Chap 5 : Séries de fonctions
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Chap 5 : Séries de fonctions
I. Convergence simple
( , ) espace métrique, evnX d E
, | | 1 1 | | 1
1 ( , )
!
( (1 ) (0,1)) | | 1 1 | | 1 1
Série géom : : CV de somme DV
Série exponentielle : algèbre de Banach, CV (car ACV)
Logarithme complexe : pour ACV, DV, ,
n
n
n
z z z z
z
A a A a
n
z Log z z D z z z z
n
1
1
ln 2sin
2 2 2
1 1
( ) Re( ) 1 ( ) Re( ) 0
1
CV (Abel)
Pour ,
si ACV pour
n i
n
n z
z e z i
n
z CV z z z
n z
II. Modes de convergence
C'est celui des sommes partielles :
un CVUUn CVU( )
1
( n) ( , ) n CVU n CVS et la suite des restes n( ) ( ) CVU vers 0
I
k n n
u X E u u R x u x
F
1
0, , , ( )
Critère de Cauchy uniforme (CCU) : série de fonctions
CVU ,
Condition suffisante si est complet
m
n k
k n
un X E
u n m n n x X u x
E
0, , ( ) , ( )
Négation : croissant vers ,
n
n
n n n
q n
p n k
p q x X n u xk
// //
( n) ( , ) avec complet. n CVU sur , n CVU sur
HP u C X E E
u AX
u A( ) , , ( )
série de fonctions converge normalement lorsque CV
En pratique : , et CV
n n n
n n n n
u X E u u
n x X u x
complet :
E CVNCVU
/ / / /
0
, ( ) ( ) 0
( ),( ) ( , )
, ( ) ( )
0
et
Méthode d'Abel : tq
et est bornée CVS Si CVU vers , CVU
n n
n n
n k
HP n
k
k k n k k
x X x x
v X
x X v x v x
v v
F
III. Propriétés de la somme
(un n) F( , )X E , aX tq n u, n en S'il existe C a. UV( )a sur lequel
un CVU, la somme
un est en C a{ ,Re( ) 1}
est sur z z
C
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0 0 0
, ( ) ( , ) , lim ( )
lim ( ) lim
Interversion des limites : , . Si CVU sur A,
et est complet : CV et possède une limite en :
n x
n n n
a x A
x a x
n n n
n
n n n n
x A
A X a A u X E u n u x
E f u a f x
F
0
( )
n x A a f xn
0
{ } ( ) 0 1
, n si n, 2 si n : n, est strictement croissante et l'ens. de ses pts de discont° est
n n n
n
r u x x r x r f u
( n)n pm([ , ], p) CVU vers p ([ , ], ) b CV de somme b
a a
n m n
u C a b
u uC a b
u
u1
1
( ) ([ , ], ) ' [ , ]
[ , '
( ) ]
CV et CVU sur , de somme CVU sur de somme , avec
p
n n n
n
u a b u u a b V
u b U V
a
a U
C
C
( )
( ) (
0 0
) 0
: [ , ] 1, [ , ] ,
Extension CVS sur , , CVU sur est
Sur un intervalle non compact, on travaille sur les segments inclus dans
k
k p k
n n n n
n n
n n
u a b k p u a b u u u
I I
C
2
1
* *
1
0
]1, [, ( ) 1 ]1; [ ( ) 1
~ lim ( ) 1
1
( ) est de classe sur ( )~ lim ( ) 1
est de classe sur x
x
n x x n
n x
x x x
n
x
x x
x x e x
x
C C
0
( ) 1
1
| | 1 1 1
( 1) ! ( )
( )
Utile :
Si on a une intégrale dans une intégrale, penser à faire une IPP
n
p p p
n
p
q q
q
ax b p c ad bc
cx d cx d
