)− 1 (n+1)(n+2)

puis pourn∈N^∗, Xn

k=1

1

k(k+1)(k+2) = 1 2

Xn

k=1

1

k(k+1)− 1 (k+1)(k+2)

!

= 1 2

1

2 − 1

(n+1)(n+2)

(somme télescopique).

Quandntend vers+∞, on obtient

X+∞

k=1

1

k(k+1)(k+2) = 1 4. 3)Pourn∈N, Arctan

1 n²+n+1

=Arctan

(n+1) −n 1+n(n+1)

=Arctan(n+1) −Arctan(n)puis pourn∈N, Xn

k=0

Arctan

1 k²+k+1

= Xn

k=0

(Arctan(k+1) −Arctan(k)) =Arctan(n+1) −Arctan(0)

=Arctan(n+1) (somme télescopique).

Quandntend vers+∞, on obtient

X+∞

k=0

Arctan

1 k²+k+1

= π 2.

2 Séries de référence

2.1 Séries géométriques

Théorème 9.Soitq∈C.

La série de terme généralqⁿ,n∈N, converge si et seulement si|q|< 1. De plus,

∀q∈C, |q|< 1⇒

+∞X

n=0

qⁿ= 1 1−q

! . Plus généralement, si(u_n)_n∈Nest une suite géométrique de raisonqtelle que |q|< 1,

X+∞

n=0

u_n= u0

1−q.

Démonstration. Soitq∈C. Si|q|>1,qⁿ ne tend pas vers0quandntend vers+∞. Dans ce cas, la série de terme général qⁿ,n∈N, diverge grossièrement.

Supposons maintenant|q|< 1. En particulier,q6=1et pourn∈N,

1+q+. . .+qⁿ= 1−qⁿ⁺¹ 1−q . Puisque|q|< 1,qⁿ⁺¹_n→+∞→ 0puis

Xn

k=0

q^k_n→+∞→ 1 1−q.

Plus généralement, si(un)_n∈N est une suite géométrique de raisonqtelle que|q|< 1, X+∞

n=0

un=u0

X+∞

n=0

qⁿ= u0

1−q.

❏ Quand on additionne les termes d’une suite géométrique, il y a le premier terme en facteur. Par exemple, pour la suite 1

2ⁿ

n∈N∗

,

+∞X

n=1

1 2ⁿ = 1

2× 1 1−1

2

=1,

et pour la suite 9

10ⁿ

n∈N∗

,

+∞X

n=1

9 10ⁿ = 9

10× 1 1− 1

10

=1.

On note que Xn

k=1

9

10^k s’écrit0, 9 . . . 9

| {z }

nchiffres

puis, quandntend vers+∞, 0, 9 . . . 9 . . .=1.

2.2 Séries de Riemann

Théorème 9.Soitα∈R. La série de terme général 1

n^α,n∈N^∗, converge si et seulement siα > 1.

Démonstration. Soitα∈R. Pourn∈N^∗, posonsSn,α= Xn k=1

1 k^α.

•On a déjà vu que la suiteSn,1= Xn

k=1

1

k _n→+∞→ +∞.

•Soitα61. Pourk∈N^∗, 1 k^α > 1

k puis pourn∈N^∗,Sn,α>Sn,1. On en déduit queSn,α →

n→+∞+∞.

•Soitα > 1. Pourn∈N^∗,Sn+1,α−Sn,α= 1

(n+1)^α >0. Donc, la suite(Sn,α)_n∈N∗ est croissante. Donc, la suite(Sn,α)_n∈N∗ est convergente si et seulement si la suite(Sn,α)_n∈N∗ est majorée.

La fonctiont7→ 1

t^α est continue et décroissante sur]0,+∞[. Soitk>2.

1

k^α = (k− (k−1))× 1 k^α 6

Zk k−1

1 t^α dt puis, pourn>2,

Sn,α=1+ Xn k=2

1 k^α

61+

Xn

k=2

Zk k−1

1

t^α dt=1+ Zn

1

1

t^α dt=1+

− 1

(α−1)t^α−1 n

1

=1− 1

(α−1)n^α−1 + 1 α−1

61+ 1

α−1(carα−1 > 0),

ce qui reste vrai quandn=1. La suite(Sn,α)_n∈N∗ est croissante et majorée par1+ 1

α−1. Donc, la suite(Sn,α)_n∈N∗ converge.

❏

➱ Commentaire. Contrairement au cas des séries géométriques, nous n’avons pas fourni la valeur de la somme X+∞

n=1

1 n^α quand α > 1. On est capable de calculer cette somme pour un nombre très restreint de valeurs deαet par exemple, dans l’exercice qui suit, on établit que

X+∞

n=1

1 n² = π²

6. La fonctionζ : α7→ζ(α) =

X+∞

n=1

1

n^α, définie sur]1,+∞[, s’appelle lafonction zeta de Riemann.

Exercice 2.Un calcul de X+∞

n=1

1 n².

1)Déterminer deux réelsaet btels que, pour tout entier naturel non nuln, 1 n² =

Zπ

0

at²+bt

cos(nt)dt.

2)Montrer que∀t∈[0, π], Xn

k=1

cos(kt) =











 sin

(2n+1)t 2

2sin t

2

− 1

2 sit∈]0, π]

nsit=0

.

3)Montrer que pour toutn∈N^∗, Xn

k=1

1 k² =

Zπ

0

g(t)sin

(2n+1)t 2

dt− 1

2 Zπ

0

t² 2π−t

dtoù, pour toutt∈[0, π],

g(t) =











 t² 2π −t 2sin

t 2

sit∈]0, π]

−1sit=0

.

4)Soitfune fonction de classeC¹sur [0, π], montrer que lim

n→+∞

Zπ

0

sin

(2n+1)t 2

f(t)dt=0.

5)Montrer que la fonctiongest de classeC¹ sur[0, π].

6)Calculer

+∞

X

n=1

1 n². Solution 2.

1)Soientaet bdeux réels. Soitn∈N^∗. Deux intégrations par parties fournissent

Zπ

0

at²+bt

cos(nt)dt=

at²+btsin(nt) n

π 0

− Zπ

0

(2at+b)sin(nt) n = 1

n Zπ

0

(2at+b)(−sin(nt))dt

= 1 n

(2at+b)cos(nt) n

π 0

− Zπ

0

2acos(nt)dt

= 1

n²[(2at+b)cos(nt)]^π₀

= 1

n²((2aπ+b)(−1)ⁿ−b). puis

∀n∈N^∗, Zπ

0

at²+bt

cos(nt)dt= 1

n² ⇔∀n>1, 1

n²((2aπ+b)(−1)ⁿ−b) = 1 n²

⇔∀n>1, (2aπ+b)(−1)ⁿ−b=1

⇐b= −1eta= 1 2π. Donc,∀n>1, 1

n² = Zπ

0

t² 2π−t

cos(nt)dt.

2)Soitn∈N^∗. Pourt∈[0, π],

2sin t

2 Xn

k=1

cos(kt) = Xn

k=1

2sin t

2

cos(kt) = Xn

k=1

sin

k+1

2

t

−sin

k−1 2

t

=sin

n+1 2

t

−sin 1

2

t

(somme télescopique)

=sin

(2n+1)t 2

−sin t

2

.

Sit=0, Xn

k=1

cos(kt) = Xn

k=1

1=net sit∈]0, π], alors sin t

2

6

=0,

Xn

k=1

cos(kt) = sin

(2n+1)t 2

2sin t

2

−1 2. 3)Soitn>1.

Xn

k=1

1 k² =

Xn

k=1

Zπ

0

t² 2π−t

cos(kt)dt= Zπ

0

t² 2π −t

Xn

k=1

cos(kt)dt.

Sit∈]0, π],

t² 2π−t

Xn k=1

cos(kt) = t²

2π−t







 sin

(2n+1)t 2

2sin t

2

−1 2









=g(t)sin

(2n+1)t 2

− 1 2

t² 2π −t

.

Cette dernière égalité reste vraie quandt=0. Donc, Xn

k=1

1 k² =

Zπ

0

g(t)sin

(2n+1)t 2

dt− 1

2 Zπ

0

t² 2π−t

dt.

4)Soitn∈N^∗. Puisque la fonctionf est de classeC¹sur le segment [0, π], on peut effectuer une intégration par parties qui fournit

Zπ

0

f(t)sin

(2n+1)t 2

dt=









f(t)×− cos

(2n+1)t 2

2n+1 2









π

0

+ 2

2n+1 Zπ

0

f^′(t)cos

(2n+1)t 2

dt

= 2

2n+1

−f(π) +f(0) + Zπ

0

f^′(t)cos

(2n+1)t 2

dt

On en déduit que pour toutn>1,

Zπ

0

f(t)sin

(2n+1)t 2

dt

6 2

2n+1

|f(π)|+|f(0)|+ Zπ

0

|f^′(t)|dt

puis que

n→+∞lim Zπ

0

f(t)sin

(2n+1)t 2

dt=0.

5)La fonctiongest de classeC¹sur]0, π]en vertu de théorèmes généraux. Ensuite,g(t) = t² 2π −t 2sin

t 2

∼

x→0

−t 2t 2

= −1=g(0).

La fonctiongest donc continue en0 puis sur[0, π].

Pour tout réelt∈]0, π],g^′(t) = 1 2 ×

t π−1

sin

t 2

− t²

2π−t 1 2cos

t 2

sin² t

2

puis

g^′(t) =

t→0

1 2×

−1+ t π

t

2 +o t²

− 1 2

−t+ t² 2π

(1+o(t)) 2

t²

4 +o(t²)

=

t→0

t²

4π +o t² t²+o(t²) =

t→0

1

4π+o(1).

Ainsi, g ∈ C⁰([0, π],R)∩C¹(]0, π],R) et g^′ a une limite réelle en 0. D’après le théorème de la limite de la dérivée, la fonctiongest de classeC¹ sur le segment[0, π].

6)Puisque la fonctiongest de classeC¹sur le segment[0, π], la question 4) permet d’affirmer que

n→+∞lim Zπ

0

g(t)sin

(2n+1)t 2

=0 et donc

+∞X

n=1

1 n² = −1

2 Zπ

0

t² 2π −t

dt= −1 2

t³ 6π− t²

2 ^π

0

= −1 2

π³ 6π− π²

2

= π² 6 . On a montré que

+∞X

n=1

1 n² = π²

6 .

3 Etude des séries à termes réels positifs

3.1 Généralités

Quand la suite (u_n)_n∈N est une suite réelle, positive à partir d’un certain rang, on dispose d’un certain nombre de techniques pratiques pour étudier la nature de la série de terme généralu_n. Le point de départ est le théorème suivant :

Théorème 10.Soit(u_n)_n∈Nune suite réelle, positive à partir d’un certain rangn₀. Pourn∈N, on poseS_n = Xn

k=0

u_k. 1)La suite(Sn)_n>n0 est croissante.

2)La série de terme généralu_n,n∈N, converge si et seulement si la suite des sommes partielles(S_n)_n∈Nest majorée.

Quand la suite des sommes partielles n’est pas majorée,S_n →

n→+∞+∞et on peut écrire

+∞X

n=0

u_n = +∞.

Démonstration. Pourn>n0,Sn+1−Sn=un+1>0. Donc, la suite(Sn)_n>n0 est croissante ou encore la suite(Sn)_n∈N est croissante à partir d’un certain rang.

Donc, si la suite(Sn)_n∈N est majorée, elle converge et si la suite(Sn)_n∈N n’est pas majorée,Sn tend vers+∞quandntend vers +∞.

❏

➱ Commentaire^. Si la suite (un)_n∈N est réelle et négative à partir d’un certain rang, la suite (Sn)_n∈N est décroissante puis convergente si elle est minorée et de limite−∞si elle n’est pas minorée.

3.2 Utilisation des relations de comparaison

Théorème 11.Soient(u_n)_n∈Net (v_n)_n∈N deux suite réelles telles que, à partir d’un certain rangn₀,06u_n6v_n. Si la série de terme généralvn converge, alors la série de terme généralun converge.

Si la série de terme généralun diverge, alors la série de terme généralvn diverge.

Démonstration. Pour n∈ N, posons Un = Xn

k=0

uk et Vn = Xn

k=0

vk. Supposons que la série de terme général vn converge.

NotonsVla somme de cette série. D’après le théorème 11, la suite(Vn)_n>n0est croissante et on en déduit que pourn>n0,Vn6V.

Pourn > n0,

Un=

n0

X

k=0

uk+ Xn

k=n0+1

uk6

n0

X

k=0

uk+ Xn

k=n0+1

uk=Un0+Vn−Vn06Un0−Vn0+V.

La suite(Un)_n∈Nest donc majorée. On en déduit que la série de terme généralunconverge d’après le théorème 10.

❏ Théorème 12.

Soient (u_n)_n∈N et (v_n)_n∈N deux suite réelles, positives à partir d’un certain rang, telles que u_n =

n→+∞ O(v_n) ou u_n =

n→+∞o(v_n).

Si la série de terme généralvn converge, alors la série de terme généralun converge.

Si la série de terme généralun diverge, alors la série de terme généralvn diverge.

Démonstration. Siun =

n→+∞o(vn), alorsun =

n→+∞O(vn). Il suffit donc de prouver le théorème quandun =

n→+∞O(vn)ce que l’on fait.

Il existe un rangn0 et un réel positif M tel que, pour n> n0,0 6 un 6 Mvn. Si par hypothèse, la série de terme général vn

converge, il en est de même de la série de terme généralMvn. D’après le théorème 11, la série de terme généralunconverge.

❏ Théorème 13.

Soient(un)_n∈Net (vn)_n∈Ndeux suite réelles, positives à partir d’un certain rang, telles queun ∼

n→+∞vn.

La série de terme généralu_n converge si et seulement si la série de terme généralv_n converge (ou encore les séries de termes généraux respectifsu_n et v_n sont de même nature).

Démonstration. Siun ∼

n→+∞vn, alorsun =

n→+∞O(vn)etvn =

n→+∞O(un).

Donc, la série de terme généralun converge si et seulement si la série de terme généralvn converge.

❏

➱ Commentaire. Dans les théorèmes qui précèdent, on a systématiquement l’hypothèse «un etvn sont positifs à partir d’un certain rang ». On verra plus loin que cette hypothèse est indispensable. C’est ce qu’on analyse à travers différents exemples ci-dessous.

Pour6: pour tout n∈N^∗, on a−16 1

n² et la série de terme général 1

n² converge. Pourtant, la série de terme général

−1est grossièrement divergente. On ne peut donc pas supprimer l’hypothèse de signe dans le théorème 11.

Pour o et O : on verra à travers un exercice à la fin de ce chapitre, que la série de terme (−1)ⁿ⁻¹

√n converge. Or, 1

n =

n→+∞o

(−1)ⁿ⁻¹

√n

(et aussi 1

n =

n→+∞O

(−1)ⁿ⁻¹

√n

) car

1/n (−1)ⁿ⁻¹/√

n

= 1

√n →

n→+∞0et d’autre part, la série de terme général 1

n diverge. On ne peut donc pas supprimer l’hypothèse de signe dans le théorème 12.

Pour ∼ : on verra dans le même exercice, que la série de terme général (−1)ⁿ⁻¹

√n+ (−1)ⁿ⁻¹ diverge (et on rappelle que l’on montrera que la série de terme général (−1)ⁿ⁻¹

√n converge . Pourtant, (−1)ⁿ⁻¹

√n+ (−1)ⁿ⁻¹ ∼

n→+∞

(−1)ⁿ⁻¹

√n . On ne peut donc pas supprimer l’hypothèse de signe dans le théorème 13.

Exercice 3.Nature de la série de terme général 1)un=ln

n²+n+1 n²−n+1

etvn =ln

n²+n+1 n²+n−1

. 2)u_n= ln(n)

n² et v_n= 1

√nln(n). Solution 3.

1)Puisque n²+n+1 n²−n+1 →

n→+∞1, ln

n²+n+1 n²−n+1

n→+∞∼

n²+n+1

n²−n+1 −1= 2n

n²−n+1 ∼

n→+∞

2 n. Puisque la suite

2 n

n∈N

est positive (et donc la suite (u_n) est positive à partir d’un certain rang) et que la série de terme général 2

n diverge (série deRiemann d’exposant161), la série de terme généralu_n diverge.

Puisque n²+n+1

n²+n−1 _n→+∞→ 1, ln

n²+n+1 n²+n−1

n→+∞∼

n²+n+1

n²+n−1 −1= 2

n²−n+1 ∼

n→+∞

2 n². Puisque la suite

2 n²

n∈N

est positive et que la série de terme général 2

n² diverge (série deRiemannd’exposant2 > 1), la série de terme généralun converge.

2)•Il est exact lnn

n² est prépondérant devant 1

n² et que la série de terme général 1

n² converge. Mais ceci ne permet pas de conclure car par exemple, 1

n³² et 1

n sont prépondérants devant 1

n² mais les séries de termes généraux 1 n³² et 1

n sont respectivement convergente et divergente.

Vérifions que ln(n) n² =

n→+∞o 1

n³²

. D’après un théorème de croissances comparées, n³²×ln(n)

n² = ln(n) n¹² =

n→+∞o(1), et donc ln(n)

n² =

n→+∞o 1

n³²

. Puisque les suites

ln(n) n²

et

1 n³²

sont positives et que la série de terme général 1 n³² converge (série deRiemannd’exposant 3

2 > 1), la série de terme général ln(n)

n² converge.

•Vérifions que 1

√nln(n) ≫

n→+∞

1

n³⁴. D’après un théorème de croissances comparées, n³⁴ × 1

√nln(n) = n¹⁴

ln(n) →

n→+∞+∞,

et donc 1

√nln(n) ≫

n→+∞

1

n³⁴. Puisque les suites

1

√nln(n)

et 1

n³⁴

sont positives et que la série de terme général 1

n³⁴ diverge (série deRiemannd’exposant 3

4 61), la série de terme général 1

√nln(n) diverge.

4 Comparaison séries-intégrales

On va généraliser le travail effectué pour étudier la convergence des séries de Riemann. On se donne une fonction f continue et décroissante sur[0,+∞[. Soitk>0. Puisquef est décroissante sur[k, k+1], pour toutxde [k, k+1], on a f(x)6f(k)et donc

Zk+1

k

f(x)dx6 Zk+1

k

f(k)dx= (k+1−k)f(k) =f(k).

De même, pourk>1et x∈[k−1, k],f(k)6f(x)et donc

Zk

k−1

f(x)dx>

Zk

k−1

f(k)dx= (k− (k−1))f(k) =f(k).

Illustrons ces inégalités par un graphique dans le cas où de plus,f est positive.

k

k−1 k+1 f(k)

D D^′

b b bbb

b

Zk

k−1

f(x)dxet Zk+1

k

f(x)dxsont respectivement l’aire, exprimée en unités d’aire, deD={(x, y)∈R²/ k−16x6ket06 y6f(x)}et D^′ ={(x, y)∈R²/ k6x6k+1et06y6f(x)}. D’autre part,f(k) = (k− (k−1))f(k) = (k+1−k)f(k) est l’aire du rectangleRde sommets(k−1, 0), (k, 0),(k, f(k))et(k−1, f(k))et aussi l’aire du rectangleR^′ de sommets (k, 0),(k+1, 0),(k+1, f(k))et(k, f(k)).

L’inégalité Zk

k−1

f(x) dx > f(k) s’interprète graphiquement par le fait que l’aire de D est supérieure à l’aire de R et l’inégalité

Zk+1

k

f(x)dx6f(k)s’interprète graphiquement par le fait que l’aire deD^′ est inférieure à l’aire de R^′. En sommant membre à membre ces inégalités, on obtient pourn∈N,

Xn

k=0

f(k)>

Xn

k=0

Zk+1

k

f(x)dx= Zn+1

0

f(x)dx et pourn∈N^∗,

Xn

k=0

f(k) =f(0) + Xn

k=1

f(k)>f(0) + Xn

k=1

Zk

k−1

f(x)dx=f(0) + Zn

0

f(x)dx.

Dans le cas oùf est continue et décroissante sur[0,+∞[, on a montré que

∀n∈N^∗, Zn+1

0

f(x)dx6 Xn

k=0

f(k)6f(0) + Zn

0

f(x)dx.

Ceci généralise le travail effectué pour étudier la convergence des séries deRiemann. On peut effectuer un travail analogue dans le cas d’une fonction croissante.

5 Séries absolument convergentes

Dans les paragraphes précédents, on a pu donner un certain nombre de techniques pour étudier la convergence d’une série à termes réels positifs (au moins à partir d’un certain rang). On va maintenant s’intéresser aux suites réelles de signe quelconque comme par exemple la suite

(−1)ⁿ n

n∈N∗

puis aux suites complexes comme par exemple e^iθ

n²

n∈N∗

. On commence par l’étude des suites réelles en dégageant les notions de parties positive et négative d’une suite réelle.

5.1 Les suites (u

⁺_n

) et (u

⁻_n

)

Définition 5.Soit(u_n)_n∈Nune suite réelle.

Pourn∈N, on poseu⁺_n =Max{un, 0}etu⁺_n = −Min{un, 0}=Max{−un, 0}.

Par exemple, si pour toutn∈N,u_n= (−1)ⁿ, alors(u⁺_n)_n∈N= (1, 0, 1, 0, 1, . . .)et(u⁻_n)_n∈N= (0, 1, 0, 1, 0, . . .). On note que les suites(u⁺_n)_n∈Net (u⁻_n)_n∈Nsont deux suites réelles positives.

Théorème 14.Soit(un)_n∈N une suite réelle.

1)Pour toutn∈N,u⁺_n >0 etu⁻_n >0.

2)Pour toutn∈N,|u_n|=u⁺_n +u⁻_n etun=u⁺_n−u⁻_n. 3)Pour toutn∈N,u⁺_n = |u_n|+un

2 etu⁻_n = |u_n|−un

2 .

4)Pour toutn∈N,u⁺_n 6|u_n| etu⁻_n 6|u_n|.

Démonstration.

1)Soitn∈N.u⁺n est le plus grand des deux réelsun et0et en particulier,u⁺n est plus grand que0. De même,u⁻n est le plus grand des deux réels−unet0et en particulier,u⁻n est plus grand que0.

2)Siun>0,u⁺n =un etu⁻n=0puisu⁺n+u⁻n=un=|un|etu⁺n−u⁻n =un. Siun60,u⁺n=0etu⁻n= −un puisu⁺n+u⁻n = −un=|un|etu⁺n−u⁻n=un.

3)En additionnant ou en retranchant membre à membre les égalités de 2), on obtient|un|+un=2u⁺n et|un|−un=2u⁻n. Donc, u⁺n = |un|+un

2 etu⁻n =|un|−un

2 .

4)Pour toutn∈N,u⁺n>0etu⁻n>0et donc,u⁺n 6u⁺n+u⁻n =|un|etu⁻n6u⁺n+u⁻n =|un|. ❏

5.2 Définition de la convergence absolue

Définition 6.Soit(u_n)_n∈Nune suite complexe.

La série de terme généralun estabsolument convergentesi et seulement si la série de terme général|u_n|converge.

Par exemple, les séries de termes généraux respectifs (−1)ⁿ

n² , n ∈ N^∗, ou e^inθ n√

n, n ∈ N^∗ et θ ∈ R, sont des séries absolument convergentes (car

(−1)ⁿ n²

= 1 n² et

e^inθ n√

n

= 1

n³²). Par contre, la série de terme général (−1)ⁿ

n ,n∈N^∗, n’est pas absolument convergente.

5.3 Application à la convergence d’une série

Théorème 15.Soit(u_n)_n∈N une suite complexe.

Sila série de terme généralu_n est absolument convergente,alorsla série de terme généralu_n est convergente.

Démonstration.

•Analysons d’abord le cas où(un)est une suite réelle. Supposons que la série de terme généralun converge absolument ou encore supposons que la série de terme général |un|converge. Pour tout n∈N,06 u⁺n 6|un|et 06 u⁻n 6 |un|. Mais alors, d’après le théorème 11, les séries de termes généraux respectifsu⁺n etu⁻n convergent.

Puisque pour toutn ∈ N, un = u⁺n −u⁻n, la série de terme général un converge d’après le théorème 5 (et de plus, X+∞

n=0

un = X+∞

n=0

u⁺n− X+∞

n=0

u⁻n). Le résultat est établi dans le cas d’une suite réelle.

•Passons au cas d’une suite complexe. Supposons que la série de terme général un converge absolument ou encore supposons que la série de terme général|un|converge. Pour toutn∈N,|Re(un)|6|un|et|Im(un)|6|un|.

On en déduit que les séries de termes généraux|Re(un)|et|Im(un)|sont convergentes ou encore que les séries de termes généraux Re(un) et Im(un) sont absolument convergentes. D’après l’étude du cas où la suite est réelle, on en déduit que les les séries de termes généraux Re(un)et Im(un)sont convergentes puis la série de terme généralunconverge d’après le théorème 7.

❏

Par exemple, les séries de termes généraux respectifs −1)ⁿ

n² , n ∈ N^∗, ou e^inθ n√

n, n ∈ N^∗ et θ ∈ R, sont absolument convergentes et donc convergentes.

Exercice 4.Nature de la série de terme généralun =ln

1+(−1)ⁿ⁻¹ n²

,n∈N^∗.

Solution 4.

ln

1+(−1)ⁿ⁻¹ n²

n→+∞∼

(−1)ⁿ⁻¹ n²

= 1

n². Puisque la série de terme général 1

n² converge, on en déduit que la série de terme général ln

1+(−1)ⁿ⁻¹ n²

converge absolument et donc converge.

On peut pratiquer différemment : ln

1+(−1)ⁿ⁻¹ n²

n→+∞= O 1

n²

. Donc, la série de terme général ln

1+(−1)ⁿ⁻¹ n²

converge absolument et donc converge (dire queu_n =

n→+∞O 1

n²

signifie qu’il existe M∈R⁺ et n₀∈Ntel que pour n>n₀,|u_n|6 M

n²).

5.4 Exemples de séries semi-convergentes

Dans l’exercice qui vient, on va voir deux exemples de séries convergentes qui ne sont pas absolument convergentes. Une telle série est ditesemi-convergente.

Exercice 5.

1)Convergence et somme de la série de terme général (−1)ⁿ⁻¹

n ,n∈N^∗. La série de terme général (−1)ⁿ⁻¹

n ,n∈N^∗ est-elle absolument convergente ?

2)Convergence et somme de la série de terme général (−1)ⁿ

2n+1,n∈N. La série de terme général (−1)ⁿ

2n+1,n∈Nest-elle absolument convergente ?

(Dans les deux cas, on pourra utiliser le fait que pour toutk∈N^∗, 1 k =

Z1

0

t^t−1dt.) Solution 5.

1)Soitn∈N^∗.

Xn

k=1

(−1)^k−1

k =

Xn

k=1

(−1)^k−1 Z1

0

t^k−1dt= Z1

0 nX−1

k=0

(−t)^k

! dt

= Z1

0

1− (−t)ⁿ

1− (−t) dt(car, pour toutt∈[0, 1], −t6=1)

= Z1

0

1

1+t dt− (−1)ⁿ Z1

0

tⁿ 1+t dt

=ln2− (−1)ⁿ Z1

0

tⁿ 1+t dt.

De plus, pourn∈N^∗,

(−1)ⁿ Z1

0

tⁿ 1+t dt

= Z1

0

tⁿ 1+t dt6

Z1

0

tⁿ

1+0 dt= 1 n+1. Puisque 1

n+1 →

n→+∞0, on en déduit que (−1)ⁿ Z1

0

tⁿ

1+t dt →

n→+∞0 puis que Xn

k=1

(−1)^k−1

k →

n→+∞ln2. Ceci montre la convergence de la série de terme général (−1)ⁿ⁻¹

n ,n∈N^∗, et fournit sa somme : X+∞

n=1

(−1)ⁿ⁻¹ n =ln2.

D’autre part, pour n∈ N^∗,

(−1)ⁿ⁻¹ n

= 1

n et donc, la série de terme général

(−1)ⁿ⁻¹ n

diverge ou encore la série de terme général (−1)ⁿ⁻¹

n n’est pas absolument convergente.