Exponentielle et logarithme népérien

I.U.T. de Brest D´epartement GMP

Connaissances de base

Fonctions exponentielle et logarithme n´ ep´ erien

1. La fonction exponentielle

exp⁰(x) = exp(x) pour tout r´eel x (d´eriv´ee) exp(x) = e^x (notation)

e⁰ = 1

e^x+y = e^x×e^y pour tous r´eels x et y (propri´et´e fondamentale) e^x >0 pour tout r´eel x

Trac´e de la fonction exponentielle :

1 2

−1

−2 5

0 1

y= e^x

e = e¹ = exp(1)'2,7182818...

lim

x→+∞e^x = +∞ lim

x→−∞e^x = 0

1

2. La fonction logarithme n´ ep´ erien

ln⁰(x) = 1

x pour tout r´eelx >0 (d´eriv´ee) ln(1) = 0

ln(x×y) = ln(x) + ln(y) pour tous r´eels x >0 et y >0 (propri´et´e fondamentale)

Trac´e de la fonction logarithme n´ep´erien :

0 1 e

1

y= lnx

lim

x→+∞lnx= +∞ lim

x→0⁺lnx=−∞

3. Propri´ et´ es

e^2x = (e^x)² pourx ∈R

e^nx = (e^x)ⁿ pour tout entier naturel n et tout r´eel x e^−x = 1

e^x pour x∈R e^x−y = e^x

e^y pour x∈Ret y∈R

En effet e^x+y = e^x×e^y (propri´et´e fondamentale). Donc si x = y, on obtient e^x+x = e^x×e^x, c’est-`a-dire e^2x= (e^x)².

En appliquant le mˆeme raisonnement de proche en proche on montrera que e^nx = (e^x)ⁿ pour tout entier naturel n (en fait par r´ecurrence).

Par ailleurs e^x+y = e^x×e^y (propri´et´e fondamentale). Donc si y=−x, on obtient e^x−x = e^x×e^−x, c’est-`a- dire e<sup>0</sup> = 1 = e<sup>x</sup>×e<sup>−x</sup>. D’o`u e^−x = 1

e^x. Enfin e^x−y = e^x×e^−y = e^x×1

e^y = e^x e^y.

ln(x²) = 2 lnxpour x >0

ln(xⁿ) =nlnxpour tout entier naturel n et toutx >0 ln

1

x

=−lnx pourx >0 ln

x

y

= lnx−lny pour x >0 et y >0

En effet ln(x× y) = ln(x) + ln(y) (propri´et´e fondamentale). Donc si x = y, on obtient ln(x ×x) = ln(x) + ln(x), c’est-`a-dire ln(x²) = 2 lnx.

En appliquant le mˆeme raisonnement de proche en proche on montrera que ln(xⁿ) =nlnxpour tout entier naturel n (en fait par r´ecurrence).

Par ailleurs, ln(x×y) = ln(x) + ln(y) (propri´et´e fondamentale). Donc si y = 1

x, on obtient ln

x× 1 x

= lnx+ ln

1

x

, c’est-`a-dire ln 1 = 0 = lnx+ ln

1

x

. D’o`u ln

1

x

=−lnx.

Enfin ln

x

y

= ln

x×1 y

= lnx+ ln

1

y

= lnx−lny.

3

4. Exponentielle et logarithme

Les fonctions exponentielle et logarithme n´ep´erien sont r´eciproques l’une de l’autre.

Autrement dit :

ln(e^x) = x pour tout r´eel x e^lnx =x pour toutx >0

On en d´eduit toutes sortes de formules dont notamment : e^{2 lnx} =x² car pour tout x >0, on a e^{2 lnx} = e^ln(^x2) =x² e^−lnx = 1

x car pour tout x >0, on a e^−lnx = e^ln(¹x) = 1 x e^{−3 lnx} = 1

x³ car pour tout x >0, on a e^{−3 lnx} = e^−ln(x3) = e^ln(x¹3) = 1 x³

Dans un rep`ere orthonormal du plan,

les courbes repr´esentatives de la fonction exponentielle et de la fonction logarithme n´ep´erien sont sym´etriques l’une de l’autre

par rapport `a la droite d’´equation y =x.