Cours de math´ematiques
Fonctions Exponentielle et Logarithme
1 Fonction Exponentielle
D´efinition 1. On appelle fonction Exponentielle l’unique fonction d´efinie sur R ´egale `a sa d´eriv´ee et valant 1 en0, on la note x7→exp(x) ou x7→ex avec e= exp(1).
y= exp(x) e
Propri´et´e 1. La fonctionexp est d´erivable et exp′(x) = exp(x) , elle est croisssante et stric- tement positive, de plus lim
x→−∞ex = 0 et lim
x→+∞ex = +∞.
Propri´et´e 2. La fonction exp v´erifie les relations suivantes pour tous nombres r´eels x et y et pour tout entier relatif n :
1. ex+y =exey 2. e−x= 1
ex
3. ex−y = ex ey 4. enx= (ex)n
Propri´et´e 3. Siu est une fonction d´erivable, alors la fonctioneu est d´erivable et (eu)′ =u′eu .
Propri´et´e 4. On a pour n∈N, lim
x→−∞xnex= 0 et lim
x→+∞
ex
xn = +∞ .
Remarque 1. On dit que la fonction exponentielle«l’emporte» sur les fonctions puissances.
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Cours de math´ematiques Fonctions Exponentielle et Logarithme
2 Fonction Logarithme n´ ep´ erien
D´efinition 2. On appelle fonction Logarithme n´ep´erien la fonction ln : x7→ ln(x) d´efinie sur l’intervalle ]0; +∞[ par ln(x) =y avec ey =x.
y= ln(x)
e
Propri´et´e 5. On a ln(1) = 0 et ln(e) = 1.
Propri´et´e 6. On a ln(ex) =x pour tout r´eel x et eln(x)=x pour tout r´eel x >0.
Propri´et´e 7. La fonction lnest d´erivable sur ]0; +∞[et ln′(x) = 1 x .
Propri´et´e 8. La fonction lnest croisssante, n´egative sur ]0; 1] et positive sur [1; +∞[, de plus lim
x→0ln(x) =−∞ et lim
x→+∞ln(x) = +∞.
Propri´et´e 9. La fonction ln v´erifie les relations suivantes pour tous nombres r´eels x et y strictement positifs et pour tout entier relatif n :
1. ln(xy) = ln(x) + ln(y)
2. ln
1
x
=−ln(x)
3. ln
x
y
= ln(x)−ln(y)
4. ln(xn) =nln(x)
5. ln(√ x) = 1
2ln(x)
Propri´et´e 10. Si u est une fonction d´erivable et strictement positive sur ]0; +∞[, alors la fonction ln(u) est d´erivable et (ln(u))′ = u′
u .
Propri´et´e 11. On a pour n∈N, lim
x→0xnln(x) = 0 et lim
x→+∞
ln(x) xn = 0 .
Remarque 2. On dit que les fonctions puissances «l’emportent» sur la fonction logarithme n´ep´erien.
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