Classe de terminale S
1
Exercices : logarithme – Exponentielle
Exercice 1
Déterminer les limites suivantes :
1) 1
lim ln(1 )
x x
→+∞ + x .
2)
1 1 1
lim ( 1) x
x
x e
+
−
→ − .
Exercice 2
On pose pour tout x de IR : P x( )= − +x3 2x2+ −x 2 1) Résoudre dans IR l’équation P(x) = 0.
2) En déduire la résolution dans IR des équations :
3 2
3 2
a) 2 2 0
b) (ln ) 2(ln ) 2 ln
x x x
e e e
x x x
− − + =
− + = −
Exercice 3
On considère la fonction polynôme P suivante : P(x) = x3 – 4x2 – 29x – 24.
1) Calculer P(-1) et écrire P(x) sous la forme de produit de trois polynômes du premier degré.
2) En déduire les solutions des équations suivantes :
3 2
2 ( 2) (3 )
a) (ln ) 4(ln ) 29(ln ) 24 0.
b) 2 x 2x 29 3 2 x 0.
x x x
+ −
− − − =
− − − × =
3) Résoudre l’inéquation : e2x−4ex−29 24− e−x≥0.
Exercice 4
1) Déterminer une primitive des fonctions suivantes sur l’intervalle donné : a)
2 ) 3
( = xx+ e x e
f , sur I = IR
b) 12
( ) (cos ) tan
f x = x x
× , sur I = ] 0 ; π2[.
c)
) ln(
) ln
( x
e x x
f = , sur I =] 0 ; + ∞ [.
Exercice 5
x est un réel strictement positif.
1) Etudier les variations de la fonction f définie par : 1
( ) ln( 1) ln
f x 1 x x
= x − + +
+ .
2) Etudier les variations de la fonction g définie par : g(x) =
x x x 1) ln 1 ln( + − − . 3) En déduire la relation :
x x x x
ln 1 ) 1 1 ln(
1+ ≤ + − ≤ .
Classe de terminale S
2 Exercice 6
On considère la fonction définie sur ]0,+∞[ par f(x)=ex −lnx et sa courbe représentative C dans un plan rapporté à un repère orthonormal.
(
O i j, ,)
(unité graphique : 2 cm).1. a. Étudier les variations de la fonction g définie sur ℝ par g(x)=xex −1.
b. En déduire qu'il existe un réel unique a tel que : aea =1 . Donner un encadrement de a d'amplitude 10-3.
c. Préciser le signe de g(x) selon les valeurs de x.
2. a. Déterminer les limites def aux bornes de ]0,+∞[.
b. Calculer la fonction dérivée f' de f et étudier son signe sur ]0,+∞[ en utilisant la question 1.
Dresser le tableau des variations de f
c. Montrer que f admet un minimum m égal à a+a-1 Justifier que : 2,32≤m≤2,34.
3. Donner une équation de la tangente T à C en son point d'abscisse 1.
Déterminer le point d'intersection de T et de l'axe des ordonnées.
4. Tracer C et T.
Exercice 7
Partie A
Étude de la fonction f définie sur IR+* par : f(x) = 1 ln . x + x
On appellera C sa courbe représentative.
1) a) Étudier la limite de f en + ∞.
b) Étudier la limite de f en 0.
c) Étudier les variations de f ;et dresser son tableau de variations.
2) Déterminer la valeur de x telle que f(x) = 0.
Écrire l'équation de la tangente T à C en ce point.
3) Tracer C et T.
Partie B
1) Montrer qu'une primitive de x ֏ x
x
ln est x ֏ 2
) (lnx 2
. En déduire l'ensemble des primitives F de f.
2) Déterminer la primitive de f qui s'annule pour x = 1.
Cette primitive sera appelée F1.
Déduire de la partie A le sens de variation de F1 ; déterminer les limites aux bornes de l'ensemble de définition, dresser le tableau de variations et donner les intersections de la courbe représentative de F1 avec l’axe des abscisses (Ox).
Représenter graphiquement F1.
3) On appelle F2 la primitive de f qui prend la valeur 1
2 pour x = 1. Donner l'expression de F2 Expliquer la construction de la courbe représentative de F2 à partir de celle de F1. Tracer la courbe représentative de F2.
