Fractions rationnelles

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R´ esum´ e de cours: Polynˆomes

Fractions rationnelles

Blague du jour :

Un gar¸con de caf´e a ´et´e sacr´e champion du monde des presseurs de citrons. Un jour o`u il en a press´e un jusqu’`a la derni`ere goutte, un client lui dit :

- Je vous parie 500 euros que je fais mieux que vous.

- Pari tenu !

L’homme saisit l’´ecorce du citron entre le pouce et l’index et, sous les applaudissements de l’assistance, il en tire encore un demi-verre de jus.

- C¸ a alors, fait le gar¸con, ´eberlu´e, vous ˆetes sans doute un confr`ere ? - Moi, pas du tout : je suis percepteur d’impˆots !

Math´ematicien du jour Eisenstein

Gotthold Ferdinand Max EISENSTEIN (1823-1852) est un math´ematicien allemand. Issu d’une famille de six enfants atteints par la m´eningite, il sera le seul `a survivre mais sa sant´e restera fragile. Il mourra `a l’ˆage de 29 ans, suite `a une tuberculose. Il ´etait ´etudiant de Gauss et Hamilton et ami de Kronecker et de Jacobi.

Ses travaux les plus significatifs port`erent sur les formes quadratiques (th´eorie des in- variants), la th´eorie analytique des nombres et les fonctions elliptiques dont la th´eorie, d´evelopp´ee au moyen des fonctions m´eromorphes.

A l’instar de Gauss qui avait d´efini ses entiers complexes, Eisenstein ´etudie les nombres complexes de la formea+bjo`uj³= 1, celui lui permit surtout d’´enoncer le r´esultat suivant : Tout nombre premier dans Nde la forme 3n+ 1 est d´ecomposable sous la forme 3a²+b². Dans tout le r´esum´e Kd´esigneQ,Rou C.

1 Polynˆ omes

1.1 L’alg` ebre K[ X ]

D´efinition 1 Un polynˆome `a co´efficient dans K est la donn´ee d’une suite (ak) d’´el´ements de K nulle `a partir d’un certain rang. Cette suite est alors not´ee P(X) = anXⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+. . .+a0. L’ensemble des polynˆomes se note K[X], o`u X s’appelle l’ind´etermin´ee.

Sur K[X] on d´efinit les lois suivantes, si P(X) = anXⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+. . .+a0, Q(X) = bmX^m+

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bm−1X^m−1+. . .+b0, λ∈K, on pose alors :

(P+Q)(X) =

max(n,m)

X

k=0

(ak+bk)X^k (λP)(X) =

Xn

k=0

λakX^k

(P Q)(X) =

n+mX

k=0

ckX^k tel que ck = Xk

i=0

aibk−i

Avec la g´en´eralisationak = 0 ∀k≥n+ 1, bk= 0 ∀k≥m+ 1.

K[X]est stable pour ces lois, on dit alors que c’est une alg`ebre.

1.2 Degr´ e d’un polynˆ ome.

D´efinition 2 SoitP un polynˆome non nul, on appelle degr´e deP, le plus grand indice de ses coefficients non nuls, et on le note degP.

AinsidegP =n⇐⇒P(X) =anXⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+. . .+a0avecan6= 0,ans’appelle coefficient dominant de P et se note co(P). Par convention deg0 =−∞.

Remarque.

P(X) =anXⁿ+an−1Xⁿ⁻¹+. . .+a0⇐⇒degP ≤n Th´eor´eme 1

deg(P+Q)≤max(degP,degQ)

Avec ´egalit´e dans le cas o`udegP6= degQou bien degP = degQmais degP+ deg6= 0.

Th´eor´eme 2

deg(P Q) = degP + degQ En particulier siλ, constante non nulle alors :

degλP = degP Remarque.

Pour n∈N, on note parK_n[X] l’ensemble des polynˆomes de degr´es inf´erieurs `a n, on a K_n[X] est stable pour la somme et la multiplication par une constante, c’est un sous-espace vectoriel de K[X]. En particulier K₀[X] =K.

1.3 Division dans K[ X ].

D´efinition 3 Soit A, B deux polynˆomes non nuls, on dit que B divise A dans K[X]

si et seulement si∃Q∈K[X] tel que A=BQ.

Remarque.

Si B divise A, alors degB ≤ degA, en particulier un polynˆome ne peut pas diviser un autre polynˆome de degr´e inf´erieur strictement.

Vocabulaire.

– Deux polynˆomesP, Q sont dits associ´es si et seulement si ∃λ6= 0 tel queP =λQ.

– Un polynˆome est dit irr´eductible dans K[X] si et seulement si ses seuls diviseurs dans K[X] sont les constantes ou ses polynˆomes associ´es.

Remarque.

Deux polynˆomes P et Q sont associ´es si et seulement siP divise Q avec degP = degQ. En particulier tout polynˆome de degr´e 1 est irreductible.

Th´eor´eme 3 ∀(A, B)∈K[X] tel que B 6= 0 ∃!(Q, R)∈K[X] tel que A=BQ+R avec degR < degQ. Q s’appelle le quotient de la division euclidienne de A par B etR son reste.

Remarque.

B divise A si et seulement si le reste de la division euclidienne de A par B est nul.

Algorithme d’Euclide.

Soit A, B deux polynˆome non nuls, on effectue les divisions euclidiennes successives des quo- tients par leurs restes, jusqu’`a arriver `a un reste nul, alors le dernier reste non nul est un diviseur commun de A et B de degr´e minimal, ce reste un fois normalis´e, s’appelle le PGCD de A et B et se note A∧B.

Propri´et´es.

le PGCD est commutatif, associatif et ne change pas si l’on multiplie l’un des polynˆomes par une constante.

Vocabulaire.

Deux polynˆomes sont dits premiers entre eux si leur PGCD est ´egal `a 1.

Proposition 1 Soient P etQ deux polynˆomes non nuls, et D leurs PGCD, alors P =DP⁰, Q=DQ⁰ avec Q∧Q⁰ = 1

Remarque.

Si P polynˆome irr´eductible et Q polynˆome quelconque, alors P∧Q = 1 ou P, en particulier deux polynˆomes irreductibles distincts sont toujours premiers entre eux.

Th´eor´eme 4 Th´eor`eme de Bezout.

Soit(A, B)∈K[X] tel que A∧B= 1 alors

∃(A, B)∈K[X] tel que AU +BV = 1 Th´eor´eme 5 Th´eor`eme de Gauss.

Soit(A, B, C)∈K[X] tel queA diviseBC etA∧B= 1 alorsA diviseC.

Cons´equences.

– A∧B=A∧C= 1 =⇒A∧BC= 1.

– A∧B= 1⇐⇒A∧B^β= 1⇐⇒A^α∧B^β= 1.

– Si A et B divisent C et sont premiers entre eux, alors AB divise C.

1.4 Racines d’un polynˆ ome :

D´efinition 4 A chaque polynˆomeP(X) =anXⁿ+. . .+a0∈K[X], on associ´e la fonction r´eelle :

Pb(x) :K →K

x 7→anxⁿ+. . .+a0

appell´ee fonction polynˆomiale de P et on dit que α ∈ K est une racine de P si et seulement siPb(α) = 0, dans la suite on notera P(α) = 0 au lieu dePb(α).

Th´eor´eme 6 SoitP ∈K[X], α∈K, alorsαest une racine deP si et seulement si X−a diviseP dans K[X].

Cons´equences.

– Un polynˆome irreductible dans K[X]de degr´e≥2 n’admet jamais de racine dans K.

– Un polynˆome, non nul de degr´e n∈Nadmet au maximun nracines.

– Tout polynˆome qui admet un nombre de racines sup´erieur strictement `a son degr´e est nul, en particulier tout polynˆome qui admet une infinit´e de racines est nul.

lemme 1.

Tout polynˆome, non constant admet au moins un facteur (diviseur) irr´eductible.

Th´eor´eme 7 Tout polynˆome, non constant,P se d´ecompse de fa¸con unique en facteurs irreductibles sous la forme

P =λP₁^α1. . . P_r^αr

avecλ∈K , αi ∈N^∗ etPi des polynˆomes irreductibles unitaires.

Th´eor´eme 8 Th´eor`eme de D’Alembert

Tout polynˆome, non constant admet au moins une racine dans C.

Cons´equences.

– Les polynˆomes irr´eductibles dans C[X]sont exactement les polynˆomes de degr´e 1.

En particulier la d´ecomposition de P dans C[X] est de la forme P(X) =λ(X−z1)^α1. . .(X−zr)^αr o`u leszi sont les racines de P.

– Les polynˆomes irr´eductibles dans^]X] sont exactement les polynˆomes de degr´e 1 ou ceux de degr´e 2 `a descriminant strictement n´egatif.

En particulier la d´ecomposition de P dans ^]X] est de la forme

P(X) = Yr

i=1

λ(X−xi)^αi Yp

i=1

(X²−2<e(zi) +|zi|²)^βi o`u lesxi sont les racines r´eelles de P etzi ceux complexes non r´eelles.

Il faut noter que si P ∈R[X]et z∈CR racine de P, alors z aussi racine de P.

1.5 D´ erivation dans K [ X ] .

D´efinition 5 SoitP(X) =anXⁿ+. . .+a0, on appelle polynˆome d´eriv´e deP, le polynˆome not´eP⁰ d´efini par P⁰(X) =nanXⁿ⁻¹+. . .+a1.

Propri´et´es.

– Si degP =n, alors degP⁰ =n−1 et co(P⁰) =nco(P). En particulier la d´eriv´ee d’un polynˆome est nul si et seulement si il est constant.

– ∀(P, Q)∈K[X]² ∀λ∈K, on a :(P+λQ)⁰=P⁰+λQ⁰, en cons´equence l’application : Kn[X] −→ Kn−1[X]

P(X) 7−→ P⁰(X) est lin´eaire.

D´efinition 6 SoitP ∈K[X]etk∈N^∗, on d´efinit par r´ecurrence la d´eriv´eek–`eme de P

`

a l’aide de la formuleP^(k)= (P^(k−1))⁰= (P⁰)^(k−1). Et on convient d’´ecrire P⁽⁰⁾=P.

– Si degP =n, alorsdegP^(k)=n−k etcoP^(k)=A^k_ncoP, avec la convention A^k_n = 0 sik > n.

En particulier la d´eriv´ee k–`eme d’un polynˆome est nul si et seulement si ce polynˆome est de degr´e inf´erieur `a k−1.

– Si deg =n alorsP⁽ⁿ⁾=n!coP.

– ∀(P, Q) ∈ K[X]² ∀λ ∈ K, on a : (P +λQ)^(k) = P^(k)+λQ^(k), en cons´equence l’application : Kn[X] −→ Kn−k[X]

P(X) 7−→ P^(k)(X)

est lin´eaire.

– ∀(P, Q)∈K[X]² ∀n∈Non a : (P Q)⁽ⁿ⁾=

Xn

k=0

Cn^kP^(k)Q^(n−k) Formule de Leibniz

D´efinition 7 SoitP ∈K[X], on dit qu’une racine a∈Kde P est de multiplicit´en∈N^∗ si et seulement siP(a) =. . . P⁽ⁿ⁻¹⁾(a) = 0 mais P⁽ⁿ⁾(a)6= 0. Et convient de dire que a est multiplicit´e nulle dans P lorsqu’elle n’est pas une racine de P.

Th´eor´eme 9 SoitP ∈K[X],∀n∈N, ∀a∈Kon a :P(X) = Xn

k=0

P^(k)(a)

k! (X−a)^k.

Th´eor´eme 10 SoitP∈K[X], n∈Neta∈K, les propri´et´es suivantes sont ´equivalentes : – a est une racine deP de multiplicit´en

– (X−a)ⁿ divise P,(X−a)ⁿ⁺¹ ne divise pas P.

– ∃Q∈K[X]tel que P(X) = (X−a)ⁿ avecQ(a)6= 0.

1.6 Polynˆ omes scind´ es.

D´efinition 8 On dit qu’un polynˆome P ∈ K[X] est scind´e dans K si et seulement si toutes ses racines sont dans K.

Remarques.

– Tout polynˆome non constant est scind´e dansC.

– Un polynˆomeP ∈R[X] est scind´e dans R si et seulement si toutes ses racines sont r´eelles.

Th´eor´eme 11 Soit P∈K[X] scind´e dans K, alors P(X) = co(P)

Yn

k=1

(X−zk)^αk

o`uzk sont les racines de P etαk leurs multiplict´es respectives.

En particulierdegP = Xn

k=1

αk.

Formules de Newton entre racines et coefficients d’un polynˆome scind´e :

SoitP(X) =anXⁿ+. . .+a0 un polynˆome scind´e de degr´en, et z1, . . . , zn ses racines distincts ou non, on a les formules suivantes :

Xn

k=0

zk=−an−1

an

X Y

i<j

zizj =an−2

an

X Y

i₁<...<ik

zi₁. . . zik= (−1)^kan−k

an

Yn

k=1

zk= (−1)ⁿa0

an

2 Fractions rationnelles

2.1 Le corps des fractions rationnelles K( X ).

2.1.1 Construction de K(X).

Rappel :

Tout anneau int´egre,A est contenu dans un corps, le plus petit de ses corps, unique `a isomor- phisme pr´es, s’appelle corps des fractions de A et se note K(A), il est construit `a l’aide de la

relation d’´equivalence suivante d´efinie surA×A^∗ par :(a, b)<(c, d)⇐⇒ac−bd= 0,K(A)est l’en- semble des classes d’´equivalences (a, b)pour cette relation, chaque classe (a, b)est abusivement not´ee ^a_b, AinsiK(A) =_a

b tel que (a, b)∈A×A^∗ .

Le corps des fractions de l’anneau int´egreK[X]se noteK(X)dont les ´el´ements sont de la forme

P

Q; o`u P et Q deux polynˆomes tels que Q6= 0 et s’appellent des fractions rationnelles. Cette ecriture est dite irr´eductible lorsqueP ∧Q= 1.

Toute fraction rationnelle peut s’´ecrire sous une forme irr´eductible, il suffit d’y simplifier par le PGCD du num´erateur et d´enominateur.

2.1.2 Degr´e d’une fraction rationnelle.

D´efinition 9 Le degr´e d’une fraction rationnelle P

Q est d´efini `a l’aide de la relation : deg

P Q

= deg(P)−deg(Q).

2.1.3 Pˆole d’une fraction rationnelle.

D´efinition 10 SoitF = P

Q ´ecrite sous sa forme irr´eductible, les pˆoles de F sont exac- tement les racines de Q, les multiplicit´es de ses racines de Q sont appel´es aussi multiplicit´es des pˆoles associ´es pour la fraction rationnelleF.

Remarque :

Pour d´eterminer les pˆoles d’une fraction rationnelle il faut avant toute autre chose la simplifier et l’´ecrire sous sa forme irr´eductible.

2.2 D´ ecomposition en ´ el´ ements simples d’une fraction rationnelle.

2.2.1 Partie enti`ere d’une fraction rationnelle.

D´efinition 11 La partie enti`ere d’une fraction rationnelleF est par d´efinition l’unique polynˆome not´e E(F) v´erifiant la propri´et´e : deg(F −E(F))<0.

Remarque : Si F = P

Q la partie enti`ere deF est exactement le quotient de la division euclidienne de P par Q.

2.2.2 Partie polaire relative `a un pˆole d’une fraction rationnelle.

D´efinition 12 La partie polaire relative `a un pˆole a d’une fraction rationnelle F est par d´efinition l’unique fraction rationnelle not´ee Fa v´erifiant la propri´et´e suivante : an’est pas un pˆole de F−Fa.

Remarque :

Si apˆole de multiplicit´er dans F, alors la partie polaire relative `a adans F est de la forme : Fa(X) = λ1

X−a+ λ2

(X−a)² +. . . λr

(X−a)^r 2.2.3 D´ecomposition en ´el´ements simples.

Toute fraction rationnelle sous d´ecompose en ´el´ements simples de fa¸con unique comme somme de sa partie enti`ere et toutes les parties polaires relatives `a ses pˆoles.

2.3 Remarques utiles.

2.3.1 Cas d’un unique pˆole.

SiF(X) = P(X)

(X−a)^r avecdeg(P)< radmet un unique pˆolea, alors sa d´ecomposition en ´el´ements sipmles est obtenu `a l’aide de la formule de Taylor `a l’ordre r−1 appliqu´ee au polynˆome P au point a, plus pr´ecis´ement :

P(X) =P(a) +P⁰(a)(X −a) +. . .P^(r−1)(a)

(r−1)! (X−a)^r−1=⇒F(X) = P^(r−1)(a) (r−1)!

1

X−a+. . . P(a) (X−a)^r. 2.3.2 Co´efficient du plus haut degr´e dans la partie polaire.

Si aest un pˆole de F de multiplicit´er dansF, alors le co´efficient λr de 1

(X−a)^r dans la partie polaire de F relative `a aest obtenu `a l’aide de la formuleλr= lim

X→a(X−a)^rF(X).

2.3.3 Cas d’un pˆole simple.

Si a est un pˆole simple de F = P

Q (de multiplicit´e 1), alors la partie polaire de F relative au pˆole aest de la forme Fa(X) = λ

X−a o`uλ= P(a) Q⁰(a). 2.3.4 Cas d’un pˆole double.

Si a est un pˆole double de F = ^P_Q (de multiplicit´e 2), alors la partie polaire de F relative au pˆole aest de la forme :

Fa(X) = λ

X−a+ µ

(X−a)² o`uµ= 2P(a) Q⁰⁰(a);λ=2

3

3P⁰(a)Q⁰⁰(a)−P(a)Q⁰⁰⁰(a) (Q⁰⁰(a))² . 2.3.5 Cas d’un pˆole imaginaire d’une fraction rationnelle r´eelle.

Soit F ∈R(X)(`a co´efficients r´eels) et a∈C\R un pˆole de F de partie polaire dans F ´egale `a Fa(X) = λ1

X−a+ λ2

(X−a)²+. . . λr

(X−a)^r, alorsaest aussi un pˆole deF de mˆeme multiplicit´e quea et dont la partie polaire dansF est exactement :Fa(X) =Fa(X) = λ1

X−a+ λ2

(X−a)²+. . . λr

(X−a)^r. 2.3.6 Cas d’une fraction rationnelle paire ou impaire.

SoitF une fraction rationnelle paire ou impaire etaun pˆole deF de partie polaire dansF ´egale

`

a Fa(X) = λ1

X−a+ λ2

(X−a)²+. . . λr

(X−a)^r, alors −a est aussi un pˆole deF de mˆeme multiplicit´e que a et dont la partie polaire dans F est :

– Si F paire, F−a(X) = −λ1

X+a+ λ2

(X+a)² +. . . (−1)^rλr

(X+a)^r. – Si F impaire,F−a(X) = λ1

X+a+ −λ2

(X+a)² +. . .(−1)^r+1λr

(X+a)^r . 2.3.7 Cas d’une fraction rationnelle de la formeF =P⁰

P.

Dans ce cas si (ai)1≤i≤r sont les racine de P de multiplicit´e αi, alors ce sont des pˆoles simple de F, et la d´ecomposition en ´el´ement simple de F est donn´ee `a l’aide de la formule : P⁰(X)

P(X) = Xr

i=1

λi

X−ai

.

Fin

`a la prochaine