Lycée Louis-Le-Grand,Paris 2020/2021 MPSI 4– Mathématiques
A. Troesch
Programme des colles de la semaine 23 (03/05 – 07/05) Colles à distance
NB : Reprise en présentiel des colles au moins pendant les 2 prochaine semaines.
Vous pouvez donner en fin de colle un exercice de révision sur les séries
Chapitre 22 : Polynômes et fractions rationnelles
1. Polynômes à coefficients dans un anneau commutatif (NB : au programme, seulement le cas d’un corps)
‚ Notion de polynôme formel, défini comme suite à support fini de ses coefficients.
‚ Somme, produit de polynômes
‚ Structure d’anneau deArXs.
‚ Indéterminée formelle, notation X, expression du monôme Xn. Expression d’un polynôme comme somme de monômes.
‚ Principe d’identification
‚ Composition
‚ Dérivation formelle. Linéarité de la dérivation. Dérivée de produits, Leibniz, dérivée dePn, dérivée d’une composée de deux polynômes.
‚ Degré, valuation. Monôme dominant, coefficient dominant, polynôme unitaire.
‚ Degré d’une somme, d’un produit. CasAintègre.
‚ Théorème de permanence de l’intégrité.
‚ Degré d’une dérivée. Cas d’un corps de caractéristique nulle.
‚ Existence et unicité à constante près de primitives formelles dans un corps de caractéristique nulle.
2. Arithmétique dansKrXs On suppose ici queKest un corps.
‚ Division euclidienne dansKrXs.
‚ Idéaux deKrXs.KrXsest principal.
‚ Divisibilité, caractérisation par idéaux. Polynômes associés.
‚ PGCD, PPCM, relation de Bézout, algorithme d’Euclide.
‚ Distributivité du produit sur le pgcd et le ppcm.
‚ Polynômes premiers entre eux. Lemme de Gauss.
‚ Polynômes irréductibles. Lemme d’Euclide. Décomposition en produit de polynômes irréductibles.
3. Évaluation et racines d’un polynôme deArXs Aest ici un anneau commutatif.
‚ Notion de spécialisation en un élément d’uneA-algèbre (aucune connaissance approfondie n’est exigible, les élèves doivent avoir compris l’idée intuitive de spécialisation)
‚ Évaluation d’un polynôme en aP A. Fonction polynomiale associée à un polynôme formel. Ensemble des fonctions polynomiales. L’évaluationϕest un morphisme surjectif d’anneaux.
‚ SiA“RouC, l’évaluationϕest un isomorphisme d’anneaux (démonstration analytique, ce sera généralisé plus loin pour les corps infinis)
‚ Contre-exemple dans le casA“Fp.
‚ La dérivation commute avec l’évaluation.
‚ Racine, caractérisation par la divisibilité (au programme : sur un corps).
‚ Multiplicité d’une racine. Formule de Taylor (sur un corps de caractéristique nulle). Caractérisation de la multiplicité par les dérivées successives (surKde caractéristique nulle)
‚ On suppose à partir d’ici queKest un corps. Le nombre maximal de racines estdegpPq.
‚ Théorème de rigidité des polynômes (si P P KnrXs admet plus de n racines, alors P “ 0, et toutes les variantes imaginables).
‚ SiKest infini, l’évaluation polynomiale est un isomorphisme.
‚ Polynômes d’interpolation de Lagrange. Existence et unicité d’un polynôme deKn´1rXsprenant des valeurs imposées ennpoints. Polynôme d’interpolation d’une fonction associée à une famille finiepxiqiPv1,nw.
‚ Polynômes scindés. Relations de Viète (coefficients/racines).
4. Polynômes irréductibles dans CrXsetRrXs
‚ Théorème de d’Alembert-Gauss (admis)
‚ Tout polynôme deCrXsest scindé. Description des éléments irréductibles deCrXs.
‚ Caractérisation de la divisibilité par les racines dansCrXs.
‚ Caractérisation dans CrXsdes polynômes de RrXs(par commutation avec la conjugaison, par l’image de l’axe réel)
‚ Si rPCest racine deP PRrXs, alorsraussi, de même multiplicité.
‚ Polynômes irréductibles de RrXs. Factorisation dansRrXs.
PAS ENCORE D’EXERCICES SUR LES PARAGRAPHES SUIVANTS : 5. Fractions rationnelles
‚ Généralités
˚ Définition deKpXq.
˚ Définition des loisˆet`
˚ Structure de corps deKpXq
˚ Injection canoniqueKrXsãÑKpXq; via l’indentification de P1 et P, on considèreKrXs ĂKpXq.
˚ Simplification des fractions
‚ Degré, racines, pôles
˚ Degré.
˚ Degré d’une somme, d’un produit, d’un inverse.
˚ Partie entière (ou partie polynomiale)
˚ Racine, pôle, multiplicité.
˚ Fonction rationnelle associée, et domaine de définition.
‚ Décomposition en éléments simples
˚ Partie entière (polynomiale) d’une fraction rationnelle.
˚ Séparation des parties associées à chaque facteur irréductible : F“E`ÿ Qi
Piαi.
˚ DécompositionQ“ř
RjPiβ,degpRjq ădegP.
˚ DÉS dansKrXs.
˚ Expression de la DÉS dansCrXs.
˚ Expression du coefficient à l’aide de P et Q1 pour un pôle simple. Expression par multiplication et évaluation.
˚ Utilisation de DL pour des pôles multiples (la validité du DL de la variable complexe est admise ; elle peut être justifiée par la formule de sommation des séries géométriques). La division suivant les puissances croissantes n’est pas au programme et n’a pas été évoquée.
˚ DÉS de PP1 dansCrXs, (ou dansRrXssiP scindé)
˚ DÉS dansRrXs
6. Intégration des fractions rationnelles
La méthode a été explicitée. Se limiter à des situations pas trop complexes. Évitez les exercices excessivement techniques.
Chapitre 28 : Combinatoire
PAS ENCORE D’EXERCICE SUR CE CHAPITRE 1. Combinatoire des ensembles finis
‚ Rappels sur les cardinaux finis (unions, complémentaires, produit cartésien...)
‚ Formule du crible de Poincaré.
2. Combinatoire des ensembles d’applications
‚ Cardinal de l’ensemble des applications ;p-listes.
‚ Cardinal de l’ensemble des parties.
‚ Lemme du berger.
‚ Dénombrement des injections.p-arrangements.
‚ Dénombrement des permutations.
‚ Pas de résultat particulier concernant les surjections.
3. Combinatoire des sous-ensembles
‚ Coefficient binomial (définition combinatoire)
‚ Expression factorielle du coefficient binomial.
‚ Démonstration combinatoire des formules classiques sur les coefficients binomiaux (symétrie, comité-président, Pascal)
‚ Démonstration combinatoire de la formule du binôme.
4. Bijection, déesse de la combinatoire
‚ Exemples de dénombrements bijectifs (principe du kangourou, de l’accordéon).
5. Preuves combinatoires d’identités
‚ Méthode. Importance du choix du modèle.
‚ Exemples :ř
k
`n
k
˘, Vandermonde, Sommationř
k
`n`k
k
˘, Vandermonde renverséeř
k
`k
N
˘`n´k
M
˘.
‚ Exemple de somme avce signe alternéř
kp´1qk`n
k
˘. Principe de l’interrupteur.
