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a et b sont les suites définies sur IN, par a0 = 2, b0 = 4 et
an+1= 1
4(an + 3bn) bn+1 = 1
4(3an + bn)
∆ est une droite munie d’un repère (O ; i→→→→ ) et pour tout entier naturel n, An et Bn sont les points de ∆ d’abscisses respectives an et bn.
1. Placer les points A0, B0, A1, B1, A2, B2 sur la droite ∆. a1 = ¼(2+12) = 7/2 et b1 = ¼(6+4) = 5/2
a2 = ¼(7/2 + 15/2) = 11/4 et b2 = ¼(21/2 + 5/2) = 13/4
1,5 2 2,5 3 3,5 4 x
A0 B1 A2 B2 A1 B0
2. u est la suite définie sur IN, par un = an + bn.
Démontrer que la suite u est constante. Il faut pour cela que ∀ n ∈ IN, un+1 = un et on aura : ∀ n ∈ IN, un = u0 . un+1 = an+1 + bn+1
= ¼(an + 3bn) + ¼(3an + bn) = ¼(4an + 4bn)
= an + bn = un donc u est constante et ∀n∈IN, un = u0 = a0 + b0 = 6
En déduire que pour tout entier naturel n, les segments [AnBn] et [An+1Bn+1] ont le même milieu I dont on donnera l’abscisse.
Les milieux de [AnBn] et [An+1Bn+1]ont pour abscisses respectives an + bn 2 = un
2 et an+1 + bn+1 2 = un+1
2 Or u est constante égale à 6 donc un
2 = un+1
2 = 3 donc [AnBn] et [An+1Bn+1]ont le même milieu I d’abscisse 3.
On en déduit que tous les segments [AnBn] ont le même milieu I d’abscisse 3.
3. v est la suite définie sur IN, par vvnn = an−−−− bn
a. Démontrer que v est une suite géométrique convergente.
vvn+n+11 = an+1 − bn+1
= ¼(an + 3bn) − ¼(3an + bn)
= ¼(−2an +2bn)
= −1/2(an − bn) = −1/2 vvnn
donc v est géométrique de raison −1/2 et de premier terme v0 = a0 − b0 = −2 d’où vvnn = −2(−1/2)n
−1 < −1/2 < 0 donc quand n → +∞, (−1/2)n → 0 et donc v converge vers 0 Que peut−on en déduire pour la distance AnBn lorsque n tend vers +∞∞∞. ∞ AnBn = |an − bn| = |vvnn| et puisque v converge vers 0, limn→+∞ AnBn = 0.
b. Exprimer vn en fonction de n.
fait au 3.a. vvnn = −2(−1/2)n
Démontrer que les suites a et b sont convergentes et qu’elles ont la même limite.
On sait que an + bn = 6 (1)
an − bn = vvnn (2) . En ajoutant, puis en soustrayant membre à membre les égalités (1) et (2) on obtient : (1)+(2) : 2an = 6 + vvnn et donc an = 3 + vvnn/2
(1)−(2) : 2bn = 6 − vvnn et donc bn = 3 − vvnn/2
On a vu que v converge vers 0, on en déduit que les suites a et b convergent vers 3.
