Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 20 (29/03 – 02/04)
Chapitre 16 : Théorèmes globaux pour les fonctions continues ou dérivables
Un exercice de révision sur ce chapitre pourra être donné en fin de colle.
Chapitre 14 : Approximations polynomiales
1. Formules de Taylor
‚ Développement de Taylor à l’ordren : polynôme dont les dérivées successives jusqu’à l’ordrencoïncident avec celles def. Expression du développement de Taylor à l’aide des dérivées def.
‚ Reste de Taylor. Notion de fonction développable en série de Taylor.
‚ Rappel : Formule de Taylor avec reste intégral (FTI)
‚ Formule de Taylor-Lagrange (FTL) (HP, démonstration non exigible)
‚ Inégalité de Taylor-Lagrange (ITL) (au programme, mais avec les hypothèses de la FTI)
‚ Formule de Taylor Young (FTY), avec l’hypothèseCn, conformément au programme.
2. Formules de Taylor pour les fonctions usuelles
‚ Développements limités en0 deexp, ln,cos,sin,sh,ch,p1`xqα.
‚ Développement en série deexp,cos,sin. Développement deeiy. Développement deezpourzPC(ADMIS).
‚ Développement en série deln,p1`xqα.
‚ Formule de Taylor pour les polynômes.
3. Généralités sur les développements limités
‚ Définition d’un DL au voisinage dex0. Existence pour les fonctions de classeCn. Ce n’est pas une CN.
‚ Unicité du DL
‚ LeDL1 donne la dérivabilité et l’existence de la dérivée. Redémonstration de la formule de dérivation des composées.
‚ DL au sens fort (avec reste enO)
‚ Troncature d’un polynôme au degrérau voisinage dex0. Restriction à l’ordrerd’un DL à l’ordreněr.
‚ Forme normalisée, partie principale, équivalent issu d’un DL.
4. Opérations sur les développements limités
‚ Somme
‚ Produit, optimisation de l’ordre lorsque les pp ne sont pas constantes.
‚ Composition
‚ Quotient, en se ramenant à 1`1u : la méthode de division suivant les puissances croissantes est HP
‚ réciproque (par identification),
‚ primitivation, dérivation (pour f de classeCn)
‚ DL deArctan(à connaître),Arcsin(à savoir retrouver).
5. Développements asymptotiques
‚ DA enn x1 au voisinage de`8
‚ DA au voisinage dex0 avec des puissances négatives. Exemples
‚ Notion d’échelle de comparaison (HP, évoqué très rapidement, rien d’exigible sur le sujet)
‚ Exemples de DA sur des échelles non polynomiales (avec des techniques issues des DL)
Chapitre 15 : Séries
UNIQUEMENT LE COURS
1. Notion de série et de convergence
‚ Série, somme partielle.
‚ Convergence, divergence, nature d’une série. Somme, reste.
‚ Cas d’une somme infinie.
‚ Deux séries ne différant que d’un nombre fini de termes ont même nature.
‚ CN de convergence sur le tg ; divergence grossière. Toute divergece n’est pas grossière. Exemple de la série harmonique (DV déjà étudiée par condensation lors de l’étude duln, démonstration à revoir).
‚ Linéarité.
2. Séries à termes positifs
‚ Croissance de la somme partielle, convergence dansR.
‚ TCSTP par inégalité
‚ CVA, CVA implique CV (avec parties positives et négatives, les suites de Cauchy étant HP)
‚ TCSTP parO,o, équivalent.
‚ Contre-exemple pour la comparaison par équivalents sans l’hypothèse de positivité.
‚ Comparaison série/intégrale
‚ Séries de référence : géométriques, exponentielles, Riemann, Bertrand (ces dernières ne sont pas explicitement au programme).
‚ Comparaison avec une série de Riemann : règlenαun
‚ Comparaison avec une série géométrique : règle de d’Alembert.
3. Séries semi-convergentes
‚ Exemple de série semi-convergente : série harmonique alternée (démonstration déjà faite lors de l’étude des suites adjacentes)
‚ Plus généralement : CSCSA ou TSCSA (démonstration faite lors de l’étude des suites adjacentes, à revoir)
‚ (HP) Critère d’Abel.
