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K [ X ] 5Formuled’interpolationdeLagrange6Constructionde 3Dérivationdespolynômes4PGCD,PPCMetpolynômesirréductibles 2Décomposition 1 K [ X ] :déﬁnitionsetrésultatsalgébriques Semaine16du27janvier(S05)Polynômes

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Année scolaire: 2022

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Academic year: 2022

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Semaine 16 du 27 janvier (S05) Polynômes

1 K [X ] : définitions et résultats algébriques

1.1 Premières définitions 1.2 Somme et produit 1.3 Composition

1.4 Opérations et degré 1.5 Fonctions polynomiales 1.6 Division euclidienne 1.7 L’algorithme de Horner

2 Décomposition

2.1 Racines, ordre de multiplicité 2.2 Nombres de racines

2.3 Polynômes scindés et relations coefficients/racines 2.4 Le théorème fondamental de l’algèbre

2.5 Décomposition en produit de facteurs irréductibles

3 Dérivation des polynômes

4 PGCD, PPCM et polynômes irréductibles

4.1 PGCD

4.2 Polynômes premiers entre eux 4.3 PPCM

5 Formule d’interpolation de Lagrange 6 Construction de K [X ]

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M M M M M {} D x f x dim ( N ( x n = ) ) → = {} ( x x d 1 . (1) ( x n , 2 ) d n N (1) = 1 ),( x (2) x , ( n d ) (2) ∈ℜ ), K D , ,( d x ( n ( ) N ∈ℜ ) , d ( N K ) )

Artificial Neural Networks: From Perceptron to Deep Learning 1 © 2021 ⏐ Younès Bennani - USPN.. Artificial

En gris, la fonction k : x ï - 1 4 x + 1 2

Par lecture sur le graphique, déterminer l’expression des fonctions f

( 1 si k = 0 X (X − 1) · · · (X − k + 1) si k ≥ 1 . On dénit aussi des endomorphismes D et ∆ de R [X ] par :

Les relations de la question précédente présentent une certaine analogie avec celles dénissant les coecients du binôme... Application à un calcul

∀n ∈ N \ {0, 1} , ∀k ∈ J 0, n K , B n,k = (X + 1) n−k (X − 1) k . 1. Quel est le degré d'un B n,k et son coecent dominant ? Établir

Ces polynômes sont très proches des polynômes de

Pourk≥1, on peut écrire (k+ 1) n k =k n k + n k =n n−1 k−1 + n k d'où , en notantS la somme cherchée : S=n n X k=1 n−1 k−1 + n X k=0 n k =n2n−1+ 2n = (n+ 2)2n−1 Autre solution

Une somme qui porte sur les k de K α (x) est plus petite qu'une somme obtenue en ajoutant des termes positifs pour les autres k.. On considère la somme de la

( 1 si k = 0 X (X − 1) · · · (X − k + 1) si k ≥ 1 . On dénit aussi des endomorphismes D et ∆ de R [X ] par :

Montrer que tout polynôme non nul admet un unique antécédent pour ∆ divisible par X.. Application à un calcul

x 5 2 253 x ... = 253 x ..... = + 2 5 3 + 1 6 5 4 0 x 2 6 1 1 1 827 x 6 = 4 9 6 2 827 x 20 = 8 2 7

On saute une ligne pour placer d’éventuelles retenues pour

V E ( ( X X ) ) = = i k i k ∑ = = ∑ = = 1 n 1 n x x i k 2 × × P P ( ( X X = = x x k i ) ) − = [] k k E ∑ = = ( 1 n X x ) k 2 × p k

[r]

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n X k=1 k2+k= n X k=1 k2+ n X k=1 k = n(n+ 1) (2n+ 1) 6 +n(n+ 1) 2 = n(n+ 1) (2n+ 1

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k <2· 1 √k+√ k = 2· 1 2√ k = 1 √k 2) n X k=1 1 √k &gt

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X+∞ k=1 (−1)k+1 (1 +x)−1)k k = X+∞ k=1 (−1)k+1 xk k =x− x2 2 + x3 3 − x4 4

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