Mathématiques – cours : Chap 20 : Corps des fractions rationnelles
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Chap 20 : Corps des fractions rationnelles
( \ {0 }) ( , )~ ( ', ') ' '
Rappel : anneau intègre commutatif, Pour construire son corps de fraction : - On munit d'une relation déquivalence :
est l'ensemble des classes d'équivalence, et
A
A
A A p q p q pq p q
K p
q
× ⇔ =
=[( , )]
[( ,1)]
( , , )
- On munit de lci et prolongeant celles de - On a l'injection
est un corps
p q
K A
A K
p p
K
+ ×
→
+ ×
I. Corps (X)
[ ]X est intègre et commutatif⇒On construit son corps de fraction ( )X
1 2
[ ] 1 2 2 1
1 2
( ) P, [ ], [ ] \ {0 X } P P
X P X Q X PQ P Q
Q Q Q
= ∈ ∈ = ⇔ =
2
( ) 0 0 [ ]
0
0 0 1 1 0
0 0
( ) \ {0 }. ( , ) ( [ ] \ {0 )
( : )
1
Il existe un unique couple (à un coefficient constant près) tq
X X
F X P Q X
F P
Q preuve P Q PQ Gauss
P Q
∈ ∈
= = +
∧ =
( ) deg deg ne dépend pas des représentants choisis : c'est le degré de
F P X n P Q F
= ∈Q = −
deg(FG)=degF+degG deg(F+G)≤max(deg ,deg )F G
0
0 0
0
son écriture irréductible. Les racines de sont les racines de dans , les pôles de celles de
F P F P F Q
=Q
\ { }
( ) ( )
( ) pôles de
A toute fraction rationnelle , on associe une fonction rationnelle :
F
F P X F P x
x
Q Q x
→
= ∈
1 2
1 2
( ) \ {0} \ { }, \ { }
et , pôles de pôles de
Sur
F G X D F D G
D D F G F G FG F G
∈ = =
∩ + = + =
II. Décomposition en éléments simples
0( )X ={F∈ ( ),d eX gF<0} est un sev de ( )X
[ ]X est une sous-algèbre de ( )X 0( )X ⊕ [ ]X = ( )X
0 0 0
0
( ) !( , ) [ ] ( )
Pour tout , tq
est la partie entière de , et sa partie fractionnaire.
F X A F X X F A F
A F F
∈ ∃ ∈ × = +
Mathématiques – cours : Chap 20 : Corps des fractions rationnelles
2 0( )
La suite supposera F∈ X
1 2
2
1 2
0 1 2 1 2
1 2
1 1 2 2
( ) \ {0}, 1 !( , ) [ ]
deg deg deg deg
P P P F
Q Q
F X Q Q P P X tq
Q Q P Q P Q
= +
= ∈ ∧ = ∃ ∈
< <
Preuve :
0
1 2
1 2
2 1 0 car ( ) 1 2
Bezout
F X
P P PU PV
DE F A A
Q Q Q Q
∈
⇒ + ⇒ = + + +
2( 1 1) 1( 2 2), 1 2 1 1| ( 1 1) 0
Unicité : Q R −P =Q P −∧R Q =Q ⇒ −Q R ⇒P
0
1 1
( ) \ {0} N j s'écrit de manière unique N j ( ,deg j deg j)
j
j j
P P
F X Q Q F j P Q
Q = = Q
= ∈ =
∏ ∑
∀ <0
1
1
1
( ) \ {0} ( )
!( ,..., ) [ ] deg deg( )
avec les irréductibles premiers entre eux 2 à 2.
tq avec
j
j j
N
j j j
j
N N j
N j j
j j
F P X Q S S
Q
P P X F P P S
S
α
α α
=
=
= ∈ =
∃ ∈ = <
∏
∑
( ), 0( )
( )
Si est appelé partie polaire associée au pôle
j
j
j j j j
j
S X a a P X a
X a α
= − ∈ ∈
−
0
1
( ), s'écrit de manière unique kk avec deg k deg
k
P R
F X F F R S
S S
α
α =
= ∈ =
∑
<Preuve : Existence : divisions euclidiennes successives
0
( ) 0 {( ) , / }
Unicité : k k k k k k k k échelonnée donc libre contradiction
k
R T S R T S k R T
α α− α−
=
− = − ≠ ⇒
∑
0 1
1 1
( ) !( ... )
( ) ( )
[ ] : (( ) )
Pour les parties polaires : tq
(Preuve plus simple : Décomposition de P sur la base de )
k k k
k k
F P X F
X a X a
X X a
α α α α
α
λ λ λ
=
−
= ∈ ∃ ∈ =
− −
−
∑
1
,
,
1 1
( ) \ {0}
[ ], , ,deg deg
avec avec les premiers entre eux 2 à 2 s'écrit de manière unique sous la forme
j
j
N
j j
j
N
j k
j k j
k
j k j
F X F P Q S S
Q
F F A R A X j k R S
S
α
α
=
= =
∈ = =
= + ∈ ∀ ∀ <
∏
∑∑
,
1 1
1
( )
( )
Dans , N j j N j j k k
j k
j j
Q X a F A
X a
α α λ
= =
=
= − = +
∑∑
−∏
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III. Détermination des différents éléments
0( ) . ( ( ) )
( ) ( ) ( ) '( ) Pour un pôle simple :
pôle simple de La partie polaire associée à est de la forme avec
F P X a F a Q X a R
Q
P a P a
X R a Q a
λ λ
α
= ∈ = −
= =
−
Preuve : ( ) 2 ( )
( ) 0 ' ( ) ' ( ) '( )
( ) X a P
P P a
X a F Q X a R R R a Q a
R λ −R R a λ
= − = + ⇒ = + = − + ⇒ =
1
2 0
( )
0
( ) ( )
( ) ( )
( )
Pour comme pôle multiple :
Les sont les coefficients du DL de en 0 (/!\ en ordre inverse)
n
n
n k n
n n k
k
x
n k k
P x P P x
F x F a x x
X Q Q x Q x
a P
Q
ε
−
−
=
−
= ⇔ = =
∑
+...
Pour un autre pôle multiple : on translate
Pour les dénominateurs irréductibles de degré 2 dans : - soit on passe par
- soit on regarde les limites (en 0, ± ∞ )
1
1
' 1
( ... )
Pour scindé, n ses racines (avec multiplicité) n
k k
P x x P
P = = X x
