Corps nis, corps de fractions rationnelles (TD4)
FIMFA Algèbre 2 (Tony Ly), Mars 2012 Exercice 1
Déterminer le groupe additif deFq.
Exercice 2 (Théorème de Chevalley-Warning)
Soientpun nombre premier, q une puissance dep etn≥d≥1 des entiers. Soitf ∈Fq[X0, . . . , Xn] un polynôme homogène de degréd.
a) Calculer P
f(x0, . . . , xn)q−1 pour(x0, . . . , xn) parcourantFn+1q . b) En déduire quef possède un zéro autre que(0, . . . ,0).
Exercice 3 (Polynômes irréductibles sur Fq)
Soientp un nombre premier,q une puissance dep etd≥1un entier.
a) Montrer qu'un polynôme de degréd à coecients dans Fp est irréductible si et seulement si il n'a pas de racine dans Fpr pour toutr ≤ d
2.
b) Calculer les éléments deF4. En déduire tous les polynômes irréductibles de degré5de F2[X]. c) En observant le degré surFqdes éléments deFqd, déterminer le nombre de polynômes unitaires
irréductibles de degré ddansFq[X]. Exercice 4 (Théorie de Galois pour Fq) Soientp un nombre premier etn≥1un entier.
a) Rappeler pourquoi l'extension Fp ⊆Fpn est galoisienne.
b) Montrer que le groupe de Galois de l'extensionFp ⊆Fpn est cyclique d'ordren, engendré par l'automorphisme de Frobenius Fr :x7→xp.
Soitm≥1 un entier.
c) Montrer que Fpn est une extension de Fpm si et seulement si m divise n. Dans ce cas-là, montrer que le seul sous-corps de Fpn à pm éléments est{x∈Fpn |xpm =x}.
On suppose quem divise n.
d) Montrer que le groupe de Galois de l'extension Fpm ⊆Fpn est cyclique d'ordre n
m, engendré parFrm.
e) Réécrire cela en termes de correspondance entre sous-groupes de Gal(Fpn/Fp) et sous-corps de Fpn.
Exercice 5 (Cyclotomie sur Fq)
Soientp un nombre premier,q une puissance dep etr≥1 un entier.
a) Déterminer le groupeµpr(Fq) des racinespr-èmes de l'unité dans Fq.
b) Montrer que toute extension nie de Fq est cyclotomique, c'est-à-dire engendrée par des racines de l'unité.
Soient n ≥ 1 un entier et Φn ∈ Z[X] le n-ème polynôme cyclotomique sur C. On note Φ(p)n la réduction deΦnmodulo p, que l'on peut voir comme un polynôme sur Fq.
c) Montrer que les racines de Φ(p)n sont exactement les racines primitivesn-èmes de l'unité dans Fq.
Supposonsnpremier àp.
d) Montrer que si (Z/nZ)× n'est pas cyclique, alors Φ(p)n n'est pas irréductible surFp. 1
e) En déduire que la réduction de Φ8 modulop est réductible pour toutp.
f) Montrer queΦ(p)n est irréductible surFq si et seulement si q est un générateur de(Z/nZ)×. Exercice 6
SoitK un corps. Déterminer le corps L=
F ∈K(X)
F(X) =F(1/X) . Exercice 7
Soientkun corps, n≥1un entier etK =k(X1, . . . , Xn).
On fait agir le groupe symétriqueSnsur K par permutation desXi. a) Montrer que le corps des invariants KSn est isomorphe à K.
On supposek=C. SoitGun sous-groupe cyclique deGLn(C), que l'on fait agir de manière naturelle surK.
b) Supposons Gcomposé de matrices diagonales. En admettant que tout sous-groupe deZn est isomorphe à un Zr pour r≤n, montrer que KG est isomorphe àK.
c) En déduire que KG est isomorphe àK dans le cadre voulu.
Exercice 8
SoientK un corps et F ∈K(X)rK. On écritF = P
Q avecP, Q∈K[X]premiers entre eux.
a) Montrer queF est transcendant surK.
b) Montrer que le polynôme minimal deX surK(F) estP(T)−F Q(T)∈K(F)[T]. En particulier, l'extensionK(F)⊆K(X) est nie, de degréδ(F) = max(degP,degQ).
c) En déduire que le groupe des automorphismes de K(X) laissant xe K est isomorphe à PGL2(K).
Exercice 9 (Théorème de Lüroth)
SoientK un corps et Lune extension intermédiaire entre K etK(X). a) Montrer que le degré [K(X) :L]est ni.
On note n = [K(X) : L]. Soient F = P
Q ∈ LrK avec P, Q ∈ K[X] premiers entre eux et δ(F) = max(degP,degQ).
b) Montrer l'inégalitéδ(F)≥n, avec égalité si et seulement si L=K(F).
On suppose que l'on a choisiF ∈LrKavecδ(F) =mminimal. Dans l'écritureF = P
Q précédente, on suppose que le degré deP est m.
c) Montrer que si le polynôme M(T) = P(T) −F Q(T) ∈ L[T] est irréductible, alors on a L=K(F).
On suppose à présentM(T) non irréductible dansL[T].
d) Montrer qu'il existe un élément Ψ ∈ L[T]∩K[X, T] non constant qui divise le polynôme P(T)Q(X)−Q(T)P(X) dans l'anneauL[T]∩K[X, T].
e) En considérant les degrés en X, montrer que l'on peut supposer Ψ∈K[T].
f) En considérant une racine deΨdans une extension convenable deK, obtenir une contradiction et conclure quant à L=K(F).
2
