I Généralités sur les séries réelles ou complexes

I Généralités sur les séries réelles ou complexes

I.1 Sommes partielles ; convergence ; divergence ; somme

Etudier la convergence ou la divergence de lasérie de terme généralu_n, c’est étu- dier la convergence ou la divergence de lasuitede terme généralS_n, où

S_n=

n

X

k=0

u_k.

S_nest lasomme partielle d’ordren(ou de rangn) de la série.

Lorsque la suite (S_n)_n∈Nconverge, on dit que la série de terme généralu_nconverge.

Lorsque la suite (S_n)n∈Ndiverge, on dit que la série de terme généralu_ndiverge. . .ou plus brièvement que la sériePu_ndiverge.

« Etudier la nature » de la sérieP

un, c’est déterminer si cette série converge ou di- verge.

Dans le cas de convergence, la limite de la suite des sommes partielles est appelée sommede la sériePu_n, et est notée

+∞X

n=0

u_n. On a donc

+∞X

n=0

u_n= lim

p→+∞

³ ^p X

n=0

u_n´

lorque cette limite existe.

Une série divergente n’a pas de somme.

I.2 Condition nécessaire de convergence ; divergence grossière

Proposition Pour queP

unconverge, il est nécessaire que la suite (un) converge vers 0. Si ce n’est pas le cas, on dit que la sériePu_ndiverge grossièrement.

Réciproque fausse

I.3 Sommes géométriques, séries géométriques

a. Sommes géométriques Siq6=1

n

X

k=0

q^k=1−qⁿ⁺¹ 1−q Siq6=1

n

X

k=m

q^k=q^m1−q^n−m+1

1−q =q^m−qⁿ⁺¹ 1−q . b. Sommes géométriques cachées

Calcul de sommes SoitS_n=

n

X

k=0

coskθ. AlorsS_n=Re³Xⁿ

k=0

e^{i kθ}´

donc, siθ6∈2πZ

Sn=Re³1−e^i(n+1)θ 1−e^iθ

´

=Re³e^i(n+1)θ/2 e^iθ/2

sin[(n+1)θ/2]

sin[θ/2]

´

=cos[nθ/2] sin[(n+1)θ/2]

sin[θ/2]

La deuxième étape est cruciale, il faut bien en comprendre le mécanisme : on rencontre un nombre complexe de la forme

1±e^{i a}

dont on transforme l’expression en mettant en facteure^{i a/2}: 1±e^{i a}=e^{i a/2}³

e^{−i a/2}±e^{i a/2}´

et on obtient (à un facteur 2 près) le produit d’une exponentielle par un cosi- nus ou un sinus.

Une vérification Il est bien clair que la fonction θ7−→

n

X

k=0

coskθ

est continue surR, et même de classeC^∞. Or, siθ∈2πZ,S_n=n.

c. Séries géométriques

Proposition Soitq∈C. La sérieP

qⁿconverge si et seulement si|q| <1. Et dans ce cas :

+∞X

k=0

qⁿ= 1 1−q ,

+∞X

k=n

aq^k= aqⁿ 1−q

I.4 Espace vectoriel des séries convergentes

Proposition Si les séries de termes généraux respectifsu_n etv_n convergent, si λ∈K(K=RouC), alors la série de terme généralλu_n+v_nconverge, et

+∞X

n=0

(λu_n+v_n)=λ^+∞X

n=0

u_n +

+∞X

n=0

v_n

I.5 Caractérisation par les parties réelle et imaginaire

Si (un) est une suite de nombres complexes,P

unconverge si et seulement siP Re(un) etPIm(u_n) convergent, et si c’est le cas, on a

+∞X

n=0

u_n=

+∞X

n=0

Re(u_n)+i

+∞X

n=0

Im(u_n)

Cela ne veut pas dire que pour étudier la convergence d’une série de nombres com- plexes il soit judicieux de séparer partie réelle et partie imaginaire.

I.6 Restes d’une série convergente

On considère ici une suite (u_n)_n∈Ntelle que la sériePu_nconverge. On note (S_n)_n∈N la suite des sommes partielles, qui converge donc versS, somme de la série.

Définition On définit le reste d’ordren(ou : de rangn) de la série convergente Pu_n:

R_n=S−S_n

La suite (R_n)_n∈Nest la suite des restes de la série convergentePu_n. Elle converge vers 0.

On a :

R_n=

+∞X

k=n+1

u_k

Pour une série divergente, on ne peut pas définir de restes.

II Les « séries alternées »

Théorème Spécial sur les Séries Alternées : Soit (u_n)_n∈Nune suite de réels ; si (i)La suite (u_n) est à signes alternés.

(ii)La suite (|u_n|)n∈Nest décroissante.

(iii)|u_n| −−−−−→_n→+∞ 0 .

AlorsX

u_nconverge. De plus, en définissantR_n=

+∞X

p=n+1

u_p,

∀n≥0 |R_n| ≤ |u_n+1|

Démonstration : On utilise le théorème des suites adjacentes, appliqué à (S_2n) et (S_2n+1).

Remarque :« La valeur absolue du reste est majorée par la valeur absolue du premier terme écrit dans ce reste ».

Corollaire En reprenant les hypothèses et les notations précédentes,

Rn a même signe queun+1. En particulier, la somme d’une série alternée a même signe que son premier terme.

Théorème Spécial sur les Séries Alternées (bis) : Soit (u_n)_n∈Nune suite de réels ; on suppose

(i)La suite (un) est, au moins à partir d’un certain rang, à signes alternés.

(ii)La suite (|u_n|)_n∈Nest, au moins à partir d’un certain rang, décroissante.

(iii)|un| −−−−−→_n

→+∞ 0 . AlorsX

u_nconverge.

Mais attention : si on considèreRn=

+∞X

p=n+1

up, on n’a|Rn| ≤ |un+1|qu’à partir d’un rang où(ii)et(iii)sont vérifiées.

III Convergence absolue

Définition On dit que la série de terme généralu_nconverge absolument lorsque la série de terme général|un|converge.

Proposition Toute série absolument convergente est convergente.

Ou encore :

¡X|u_n| converge¢

=⇒ ¡X

u_n converge¢

La convergence absolue est donc une condition suffisante de convergence. Ce n’est pas une condition nécessaire, comme le montre l’exemple de la série

X

n≥1

(−1)ⁿ n .

IV Séries à termes réels positifs : un lemme

Proposition Soit (u_n)_n∈Nune suite de réels positifs ; alors la sériePu_nconverge si et seulement si la suite (Sn) de ses sommes partielles est majorée.

V Comparaison de sommes et d’intégrales

V.1 Intégrabilité d’une fonction positive sur [a, +∞[

a. Définition

Soit f une fonction continue par morceaux sur [a,+∞[ (anombre réel), à valeurs dansR⁺; on dira quef est intégrable sur [a,+∞[ lorsque la fonction

F :x7→

Z x a

f(t)d t a une limite (finie) quandx→ +∞. On définira alors

Z

[a,+∞[

f = Z _+∞

a

f = Z _+∞

a

f(t)d t = lim

x→+∞

³Z x a

f(t)d t´

Remarquons que f est intégrable sur [a,+∞[ si et seulement siF est majorée sur [a,+∞[ (en effet,Fest croissante).

b. Exemple de Riemann

Proposition : Soita>0. Soitβréel. La fonctiont7→ 1

t^βest intégrable sur [a,+∞[ si et seulement siβ>1.

V.2 Comparaison

k

k-1 k+1 x

y

y=f(x) f(k)

f(k-1)

f(k+1)

Lemme : Soit f continue (ou seulement continue par morceaux) sur [0,+∞[, à valeurs réelles, décroissante. Alors, pour toutk∈N_∗,

f(k)≤ Zk

k−1

f(t)d t≤f(k−1) Z k+1

k

f(t)d t≤f(k)≤ Z k

k−1

f(t)d t

Lemme : Soitf continue (ou seulement continue par morceaux) sur [0,+∞[, dé- croissante et à valeurs réelles. Alors, pour toutk∈N_∗,

n

X

k=1

f(k)≤ Z n

0

f(t)d t≤

n−1

X

k=0

f(k)

Zn+1 0

f(t)d t≤

n

X

k=0

f(k)≤f(0)+ Z n

0

f(t)d t

Proposition : Soit f continue par morceaux sur [0,+∞[, décroissante et à va- leurs réelles positives. Alors

³X

f(n) converge´

⇐⇒

³

f intégrable sur [0,+∞[´ Démonstration : MajorerF, c’est majorer (S_n), et réciproquement.

V.3 Application aux séries de Riemann

Proposition : Soitα,βdeux réels ;

³X

n≥1

1

n^βconverge´

⇔

³X

n≥1

n^αconverge´

⇔

V.4 Approfondissement

n-1 n x

y

y=f(x) f(n)

f(n-1)

Proposition : Soitf continue par morceaux sur [0,+∞[, à valeurs dansR⁺, dé- croissante (mais pas nécessairement intégrable). On définit, sin≥1,

w_n= Z n

n−1

f(t)d t − f(n) AlorsX

w_nconverge.

Remarque :Il importe de remarquer quef n’est pas forcément intégrable ; en effet, ce théorème est couramment utilisé pour calculer des équivalents de sommes par- tielles de séries divergentes. On voit même quef n’a pas besoin d’avoir une limite nulle en+∞, la sériePf(n) peut diverger grossièrement.

V.5 Constante d’Euler, série harmonique alternée

Un grand classique, hors-programme On note, sin≥1,

H_n=1+1

2+. . .+1 n=

n

X

k=1

1 k (lesH_nsont les sommes partielles de la série harmonique).

1. On reprend les notations du paragraphe précédent, on l’applique à la fonc- tion

f :x7−→1 x

Calculer alorswn(n≥2), en déduire qu’il existe un réelγtel que H_n=lnn +γ+ o

n→+∞(1) Le nombreγest la « constante d’Euler ».

2. On noteA_n=

n

X

k=1

(−1)^k+1

k ; exprimerA_2nen fonction deH_net deH_2n. 3. En déduire la valeur de

+∞X

n=1

(−1)ⁿ⁺¹ n

La somme de la série harmonique alternée est à savoir retrouver. . .mais la meilleure méthode est l’utilisation du développement en série entière deln(1+x), voir chapitre sur les séries entières.

VI Détermination de la nature d’une série par compa- raison directe à une série à termes réels positifs

VI.1 Les résultats

Rappel Les relationso,Osont insensibles au signe. Plus précisément,

u_n=O(v_n)⇐⇒ |u_n| =O(|v_n|)⇐⇒ |u_n| =O(v_n) ⇐⇒u_n=O(|v_n|) u_n=o(v_n)⇐⇒ |u_n| =o(|v_n|)⇐⇒ |u_n| =o(v_n) ⇐⇒ u_n=o(|v_n|) En revanche,un∼vnou|un| ∼ |vn|, ce n’est pas la même chose.

Proposition 1 On suppose les hypothèses suivantes réalisées : (i)(un) est une suite de nombres réels ou complexes.

(ii)(vn) est une suite de nombresréels positifs.

(iii)P

v_nconverge.

(iv)u_n=O(v_n).

AlorsPu_nconverge.

On peut remplacer(iv)par

(iv) bisIl existen0tel que∀n≥n0 |un| ≤vn

ou par

(iv) teru_n=o(vn) et la conclusion subsiste.

Insistons : la série de référence (P

vn) est à termes réelspositifs.

Proposition 2 Soit (un), (vn) deux suites de réels. On suppose u_n∼v_n

et on suppose que (v_n) est à termes réelspositifs. Alors les sériesPu_netPv_n sont de même nature (elles convergent toutes les deux ou divergent toutes les deux).

Insistons : on compare toujours à une série à termes réelspositifs. On rédigera donc en disant « par comparaison à une série à termes réels positifs ». La série que l’on compare, en revanche, peut ne pas être à termes réels positifs.

VII Comparaison logarithmique, critère de d’Alembert

VII.1 Lemme de comparaison logarithmique

Lemme : Soit (u_n), (v_n) deux suites à termes réels strictement positifs. On sup- pose que, au moins à partir d’un certain rang,

u_n+1 un ≤v_n+1

vn

Alorsun=O(vn).

VII.2 Comparaison à une série géométrique : critère de d’Alembert

Proposition : Soit (un) une suite de réels strictement positifs. On suppose u_n+1

u_n −−−−−→_n→+∞ ` Si 0≤`<1, alorsX

unconverge.

Si`>1, alorsX

u_ndiverge.

On ne peut rien conclure de l’hypothèse`=1.

(on peut avoir`= +∞, dans ce cas on se reporte bien au cas`>1).

VII.3 Série exponentielle

Proposition : Soitzun nombre complexe. La sérieXzⁿ

n! converge. On définit e^z=exp(z)=

+∞X

n=0

zⁿ n!

Démonstration Le critère de d’Alembert montre, siz6=0, la convergence abso- lue.

Croissances comparées Avec les outils du programme, si on veut retrouver le fait que

aⁿ=o(n!)

le plus simple est d’appliquer le critère de d’Alembert pour dire que la série Xaⁿ

n! converge. Donc ne diverge pas grossièrement.

Remarque On pourrait se passer de d’Alembert, et montrer que zⁿ n! =o

µ 1 n²

¶

mais c’est pénible.

VIII Lien suites-séries

VIII.1 LE théorème

Proposition La nature (convergente, divergente) de la suite (un) est la même que celle de la sérieX

(u_n+1−u_n).

Proposition (reformulation) La suite (u_n) converge si et seulement si la série X(u_n+1−u_n) converge.

On parle souvent de « série télescopique » pour ce type de série.

VIII.2 Exemple : la constante d’Euler (bis)

On définit, sin≥1,H_n=

n

X

k=1

1

k. On veut montrer qu’il existe une constanteγtelle que :

H_n=lnn+γ+ o

n→+∞(1) (1)

Pour cela, on définit, sin≥1,

u_n=H_n−lnn Montrer que la sérieX

(un+1−un) converge, puis conclure.

VIII.3 Exemple : théorème du point fixe (applications contrac- tantes)

Un classique, hors-programme.

SoitAune partie deRou deC, et soitf : A−→Aune applicationk-lipschitzienne, avec 0<k<1. On considèrec∈Aet on définit une suite (un)n∈Npar

u₀=c et ∀n≥0 u_n+1=f(u_n) 1. Montrer que la suite (un) converge.

2. On pose`=lim(u<sub>n</sub>). On suppose que`∈A. Montrer que`est l’unique point fixe def surA.

Dans l’énoncé classique du théorème, on suppose queAest fermé (voir chapitres de topologie), l’hypothèse`∈Aest alors automatiquement réalisée.

IX Comment rédiger correctement une convergence de série

1. On ne parle pas de la somme d’une série avant d’avoir montré sa conver- gence. Le symbolePu_n(« sigma desu_n») est un raccourci pour éviter d’écrire

« la série de terme généralun», et ne doit pas être confondu avec le symbole désignant la somme. Il est incorrect d’écrire « montrons que

+∞X

n=0

u_nconverge ».

2. Une exception à la règle précédente : lorsqu’une sériePu_nest à termesréels positifs, on accepte parfois l’écriture

+∞X

n=0

un = +∞ pour exprimer la diver- gence de la sériePu_n. Mais on n’écrit pas

+∞X

n=0

(−1)ⁿ= ∞.

3. Pour montrer la convergence d’une série, on travaillepresque toujourssur le terme général,très rarementsur les sommes partielles (mais il y a quelques exceptions, voir en particulier les séries géométriques),jamaissur la somme de la série (voir ci-dessus) ; par exemple,

Incorrect :«

+∞X

n=1

1 1+n² ≤

+∞X

n=1

1

n², orP1/n²converge (série de Riemann), doncP1/(1+n²) converge »

Insuffisant :«

p

X

n=1

1 1+n² ≤

p

X

n=1

1 n² orP

1/n²converge (série de Riemann), doncP1/(1+n²) converge »

Correct :«∀n≥1 1 1+n²≤ 1

n², orP1/n²converge (série de Riemann), donc par comparaison à une série à termes réelspositifsP1/(1+n²) converge » est très bien, même si, en pratique, un réflexe plus courant serait d’écrire Correct :« 1

1+n²∼ 1

n², orP1/n²est une série convergente , donc par com- paraison à une série à termes réelspositifsP 1

1+n² converge. »

4. L’utilisation des sommes partielles, maladroite ci-dessus pour des séries à termes réels positifs, est incorrecte pour des démonstrations de convergence absolue :

Incorrect :«¯

¯

p

X

n=1

(−1)ⁿ 1+n²

¯

¯ ≤

p

X

n=1

1 1+n² ≤

p

X

n=1

1

n² orP1/n²converge (série de Riemann), doncP

(−1)ⁿ/(1+n²) converge »

(on a montré qu’une suite de sommes partielles était bornée, cela ne prouve pas qu’elle converge).

Correct : «

¯

¯

¯ (−1)ⁿ n²+1

¯

¯

¯= 1 1+n²∼ 1

n², or P1/n²converge (série de Riemann), donc par comparaisonP

(−1)ⁿ/(1+n²) converge absolument, donc converge.

X Classique : les séries de Bertrand

Il faut savoir étudier, suivant les valeurs du couple de réels (α,β), la convergence de la sérieX

n≥2

1 n^α(lnn)^β.

XI A l’oral : le « tssa » sans l’hypothèse de décroissance

XI.1 La méthode

On fait un développement asymptotique du terme généralun de la formeun = v_n+w_noùPv_nvérifie les hypothèses du théorème sur les séries alternées, etPw_n converge absolument.

XI.2 Un exemple

ExerciceEtudier la nature de la sérieX (−1)ⁿ

n^α+(−1)ⁿ suivant la valeur du réel non nul α.

Table des matières

I Généralités sur les séries réelles ou complexes 1

I.1 Sommes partielles ; convergence ; divergence ; somme . . . 1

I.2 Condition nécessaire de convergence ; divergence grossière . . . 1

I.3 Sommes géométriques, séries géométriques . . . 2

I.4 Espace vectoriel des séries convergentes . . . 2

I.5 Caractérisation par les parties réelle et imaginaire . . . 3

I.6 Restes d’une série convergente . . . 3

II Les « séries alternées » 3 III Convergence absolue 4 IV Séries à termes réels positifs : un lemme 4 V Comparaison de sommes et d’intégrales 5 V.1 Intégrabilité d’une fonction positive sur [a,+∞[ . . . 5

V.2 Comparaison . . . 5

V.3 Application aux séries de Riemann . . . 6

V.4 Approfondissement . . . 6

V.5 Constante d’Euler, série harmonique alternée . . . 7

VI Détermination de la nature d’une série par comparaison directe à une série à termes réels positifs 7 VI.1 Les résultats . . . 7

VIIComparaison logarithmique, critère de d’Alembert 8 VII.1Lemme de comparaison logarithmique . . . 8

VII.2Comparaison à une série géométrique : critère de d’Alembert . . . 9

VII.3Série exponentielle . . . 9

VIII Lien suites-séries 9 VIII.1 LE théorème . . . 9

VIII.2 Exemple : la constante d’Euler (bis) . . . 10

VIII.3 Exemple : théorème du point fixe (applications contractantes) . . . . 10

IX Comment rédiger correctement une convergence de série 10 X Classique : les séries de Bertrand 11 XI A l’oral : le « tssa » sans l’hypothèse de décroissance 11 XI.1 La méthode . . . 11

XI.2 Un exemple . . . 11