Exercices sur fonctions logarithme, exponentielle et puissances Réponses

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Exercices sur fonctions logarithme, exponentielle et puissances

1 Résoudre dans  l’inéquation ^ln



^x^¹



^^ln



^x^¹



^^{2 ln}^x^¹^.

2 Résoudre dans  l’équation ^{2 ln}^x^^{ln 2}



^x^¹



^^{ln 2}



^x^⁸



^^2ln



^x^¹



^.

3 Résoudre dans ² le système 2 ln 3ln ln 2 2

x y

 



 



.

4 Résoudre dans  l’équation 2^x^⁴3^x2^x^²3^x^¹. 5 1°) Etudier les variations de la fonction f : x lnx

x . La calculatrice est autorisée.

2°) Démontrer que pour tout entier naturel n  7, on a : n ⁿ^¹ n1 ⁿ.

6 Résoudre dans  l’équation e^x e^x.

7 Soit a un réel strictement positif, distinct de 1, fixé.

Résoudre dans  l’inéquation a²^x^¹a^x^².

8 Résoudre dans  l’inéquation

 

²

 

³

3 2

x x

 .

9 1°) Démontrer que pour tout couple (a, b) de réels, on a :



^{a b}



³^a³^b³³^{ab a}



^b



. 2°) On pose  ³2 3³2 3.

Déterminer une équation du troisième degré à coefficients entiers vérifiée par .

10 Démontrer que pour tout entier naturel n4, on a : 2ⁿn². On pourra étudier la fonction f : x  x ln2 – 2 ln x.

11 Résoudre dans  l’équation 3²^x2^x^¹²2^x^⁷²3²^x^¹.

12 Résoudre dans

 

^^*^ ² le système

y x

x y

y ax

 

 



où a est un réel strictement positif donné.

Réponses

1 D = ] 1 ; + [

1, e S  e 1

  

  

2 D = ] 1 ; + [

3x2 14x 8 0

   

Les solutions sont 2 3 et 4.

S = { 4 }

3 2y³y²4y 4 0



^y^^{2 2}

 

^y²^³^y^²



^⁰

La solution du système est le couple (4, 2).

4 ln 6 ln3

2 x

9 2°)    ³ 4 3 donc    ³ 3 4 0.

12 a1 Le système est toujours vérifié pour x = y. a1

1 1

xaa^.