Résumé - Fonctions exponentielle et logarithme

Résumé - Fonctions exponentielle et logarithme

La fonction ln définie sur ] 0 ; +∞ [ et la fonction exp définie sur  sont toutes les deux continues et strictement croissantes.

Leurs courbes sont symétriques par rapport à la droite d'équation y = x.

On peut noter exp  x=e

pour tout x réel, avec e≃ 2,718 .

Les fonctions exp et ln sont réciproques, c'est-à-dire que :

✗

Pour x réel, ln e

=x ,

✗

Pour a 0 , e

=a ,

✗

y=ln  x  ssi x=e

^.

Propriété Fonction exponentielle Fonction logarithme

Valeurs particulières e

=1

e

=e

ln 1= 0 ln  e =1 ln 2≃0,69

Équations e

= e

⇔ a=b ln ( a)=ln (b)⇔ a=b attention domaine !

Inéquations e

e

⇔ ab ln (a )<ln( b)⇔ a< b attention domaine ! Signe

e

0 q uel que soit x.

ln x 0 ⇔ 0 x1

ln x0 ⇔ x1

Propriétés

calculatoires e

=e

× e

e



=e

e

= e

e

e

= 1

e

ln ab =ln a ln b ln a

=n ln a ln  a

b =ln a−ln b ln  1

b =−ln b 1

2 ln a =ln   a

Limites lim

x −∞

e

= 0

x ∞

lim e

=∞

lim

x0 x0

ln x=−∞

x∞

lim ln x=∞

Asymptotes L'axe des abscisses en −∞ . L'axe des ordonnées.

Dérivée e

' =e

e

' = u ' e

ln x '= 1 x

ln u '= u '

u avec u > 0.

Fonctions composées e

a les mêmes variations que u ln u a les mêmes variations que u, avec u > 0.

y = exp(x)

y = x

y = ln(x)