6.1 Généralités sur les séries réelles ou complexes

6

Séries réelles ou complexes

Comme pour le chapitre 3, les suites considérées sont a priori complexes et les résultats classiques sur les fonctions continues ou dérivables d’une variable réelle sont supposés connus de même que les fonctions usuelles exp,ln, sin, · · ·

6.1 Généralités sur les séries réelles ou complexes

Soient n0 un entier naturel et (un)_n≥n0 une suite de nombres complexes. Étudier la série de terme général u_n revient à étudier la suite (S_n)_n≥n0 des sommes partielles définie par :

∀n≥n₀, S_n = Xn

k=n0

u_k.

On peut remarquer que cette suite est aussi définie par la relation de récurrence :

½ Sn0 =un0,

∀n ≥n₀+ 1, S_n =S_n−1+u_n. On notera plus simplement P

u_n une telle série et on parlera de série numérique.

Pour tout entier n ≥ n₀, on dit que u_n est le terme d’indice n et S_n la somme partielle d’indice n de cette série.

On supposera, a priori, que n₀ = 0.

6.2 Séries convergentes ou divergentes

On se donne une suite(u_n)_n∈N(ou plus généralement(u_n)_n≥n0) d’éléments deCet on désigne par (S_n)_n∈N la suite de ses sommes partielles.

Définition 6.1 On dit que la série P

u_n est convergente si la suite de ses sommes partielles (Sn)_n∈N est convergente. Dans le cas contraire, on dit que la série est divergente.

Dans le cas où la série P

u_n est convergente, on notera ^+∞P

n=0

u_n la limite de la suite (S_n)_n∈N, soit :

X+∞

n=0

u_n= lim

n→+∞

Xn

k=0

u_k

111

et on dit que ^+∞P

n=0

u_n est la somme de la série de terme généralu_n. On peut alors définir la suite (R_n)_n∈N des restes de cette série convergente par :

∀n∈N, R_n = X+∞

n=0

u_n−S_n = X+∞

k=0

u_k− Xn

k=0

u_k.

On dit, pour tout entier n ∈ N, que R_n est le reste d’ordre n de la série convergente P u_n et on note :

R_n = X+∞

k=n+1

u_k. On peut remarquer que la suite (R_n)_n∈N converge vers 0.

Le reste d’ordre n, R_n nous donne une idée de l’erreur que l’on comment en remplaçant la somme ^+∞P

n=0

u_n par la somme partielle d’ordre n, S_n. La convergence de la série P

u_n se traduit donc par :

∀ε >0, ∃n₀ ∈N| ∀n≥n₀,

¯¯

¯¯

¯ X+∞

k=n+1

u_k

¯¯

¯¯

¯< ε.

L’étude la suite géométrique (aⁿ)_n∈N (exercice 3.18) nous permet d’étudier la série corres- pondante.

Exercice 6.1 Étudier la série géométrique P

aⁿ, où a∈C.

Solution 6.1 Pour a= 1, on a :

n→+∞lim Xn

k=0

a^k = lim

n→+∞(n+ 1) = +∞

et la série diverge.

Pour a6= 1, les sommes partielles sont données par :

∀n ∈N, S_n = Xn

k=0

a^k = 1−aⁿ⁺¹ 1−a

et la série géométrique converge si, et seulement si, la suite géométrique (aⁿ⁺¹)_n∈N converge, ce qui équivaut à |a|<1. En cas de convergence, on a alors :

X+∞

n=0

aⁿ= lim

n→+∞

1−aⁿ⁺¹

1−a = 1 1−a. Les restes d’ordre n, pour tout n∈N, sont donnés par :

R_n= X+∞

n=0

aⁿ− Xn

k=0

a^k= 1

1−a − 1−aⁿ⁺¹

1−a = aⁿ⁺¹ 1−a

L’exercice qui suit nous montre comment ramener l’étude d’une suite à celle d’une série ou inversement.

Exercice 6.2 Étant donnée une suite numérique(a_n)_n∈N,on lui associe la série numérique de terme général u_n défini par :

½ u₀ ∈C,

∀n ≥1, un =an−1−an. Montrer que la suite(a_n)_n∈Nest de même nature que la sérieP

u_n,c’est-à-dire qu’elles convergent ou divergent simultanément.

Solution 6.2 Les sommes partielles de la série P

u_n sont données par S₀ =u₀ et, pourn ≥1: S_n =u₀ +

Xn

k=1

(a_k−1−a_k) =u₀+ Xn

k=1

a_k−1− Xn

k=1

a_k

=u₀+ Xn−1

k=0

a_k− Xn

k=1

a_k=u₀+a₀−a_n

ce qui donne le résultat. En cas de convergence de la suite (an)_n∈N vers`,la sérieP

unconverge vers u₀+a₀−` et les restes d’ordre n de la série P

u_n sont données par : R_n=u₀+a₀−`−S<sub>n</sub>=a<sub>n</sub>−`.

Les exercices qui suivent nous donne des exemples d’application de ce résultat.

Exercice 6.3 Étudier les séries P 1

(n+ 1) (n+ 2) et P 2n+ 3 (n+ 1)²(n+ 2)². Solution 6.3 Une décomposition en éléments simples nous donne :

u_n= 1

(n+ 1) (n+ 2) = 1

n+ 1 − 1

n+ 2 =a_n−1−a_n et :

v_n = 2n+ 3

(n+ 1)²(n+ 2)² = 1

(n+ 1)² − 1

(n+ 2)² =b_n−1−b_n et en conséquence :

X+∞

n=0

1

(n+ 1) (n+ 2) =u₀+a₀− lim

n→+∞

1

n+ 1 = 1, X+∞

n=0

2n+ 3

(n+ 1)²(n+ 2)² =v0+b0 − lim

n→+∞

1

(n+ 1)² = 1.

Exercice 6.4 Étudier les séries P ln

µ 1 + 1

n

¶ et P

ln µ

1− 1 n²

¶ .

Solution 6.4 Avec :

∀n≥1, u_n= ln µ

1 + 1 n

¶

= ln (n+ 1)−ln (n) =−(a_n−1−a_n)

on déduit que la série P ln

µ 1 + 1

n

¶

diverge (vers l’infini).

Pour n ≥2, on a :

v_n = ln µ

1− 1 n²

¶

= ln

µ(n−1) (n+ 1) n²

¶

= ln

µn−1 n

¶ + ln

µn+ 1 n

¶

= ln

µn−1 n

¶

−ln µ n

n+ 1

¶

= ln µ

1− 1 n

¶

−ln µ

1− 1 n+ 1

¶

=a_n−1−a_n et :

X+∞

n=2

ln µ

1− 1 n²

¶

=v₂+a₂− lim

n→+∞ln µ

1− 1 n+ 1

¶

= ln µ3

4

¶ + ln

µ2 3

¶

=−ln (2). Exercice 6.5 Étudier la suite (u_n)_n∈N, définie par la relation de récurrence :

½ u0 ∈C,

∀n ∈N, u_n+1 =u_n+aⁿ où a est un scalaire donné.

Solution 6.5 La suite (u_n)_n∈N est de même nature que la série P

(u_n+1−u_n) = P

aⁿ. Elle est donc convergente si, et seulement si, |a|<1. Pour |a|<1, on a :

u_n =u₀+ Xn−1

k=0

(u_k+1−u_k) = u₀+ Xn−1

k=0

a^k

=u₀+ 1−aⁿ 1−a →

n→+∞u₀+ 1 1−a.

De manière plus générale, une suite(u_n)_n∈N,définie par une relation de récurrence du type :

½ u0 ∈C,

∀n∈N, u_n+1 =u_n+v_n est convergente si, et seulement si, la série P

v_n est convergente.

Nous verrons plus loin comment utiliser le résultat de l’exercice 6.2 pour étudier la constante d’Euler γ déjà rencontré à l’exercice 3.59.

L’exercice suivant nous montre comment utiliser la décomposition en éléments simple des fonctions rationnelles de pôles entiers relatifs et les changements d’indices pour calculer la somme de certaines séries numériques.

Exercice 6.6 Montrer que les séries de terme général u_n = 2n−1

n(n²−4) (n ≥ 3) et v_n = 1

n(n+ 1) (n+ 2) (n≥1) sont convergentes et calculer leurs sommes.

Solution 6.6 En utilisant la décomposition en éléments simples : f(x) = 2x−1

x(x²−4) = a x + b

x−2 + c x+ 2 avec :

a= lim

x→0xf(x) = 1

4, b= lim

x→2(x−2)f(x) = 3

8, c = lim

x→−2(x+ 2)f(x) =−5 8 on a :

u_n = 1 8

µ2

n + 3

n−2− 5 n+ 2

¶

et :

8S_n= 2 Xn

k=3

1 k + 3

Xn

k=3

1 k−2 −5

Xn

k=3

1 k+ 2

= 2 Xn

k=3

1 k + 3

Xn−2

k=1

1 k −5

Xn+2

k=5

1 k

= 2 X4

k=3

1 k + 3

X4

k=1

1 k + 2

Xn

k=n−1

1 k −5

Xn+2

k=n−1

1 k

= 89 12− 3

n−1 − 3

n − 5

n+ 1 − 5 n+ 2. En conséquence :

X+∞

n=3

2n−1

n(n²−4) = 89 96. De manière analogue, la décomposition en éléments simples :

g(x) = 1

x(x+ 1) (x+ 2) = a x + b

x+ 1 + c x+ 2 avec :

a= lim

x→0xg(x) = 1

2, b= lim

x→−1(x+ 1)g(x) = −1, c= lim

x→−2(x+ 2)g(x) = 1 2 on a :

vn= 1 2

µ1

n − 2

n+ 1 + 1 n+ 2

¶

et :

2Sn= Xn

k=1

1 k −2

Xn

k=1

1 k+ 1 +

Xn

k=1

1 k+ 2

= Xn

k=1

1 k −2

Xn+1

k=2

1 k +

Xn+2

k=3

1 k

= 1 2+ 1

n+ 2 − 1 n+ 1. En conséquence :

X+∞

n=1

1

n(n+ 1) (n+ 2) = 1 4.

Les exercices 3.24 et 3.52 nous donnent le résultat suivant sur les séries de Riemann P 1 n^α. Théorème 6.1 Soit α un réel. La série de Riemann P 1

n^α est convergente si, et seulement si α >1.

Démonstration. Rappelons la démonstration de ce résultat.

Pour α ≤ 1, on utilise le fait que si la suite (S_n)_n∈N converge alors lim

n→+∞(S_2n−S_n) = 0et pour α >1, on montre que la suite croissante (Sn)_n∈N est majorée.

Pour α≤1, on a x 1

x^α =x^1−α ≥1pour x≥1et : S_2n−S_n=

Xn

k=1

1 (n+k)^α ≥

Xn

k=1

1

n+k ≥ n 2n = 1

2 et la suite (S_n)_n≥1 diverge.

Pour α >1,la fonction t→ 1

t^α étant décroissante sur R^+∗, on a :

∀k≥2, Z _k

k−1

dt t^α ≥

Z _k

k−1

dt k^α = 1

k^α et pour tout n ≥2, on a :

Sn= 1 + Xn

k=2

1

k^α ≤1 + Xn

k=2

Z _k

k−1

dt

t^α = 1 + Z _n

1

dt

t^α = 1 + 1 α−1

µ

1− 1 n^α−1

¶

≤ α α−1. La suite (S_n)_n∈N est donc croissante majorée et en conséquence convergente.

Pour α = 2, on a ^+∞P

n=1

1

n² = π²

6 . Voir le problème 22 pour plusieurs démonstrations de ce résultat. De manière plus générale, on peut montrer que pour tout entier p≥1 on a :

X+∞

n=1

1

n^2p = (−1)^p+1 b_2p(2π)^2p 2 où les b_2p sont les nombres de Bernoulli (voir le problème 23).

On peut aussi montrer la convergence des séries de Riemann pour α > 1 en utilisant les séries géométriques comme suit.

Exercice 6.7 On désigne par (S_n)_n∈N la suite des sommes partielles de la série de Riemann P 1

n^α pour α >1.

1. Montrer que pour tout entier p≥0, on a :

2^p+1X−1

k=2^p

1

k^α ≤ 1 2^p(α−1).

2. En déduire que pour tout réel α >1 et tout entier r≥0, on a : S₂^r+1₋₁ < 2^α−1

2^α−1−1. 3. En déduire que la série de Riemann P 1

n^α est convergente pour α >1.

Solution 6.7

1. Pour k compris entre 2^p et 2^p+1−1, on a k ≥2^p, donc 1 k^α ≤ 1

2^pα pour α >0 et :

2^p+1X−1

k=2^p

1 k^α ≤¡

2^p+1−2^p¢ 1

2^pα = 2^p 1

2^pα = 1 2^p(α−1). 2. Pour tout entier r ≥0, on a la partition :

©1,2,· · · ,2^r+1−1ª

={1} ∪ {2,3} ∪ {4,5,6,7} ∪ · · · ∪©

2^r,· · · ,2^r+1−1ª

= [r

p=0

©2^p,· · · ,2^p+1−1ª

et pour α >1, on a : S₂^r+1₋₁ =

Xr

p=0 2^p+1X−1

k=2^p

1 k^α ≤

Xr

p=0

µ 1 2^(α−1)

¶_p

= 1− ₂(r+1)(α−1)¹

1− ₂α−1¹

< 1 1−₂α−1¹

= 2^α−1 2^α−1−1

3. Pour tout entier n ≥1, on peut trouver un entier r ≥0 tel que n ≤2^r+1−1 et on a : Sn≤S₂^r+1₋₁ < 2^α−1

2^α−1−1

puisque la série considérée est à termes positives. La suite (S_n)_n∈N est donc croissante majoré et en conséquence convergente.

Une condition nécessaire de convergence, élémentaire mais souvent utile pour justifier la divergence d’une série, est donnée par le résultat suivant.

Théorème 6.2 Si la série P

u_n est convergente, alors la suite (u_n)_n∈N converge vers 0.

Démonstration. Résulte immédiatement deu_n =S_n−S_n−1 pour n≥1.

Exemple 6.1 Pour |a| ≥ 1, la suite (aⁿ)_n∈N ne converge pas vers 0, en conséquence la série géométrique P

aⁿ diverge.

Remarque 6.1 La réciproque est fausse comme le montre l’exemple de la série P ln

µ 1 + 1

n

¶

ou ceux des séries de Riemann divergentes.

En fait, dans le cas où la suite (u_n)_n∈N est réelle décroissante, on a le résultat plus précis suivant.

Théorème 6.3 Soit(u_n)_n∈Nune suite décroissante de réels positifs. Si la sérieP

u_nest conver- gente, alors la suite (nu_n)_n∈N converge vers 0, c’est-à-dire que u_n =o

µ1 n

¶ .

Démonstration. Pour n > m≥1, on a : Xn

k=m

u_k≥(n−m+ 1)u_n soit :

0≤nu_n≤ Xn

k=m

u_k+ (m−1)u_n ≤ X+∞

k=m

u_k+mu_n. Comme lim

n→+∞

µ_+∞

P

k=m

u_k

¶

= 0, pour ε > 0 donné, on peut trouver entier m₀ ≥ 1 tel que

+∞P

k=m0

uk ≤ε et on a :

∀n > m0, 0≤nun≤ε+m0un. Pour m₀ ainsi fixé, tenant compte de lim

n→+∞u_n= 0, on peut trouver un entier n₀ > m₀ tel que m₀u_n< εpourn ≥n₀.On a doncnu_n<2εpourn≥n₀.Le réel εétant quelconque, on a bien montré que lim

n→+∞nu_n = 0.

Exercice 6.8 Soit (un)_n∈N une suite de réels positifs décroissante telle que la série P

un soit convergente

1. Montrer que lim

n→+∞nun= 0 et en déduire la nature de la série ^+∞P

n=0

u_n 1−nu_n. 2. Montrer que ^+∞P

n=0

n(u_n−u_n+1) = ^+∞P

n=0

u_n.

Solution 6.8 1. On a déjà vu avec le théorème précédent que lim

n→+∞nun = 0. On a alors 1−nu_n > 0 pour n assez grand et un

1−nu_n v u_n, ce qui entraîne la convergence de la série ^+∞P

n=n2

u_n 1−nun

. 2. On a :

Xn

k=0

k(u_k−u_k+1) = Xn

k=0

u_k−nu_n+1, avec nu_n+1 = n

n+ 1(n+ 1)u_n+1 →

n→+∞0, d’où le résultat.

On peut remarquer que les séries de Riemann sont de la forme P

f(n)oùf est une fonction définie sur [1,+∞[,à valeurs positives, continue et décroissante. De manière plus précise, on a le résultat suivant qui reprend celui de l’exercice 3.53.

Théorème 6.4 Soit f : [1,+∞[ → R⁺ une fonction continue décroissante et F la primitive de f nulle en 1. La suite u = (u_n)_n∈N∗ définie par u_n = Pⁿ

k=1

f(k)−F(n) pour tout n ≥ 1 est convergente et la série P

f(n) de même nature que la suite (F (n))_n∈N∗. En supposant f non identiquement nulle et en notant ` la limite de la suite (u_n)_n∈N, on a :

Xn

k=1

f(k) ∼

n→+∞F(n) +`.

Démonstration. La fonctionF est définie par :

∀x≥1, F (x) = Z _x

1

f(t)dt.

Pour n≥1, on a :

u_n+1−u_n =f(n+ 1)−(F (n+ 1)−F (n))

=f(n+ 1)− Z _n+1

n

f(t)dt= Z _n+1

n

(f(n+ 1)−f(t))dt

avec f continue et f(n+ 1) ≤ f(t) pour tout t ∈ ]n, n+ 1[. On a donc u_n+1 −u_n ≤ 0 et (u_n)_n∈N est décroissante.

La fonction f est continue décroissante sur [1,+∞[, donc :

∀k ≥1, Z _k+1

k

f(t)dt≤ Z _k+1

k

f(k)dt=f(k) et pour tout n ≥2, on a :

Xn

k=1

f(k)≥ Xn

k=1

Z _k+1

k

f(t)dt = Z _n+1

1

f(t)dt=F (n+ 1),

et u_n ≥F (n+ 1)−F (n) = Z _n+1

n

f(t)dt ≥ 0puisque f est à valeurs positives. La suite u est donc décroissante minorée et en conséquence convergente vers un réel `≥0.

Comme f est à valeurs positives, la suite (F(n))_n∈N∗ est croissante à valeurs positives et on a deux possibilités. Soit cette suite est majorée et elle converge alors vers un réel `⁰ ≥ 0.

Il en résulte alors que ^+∞P

n=1

f(n) = `+`⁰. Dans le cas contraire, on a lim

n→+∞F (n) = +∞ et

+∞P

n=1

f(n) = +∞.

Sif n’est pas la fonction nulle, on auraF (n)≥F (n₀)>0pourn≥n₀ avecn₀ assez grand (puisque f est continue) et :

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯ Xn

k=1

f(k) F (n) +` −1

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

¯¯

=

¯¯

¯¯

¯ Xn

k=1

f(k)−F (n)−`

¯¯

¯¯

¯ F(n) +`

≤

¯¯

¯¯

¯ Xn

k=1

f(k)−F (n)−`

¯¯

¯¯

¯ F (n₀) +` →

n→+∞0

c’est-à-dire que Pⁿ

k=1

f(k) ∼

n→+∞F (n) +`.

Remarque 6.2 Dans le cas où lim

n→+∞F(n) = +∞,on aF (n)+` ∼

n→+∞F (n)et Pⁿ

k=1

f(k) ∼

n→+∞

F (n).

Nous verrons, après avoir étudié les intégrales généralisées, que le résultat précédent se traduit en disant que la série P

f(n) est de même nature que l’intégrale généralisée Z _+∞

1

f(t)dt.

En utilisant la fonction f(t) = 1

t^α avecα >0 on retrouve, en les précisant, les résultats sur les séries de Riemann.

Pourα= 1,on aF (x) = ln (x), lim

n→+∞

µ _n P

k=1

1

k −ln (n)

¶

=γ (la constante d’Euler), Pⁿ

k=1

1 k v

+∞

ln (n) et lim

n→+∞

Pn k=1

1

k = +∞, soit ^+∞P

n=1

1

n = +∞.

Pour α6= 1,on a F (x) = 1 1−α

µ 1 x^α−1 −1

¶ . Pour α >1,on a F (n) = 1

α−1 µ

1− 1 n^α−1

¶

n→+∞→ 1

α−1 et donc ^+∞P

n=1

1

n^α = 1

α−1 +`.

Pour α < 1, on a F (n) = 1

1−α(n^1−α−1) →

n→+∞ +∞ et Pⁿ

k=1

1 k^α v

+∞ F (n) v

+∞

n^1−α 1−α, soit

+∞P

n=1

1

n^α = +∞.

Pour α≤0, la série diverge puisque son terme général ne tend pas vers0.

Exercice 6.9 On se propose de montrer de façon élémentaire que ^+∞P

n=0

(−1)ⁿ

n+ 1 = ln (2). On note, pour tout entier n ≥1 et tout réel x :

f_n(x) = Xn

k=0

(−1)^kx^k. 1. Montrer que :

fn(x) = 1 + (−1)ⁿxⁿ⁺¹ 1 +x pour tout x∈[0,1].

2. En déduire que, pour tout entier n ≥1, on a : Xn

k=0

(−1)^k

k+ 1 = ln (2)−(−1)ⁿ⁺¹ Z ₁

0

xⁿ⁺¹ 1 +xdx.

3. En déduire le résultat annoncé.

Solution 6.9

1. Pour x∈[0,1], on a −x6= 1 et : f_n(x) =

Xn

k=0

(−x)^k = 1−(−x)ⁿ⁺¹

1 +x = 1 + (−1)ⁿxⁿ⁺¹ 1 +x .

2. En intégrant sur [0,1], on a : Z ₁

0

f_n(x)dx= Xn

k=0

(−1)^k Z ₁

0

x^kdx= Xn

k=0

(−1)^k k+ 1

= Z ₁

0

1−(−1)ⁿ⁺¹xⁿ⁺¹ 1 +x dx

= Z ₁

0

1

1 +xdx−(−1)ⁿ⁺¹ Z ₁

0

xⁿ⁺¹ 1 +xdx

= ln (2)−(−1)ⁿ⁺¹ Z ₁

0

xⁿ⁺¹ 1 +xdx.

3. Avec :

0≤ Z ₁

0

xⁿ⁺¹ 1 +xdx≤

Z ₁

0

xⁿ⁺¹dx= 1

n+ 2 →

n→+∞0, on déduit que lim

n→+∞

Pn k=0

(−1)^k

k+ 1 = ln (2), soit ^+∞P

n=0

(−1)ⁿ

n+ 1 = ln (2).

Exercice 6.10 En s’inspirant de la méthode utilisée à l’exercice précédent, montrer que^+∞P

n=0

(−1)ⁿ 2n+ 1 = π

4.

Solution 6.10

1. Pour x∈[0,1], on a : f_n(x) =

Xn

k=0

¡−x²¢_k

= 1−(−1)ⁿ⁺¹x²ⁿ⁺²

1 +x² = 1 + (−1)ⁿx²ⁿ⁺² 1 +x² . 2. En intégrant sur [0,1], on a :

Z ₁

0

f_n(x)dx= Xn

k=0

(−1)^k Z ₁

0

x^2kdx= Xn

k=0

(−1)^k 2k+ 1

= Z ₁

0

1−(−1)ⁿ⁺¹x²ⁿ⁺² 1 +x² dx

= Z ₁

0

1

1 +x²dx−(−1)ⁿ⁺¹ Z ₁

0

x²ⁿ⁺² 1 +x²dx

= π

4 −(−1)ⁿ⁺¹ Z ₁

0

x²ⁿ⁺² 1 +x²dx.

3. Avec :

0≤ Z ₁

0

x²ⁿ⁺² 1 +x²dx≤

Z ₁

0

x²ⁿ⁺²dx= 1

2n+ 3 →

n→+∞0, on déduit que lim

n→+∞

Pn k=0

(−1)^k 2k+ 1 = π

4, soit ^+∞P

n=0

(−1)ⁿ 2n+ 1 = π

4.

Pour ce qui est des opérations sur les séries numériques, on dispose des résultats suivants.

Théorème 6.5 Soient P

u_n et P

v_n deux séries numériques et λ, µ deux scalaires.

1. Si ces deux séries convergent, il en est alors de même de la série de terme généralλu_n+µv_n et ^+∞P

n=0

(λu_n+µv_n) =λ^+∞P

n=0

u_n+µ^+∞P

n=0

µv_n. 2. Si la série P

u_n converge et la série P

v_n diverge, alors la série P

(u_n+v_n) diverge.

3. Si la série P

u_n converge, il en est de même de la série P

u_n, où u_n est le complexe conjugué de u_n et P

u_n=P u_n.

Démonstration.Se déduit immédiatement des résultats relatifs aux opérations algébriques sur les suites numériques.

Exercice 6.11 On se propose d’étudier les séries de termes généraux un = aⁿe^inθ, sn = aⁿsin (nθ) et c_n =aⁿcos (nθ) où a et θ sont deux réels quelconques.

1. Montrer que pour θ ∈ R et |a| < 1, les trois séries convergent et calculer la somme de chacune ces séries.

2. Que dire des séries P

cn et P

sn pour θ ∈πZ et a∈R? 3. On suppose que θ∈R\πZ et |a| ≥1.

(a) Montrer que la suite (sin (nθ))_n∈N est divergente.

(b) Montrer la série P

s_n est divergente.

(c) Montrer la série P

c_n est divergente.

Solution 6.11

1. On a u_n =λⁿ avec λ=ae^iθ et la série P

u_n converge si, et seulement si, |λ|<1, ce qui équivaut à |a|<1 et θ ∈R.

Pour |a|<1 et θ ∈R, on a ; X

n≥0

u_n = 1

1−ae^iθ = 1

1−acos (θ)−iasin (θ)

= 1−acos (θ) +iasin (θ)

(1−acos (θ))²+a²sin²(θ) = 1−acos (θ) +iasin (θ) 1−2acosθ+a²

et : X

n≥0

un= 1−acos (θ)−iasin (θ) 1−2acosθ+a² puis :

X

n≥0

cn= 1 2

ÃX

n≥0

un+X

n≥0

un

!

= 1 2

ÃX

n≥0

un+X

n≥0

un

!

=<

ÃX

n≥0

un

!

= 1−acos ((θ)) 1−2acos ((θ)) +a²

et : X

n≥0

sn == ÃX

n≥0

un

!

= asin ((θ)) 1−2acos ((θ)) +a².

2. Si θ =pπ avec p∈Z, on as_n= 0 pour tout n∈N et touta∈R, de sorte que P

n≥0

s_n = 0.

On a aussi c_n=aⁿ(−1)^np = ((−1)^pa)ⁿ et P

c_n converge si, et seulement si, |a|<1.

3. On remarque que la condition θ /∈πZ équivaut àsin(θ)6= 0.

(a) Supposons que lim

n→+∞(sin (nθ)) =`. Avec :

sin ((n+ 1)θ) + sin ((n−1)θ) = 2 sin (nθ) cos (θ),

on déduit que 2` = 2`cos (θ), ce qui impose` = 0 puisque cos (θ)6= 1 si sin(θ)6= 0.

Avec :

sin ((n+ 1)θ) = cos (nθ) sin (θ) + sin (nθ) cos (θ), on déduit que lim

n→+∞(cos (nθ) sin (θ)) = 0, ce qui entraîne lim

n→+∞(cos (nθ)) = 0 puisquesin (θ)6= 0,mais ce dernier résultat est incompatible aveccos²(nθ)+sin²(nθ) = 1.

(b) Supposons que la série P

s_n soit convergente. On a alors lim

n→+∞(s_n) = 0 et comme

|sin (nθ)|=

¯¯

¯sn

aⁿ

¯¯

¯≤ |sn|pour |a| ≥1, on en déduit que lim

n→+∞(sin (nθ)) = 0 ce qui est faux.

(c) Supposons que la série P

c_n soit convergente. On a alors lim

n→+∞(c_n) = 0 et comme

|cos (nθ)|=

¯¯

¯c_n aⁿ

¯¯

¯≤ |c_n| pour |a| ≥1, on en déduit que lim

n→+∞(cos (nθ)) = 0 et avec : cos ((n+ 1)θ) = cos (nθ) cos (θ)−sin (nθ) sin (θ)

on en déduit que lim

n→+∞(sin (nθ) sin (θ)) = 0et lim

n→+∞(sin (nθ)) = 0(puisque sin(θ)6=

0) ce qui est faux.

6.3 Séries alternées

Définition 6.2 On dit qu’une série est alternée si son terme général est de la forme u_n = (−1)ⁿα_n, où (α_n)_n∈N est une suite réelle de signe constant.

Si P

(−1)ⁿα_n est une série alternée, on supposera, a priori, que les α_n sont positifs.

Le théorème relatif aux suites adjacentes nous permet de montrer le résultat fondamental suivant.

Théorème 6.6 Soit P

(−1)ⁿαn est une série alternée. Si la suite (αn)_n∈N tend vers 0 en décroissant, alors la série P

(−1)ⁿα_n est convergente et une majoration des restes est donnée par :

∀n∈N, |R_n|=

¯¯

¯¯

¯ X+∞

k=n+1

(−1)^kα_k

¯¯

¯¯

¯≤α_n+1.

Démonstration. On vérifie que si(S_n)_n∈N est la suite des sommes partielles de cette série, alors les suites (S2n)_n∈N et (S2n+1)_n∈N sont adjacentes et en conséquence convergente vers la même limite, ce qui équivaut à la convergence de (S_n)_n∈N.

En utilisant la décroissance de la suite (α_n)_n∈N,on déduit que pour tout entier n, on a :

½ S_2n+2−S_2n=α_2n+2−α_2n+1 ≤0, S_2n+3−S_2n+1 =a_2n+2−a_2n+3 ≥0,

ce qui signifie que (S_2n)_n∈N est décroissante et (S_2n+1)_n∈N croissante. De plus avec : S2n+1−S2n=α2n+1 →

n→+∞0,

on déduit que ces suites sont convergentes et la convergence de la série P

(−1)ⁿαn en découle.

En notant S la somme de cette séries, on a :

∀n∈N, S_2n+1 ≤S≤S_2n+2 ≤S_2n, ce qui entraîne :

∀n ∈N,

½ −α_2n+1≤R_2n =S−S_2n ≤0, 0≤R2n+1 =S−S2n+1 ≤α2n+2

ou encore :

∀n ∈N, |R_n| ≤α_n+1.

Remarque 6.3 Le fait que (α_n)_n∈N tende vers 0 en décroissant implique que les α_n sont tous positifs.

On en déduit le résultat suivant sur les séries de Riemann alternée.

Exercice 6.12 Soitα un réel. Montrer que la série de Riemann alternée P(−1ⁿ)

n^α est conver- gente si, et seulement si α >0.

Solution 6.12 Pour α ≤0 la série diverge puisque son terme général ne tend pas vers 0.

Pour α > 0, la suite µ 1

n^α

¶

n≥1

tend vers 0 en décroissant et le théorème des séries alternées nous dit que la série P(−1ⁿ)

n^α converge.

Exercice 6.13 Étudier la série de terme général u_n= n³cos(nπ) (n+ 1)⁴ . Solution 6.13 Pour n ≥0, on a u_n = (−1)ⁿ n³

(n+ 1)⁴ = (−1)ⁿα_n avec (α_n)_n≥0 qui tend vers 0 en décroissant (0≤αn ≤ 1

n et αn =f(n) avec f(x) = x³

(x+ 1)⁴ et f⁰(x) = x²(3−4x) (x+ 1)⁵ <0 pour x≥1). Le théorème des séries alternées nous dit alors que P

u_n converge.

Exercice 6.14

1. Montrer que la suite (I_n)_n∈N définie par :

∀n ∈N, I_n = Z ^π

2

0

cosⁿ(x)dx tend vers 0 en décroissant.

2. Montrer que la série de terme général : un = (−1)ⁿ

Z ^π

2

0

cosⁿ(x)dx est convergente et calculer sa somme.

Solution 6.14

1. Pour n ≥0, on a :

0≤I_n+1 = Z ^π

2

0

cosⁿ(x) cos (x)dx≤ Z ^π

2

0

cosⁿ(x)dx=I_n, donc (I_n)_n∈N est décroissante.

Pour n ≥1 et ε∈ i

0,π 2 h

, on a :

0≤I_n = Z _ε

0

cosⁿ(x)dx+ Z ^π

2

ε

cosⁿ(x)dx≤ε+ cosⁿ(ε). Comme0<cosⁿ(ε)<1,on a lim

n→+∞cosⁿ(ε) = 0et il existe un entiern_ε tel quecosⁿ(ε)<

ε pour tout n ≥n_ε, ce qui donne 0 ≤I_n < ε pour tout n ≥ n_ε. On a donc ainsi montré que la suite (In)_n∈N tend vers0 (en fait, on peut montrer que In∼

r π 2n).

2. Le théorème des séries alternées nous dit que cette série converge.

Pour tout x∈ h

0,π 2 i

, on a :

S_n(x) = Xn

k=0

(−1)^kcos^k(x) = 1

1 + cos (x)+ (−1)ⁿ cosⁿ⁺¹(x) 1 + cos (x) et :

Sn= Xn

k=0

uk = Z ^π

2

0

dx

1 + cos (x)+ (−1)ⁿ Z ^π

2

0

cosⁿ⁺¹(x) 1 + cos (x)dx, avec :

0≤ Z ^π

2

0

cosⁿ⁺¹(x) 1 + cos (x)dx≤

Z ^π

2

0

cosⁿ⁺¹(x)dx=I_n+1 →

n→+∞0, ce qui donne :

X+∞

n=0

u_n = Z ^π

2

0

dx

1 + cos (x) = 2 Z ₁

0

dt (1 +t²)¡

1 + ^1−t_1+t²2

¢ = 1

en effectuant le changement de variable t= tan

³x 2

´ .

6.4 Séries absolument convergentes

Définition 6.3 On dit que la série P

u_n est absolument convergente si la série P

|u_n| est convergente.

Le critère de Cauchy pour les suites numériques nous permet de montrer qu’une série abso- lument convergente est convergente. Nous verrons au paragraphe suivant que l’étude des séries à termes positifs est plus simple que celle des séries réelles de signe quelconque ou que celle des séries complexes.

Remarque 6.4 En réalité le critère de Cauchy pour les suites numériques est équivalent au fait qu’une série absolument convergente est convergente. Précisément, on peut montrer qu’un espace vectoriel normé (E,k·k) est complet si, et seulement si, toute série normalement convergente dans (E,k·k) est convergente.

Théorème 6.7 Soit (u_n)_n∈N une suite numérique. Si la série P

|u_n| est convergente, alors la série P

u_n est convergente et : ¯

¯¯

¯¯ X+∞

n=0

u_n

¯¯

¯¯

¯≤ X+∞

n=0

|u_n|. Démonstration. Soit P

u_n une série numérique absolument convergente.

La suite des sommes partielles µ _n

P

k=0

|u_k|

¶

n∈N

étant convergente, elle vérifie le critère de Cauchy et pour tout réel ε >0, on peut trouver un entier n₀ tel que :

∀m > n≥n₀, Xm

k=n+1

|u_k|< ε,

ce qui entraîne que :

∀m > n ≥n₀,

¯¯

¯¯

¯ Xm

k=n+1

u_k

¯¯

¯¯

¯≤ Xm

k=n+1

|u_k|< ε et signifie que la suite des sommes partielles

µPn

k=0

uk

¶

n∈N

est de Cauchy et en conséquence convergente, encore équivalent à dire que la série P

un est convergente.

En utilisant l’inégalité triangulaire, pour tout entier n :

¯¯

¯¯

¯ Xn

k=0

uk

¯¯

¯¯

¯≤ Xn

k=0

|uk|

et faisant tendre n vers l’infini, on déduit que

¯¯

¯¯

+∞P

n=0

u_n

¯¯

¯¯≤ ^+∞P

n=0

|u_n|.

Avec l’exercice 6.20, on montre le résultat précédent sans utiliser le critère de Cauchy, en utilisant uniquement le fait qu’une suite réelle croissante majorée est convergente.

Définition 6.4 Une série numérique convergente, mais non absolument convergente est dite semi-convergente.

Exemple 6.2 Pour 0< α≤1, la série de Riemann alternée ^+∞P

n=1

(−1)ⁿ

n^α est semi convergente.

Exemple 6.3 Pour tout nombre complexe z = x+iy tel que x = <(z) > 1, la série P 1 n^z est absolument convergente du fait que

¯¯

¯¯ 1 n^z

¯¯

¯¯= 1

n^x (on rappelle que n^z =e^zln(n)). La fonction ζ définie sur l’ensemble des nombres complexes de partie réelle strictement supérieur à 1 par :

ζ(z) = X+∞

n=1

1 n^z est la fonction dzéta de Riemann.

Si on effectue une permutation de l’ordre des termes d’une série semi-convergente il peut se produire les phénomènes suivant :

– la nature de cette série est inchangée, mais sa somme est modifiée ; – la nature et la somme de cette série sont inchangées ;

– la série est transformée en série divergente.

Avec les exercices et le théorème qui suivent, on étudie ces phénomènes.

Exercice 6.15 On s’intéresse à la série de Riemann alternée ^+∞P

n=0

(−1)ⁿ

n+ 1.On sait que cette série est semi convergente de somme ln (2) (exercice 6.9).

On désigne par σ la permutation de N qui ordonne N comme suit :

σ(N) ={0} ∪ {1,3} ∪ {2} ∪ {5,7} ∪ {4} ∪ · · · ∪ {2k} ∪ {4k+ 1,4k+ 3} ∪ · · · Une telle permutation σ peut être définie par :

∀n∈N, σ(n) =

½ 2k si n= 3k

4k+ 2r−1 si n = 3k+r avec r∈ {1,2}

ou encore par :

∀n∈N, σ(n) =





2k si n= 3k

4k+ 1 si n= 3k+ 1 4k+ 3 si n= 3k+ 2 1. Vérifier que σ est bien permutation de N.

2. En notant un = (−1)ⁿ

n+ 1, on désigne par P

vn la série numérique de terme général vn = u_σ(n).

On se donne un entier n ≥ 3 et on écrit n = 3k+r sa division euclidienne par 3 avec k ≥1 et 0≤r≤2.

(a) Écrire la somme partielle S_n = Pⁿ

j=0

v_j sous la forme S_n =T_k−ε_k où T_k =S_3k+2 et

k→+∞lim εk = 0.

(b) Pour tout entier k ≥1, on note H_k =^k−1P

i=0

1

i+ 1. Montrer que : Tk = 1

2(H2k+2−Hk+1) (c) En déduire que ^+∞P

n=0

u_σ(n)= 1

2ln (2).