Cours - Limite et Continuité

Limite et Continuité des fonctions Définition : Limite d’une fonction en un point

a) On dit que

f : D → R

a la limite l en

a ∈ D

,

f x l

a

x

=

→

( )

lim

, si lorsque

x

prend des valeurs de plus en plus proches de

a

, les valeurs

f(x)

« s’accumulent » autour de l.

b) On dit que

f : D → R

a la limite

+ ∞

en

a ∈ D

,

= +∞

→

( )

lim f x

a

x si lorsque

x

prend des valeurs de plus en plus proches de

a

, les valeurs

f(x)

dépassent n’importe quel nombre M, aussi grand soit-il.

a)

^lim

_x→2

( ^x

²

^{− 5 x} ) ^{= − 6}

^b) _→0 2

^{= +∞}

lim 1 x

x

c)

⎟ = −∞

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ −

→

x

x

lim 1

0

Exemples : (Fig.1)

Définition : Limite d’une fonction à l’infini

a) On dit que

^{f :} ] ^{a , +∞} [ ^{→ R}

a la limite l en

^{+ ∞}

^,

f x l

x

=

∞

→

( )

lim

, si lorsque

x

prend des valeurs de plus en plus grandes, les valeurs

f(x)

« s’accumulent » autour de l.

b) On dit que

f : ] a , +∞ [ → R

a la limite

+ ∞

en

+ ∞

,

= +∞

∞

→

( )

lim f x

x si lorsque

x

prend des valeurs de plus en plus grandes, les valeurs

f(x)

dépassent n’importe quel nombre M, aussi grand soit-il.

Remarque : De manière analogue on définit la limite d’une fonction en

− ∞

.

Exemples : (Fig.2)

Définition : limites latérales:

a) On appelle limite à gauche d’une fonction

f

en un point

a

, la limite de la fonction lorsque

x

prend des valeurs de plus en plus proches de

a

et inférieurs à

a

:

lim f ( x )

a x a x<→

b) On appelle limite à droite d’une fonction

f

en un point

a

, la limite de la fonction lorsque

x

prend des valeurs de plus en plus proches de

a

et supérieurs à

a

:

lim f ( x )

a x a x>→

Exemples : Voir Fig.2 a) :

= +∞

>→

x

x x

lim 1

0

0 et

= −∞

<→

x

x x

lim 1

0

0 .

Définition : Une fonction

f

est dite continue en un point

x

0 de son domaine de définition, si

• elle admet une limite finie en ce point :

f x R

x

x

∈

→

( )

lim

0

• et cette limite est égale avec la valeur de la fonction en

x

₀ :

lim ( ) (

₀

)

0

x f x

x

f

x

=

→

Remarques :

- Le graphique d’une fonction continue est une courbe continue sur chaque intervalle de définition.

- Toutes les fonctions de référence (polynomiales, exponentielle, logarithme…) sont continues sur tout leur domaine de définition.

Exemples :

4

)

2

( x x x x

f = + −

continue sur R ;

1 ) 1

( = −

x x

g

discontinue en x=1;

⎩⎨

⎧

>

−

= ≤

2 ,

2 ) ,

( x six

x si x x

h discontinue en 2

-1.0 -0.5 0.5 1.0 1.5 -1.0

-0.5 0.5 1.0

-2 -1 1 2 3 4 -4

-2 2 4

-1 1 2 3

-2 -1 1 2 3 4

Opérations algébriques avec les limites

Soit

f

et

g

une fonction définie sur un domaine D et

a

un point du domaine.

Si les fonctions

f

et

g

admettent une limite en

a,

(finie ou infinie) alors : a)

^lim ( ^{f ( x ) g ( x )} ) ^{lim f ( x ) lim g ( x )}

a x a

x a

x→

+ =

→

+

→

lim f ( x ) l l l + ∞ − ∞ + ∞

∞

+ − ∞ + ∞ ∞

b)

^lim ( ^{f ( x ). g ( x )} ) ^{lim f ( x ). lim g ( x )} l

a x a

x a

x→

=

→ →

c)

lim ( k . f ( x ) ) k lim f ( x )

, pour tout

k

réel

a x a

x→

=

→

d)

lim ( )

) ( lim )

( ) lim (

x g

x f x

g x f

a x

a x a

x

→

→

→

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

, si la fonction

g

est définie près du point

a

.

) (

lim f x l l ≠ 0 + ∞

ou

− ∞

0

) (

lim g x l ' + ∞

ou

− ∞

+ ∞

ou

− ∞ + ∞

ou

− ∞

( ) f . g

lim l × l ' + ∞

ou

− ∞ + ∞

ou

− ∞

forme indét

Les formes indéterminées sont de deux types et s’expriment sous forme abrégée par :

∞

+ − ∞

et 0 x (

+ ∞

) Exemples

a)

^lim (

³

¹⁵ ) ^{1 1 15 17}

1

+ + = + + =

→

x x

x ; b)

lim 2 ( 3 ) 2 2 5 20

2

+ = × × =

→

x x

x

c)

6

1 2 1 3 1 ) 1 ( lim 1

3

⎟ = × =

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛

−

→

x x

x

) (

li m g x ' − − ∞

( f + g ) + ∞ − ∞ + ∞ ∞

lim l l + ' −

^{forme ind}

Applications des limites pour le calcul des asymptotes des fonctions

Définitions La droite d’équation

y = l

  est une asymptote horizontale de

f

à

+ ∞

si

f x l

x

=

∞

→

( )

lim

La droite d’équation

y = l

 (constante) est une asymptote horizontale de

f

à

− ∞

si

f x l

x

=

−∞

→

( )

lim

La droite d’équation

x = a

 est une asymptote verticale de

f

si

= ±∞

→

( )

lim f x

a x

La droite d’éq.

y = mx + n

, (

m ≠ 0

⁾ est une asymptote oblique de

f

à

± ∞

si

^lim

_→±∞

( ^{f ( x ) − ( mx + n )} ) ^{= 0}

x

Exemples : a)La fonction

x x

f 1

2 )

( = +

admet une asymptote horizontale d’équation y=2,à

+ ∞

^car

1 2 2

lim ⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

+∞

→

x

x

b) La fonction

2 ) 1

( = −

x x

f

admet une asymptote verticale d’équation

x=2

, car

= ±∞

−

→

2

lim 1

2

x

x .

c) La fonction _{3 2}

4

3

) 2

( x x

x x x

f +

= +

admet une asymptote oblique à

+ ∞

, d’équation

y=2x-2.

a)

x x

f 1

2 )

( = +

^b)

2 ) 1

( = −

x x

f

^c) _{3 2}

4

3

) 2

( x x

x x x

f +

= +

Théorème (calcul des asymptotes)

a) S’il existe et est finie la limite

f x l

x

=

±∞

→

( )

lim

, alors la droite d’équation

y = l

 est une asymptote horizontale de

f

à

± ∞

.

b) S’il existe

a

tel que

= ±∞

, alors la droite d’équation

x = a

 est une asymptote

→

( )

lim f x

a x

verticale de

f

.

c) S’il existe et sont finies les limites :

x x m f

x

) lim (

±∞

=

→ ,

m ≠ 0

et

n ( f x mx )

x

−

= lim

→±∞

( )

alors la droite d’équation

y = mx + n

est une asymptote oblique de f à

± ∞

.

Calcul des limites et les asymptotes des fonctions de référence

1) Les fonctions polynomiales : Soit

P ( x ) = a

_n

x

ⁿ

+ ... + a

₁

x + a

₀ et

α ∈ R

. a)

lim ( ) ( α )

α

P x P

x

=

→

b)

lim ( ) lim

¹

...

⁰

lim

_n ⁿ

(

_n

)

n x n

n n x

x

a x Sign a

x a x

a a x x

P ⎟ = = ∞ ×

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + + +

=

→∞

−

∞

→

∞

→

c)

( ) lim ( )

lim

_n ^{n 1} _n

x

x

a x Sign a

x x

P =

_→∞ ⁻

= +∞ ×

∞

→

Donc les fonctions polynomiales n’admettent pas d’asymptotes, ni verticales (cf. a), ni horizontales (cf.b), ni obliques (cf.c).

2) Les fonctions rationnelles Soit

P ( x ) = a

_n

x

ⁿ

+ ...

,

Q ( x ) = b

_m

x

^m

+ ...

polynômes et

α ∈ R

.

Si

( )

) ) (

( Q x

x x P

f =

,

⎩ ⎨

⎧

≠

=

∞

±

= ≠

→

, ( ) 0 ( ) 0

0 ) ( ), ) (

(

lim α α

α α

α

si Q et P

Q si x f

x

f

et

⎪⎩

⎪ ⎨

⎧

>

∞

±

<

=

=

=

→±∞

±∞

→

m ,

m 0,

m , / lim

) ( lim

n si

n si

n si b a x

b x x a

f

n n

m m

n n x x

Conclusion : a) Si

α

₁

, α

₂

,...

sont les racines du polynôme

Q

et

P ( α

_i

) ≠ 0

, alors les droites

x = α

i sont asymptotes verticales de la fonction

f ( x ) = P ( x ) / Q ( x )

. b) Si

Q

n’a pas de racines réelles, alors

f

n’a pas d’asymptotes verticales.

c) La fonction

f

admet des asymptotes horizontales si

grad ( P ) ≤ grad ( Q )

, d’équations : et

m ,

/ =

= a b si n

y

_{n n}

y = 0, si n < m

3) La fonction racine carrée

α

= α

→

x

lim

x ;

= ∞

∞

→

x

lim

x

Donc la fonction racine carrée n’admet aucune d’asymptote (Fig.3 (a) ).

La fonction exponentielle ( Fig.3 (b) )

α α

e

^x

e

x

=

lim

→ (

α > 0

) ;

= ∞

∞

→ x

x

e

lim

;

lim = 0

−∞

→ x

x

e

Conclusion :

y=0

est asymptote horizontale à

− ∞

(mais pas à

∞

); pas d’autres asymptotes.

La fonction logarithmique ( Fig.3 (c) )

)

ln(

) ln(

lim α

α

=

→

x

x (

α > 0

) ;

= −∞

>→

ln( ) lim

00

x

x

x ;

lim

_→∞

ln( x ) = ∞

x

Conclusion :

x=0

est asymptote verticale à

− ∞

(mais pas à

∞

) ; pas d’autres asymptotes.

e^x y

logHxL y

y

x

Fig.3 (a) Fig.3 (b) Fig.3 (c)

Quelques limites remarquables

) 1

lim sin(

0

=

→

x

x

x ;

lim = 0 , ∀ ∈ , > 1

∞

→

n Z a

a x

x n

x

x e

x

x

⎟ =

⎠

⎜ ⎞

⎝ ⎛ +

∞

→

1 1

lim

;

( y )

^y

e

y

+ =

→

1 0

1 lim

) 1 1 lim ln(

0

+ =

→

x

x

x ;

1 ln( ), ( 1 )

lim

0

− = >

→

a a

x a

^x

x