Terminale ES/L
I Continuité
I.1 Notion de continuité
Soitf une fonction définie sur un intervalleIdeR.
Dire quef est continue surIsignifie que sa courbe représentative peut être tracée en un seul morceau (la courbe ne présente aucun saut, aucun trou).
Définition 1
Soitf une fonction définie sur un intervalleIetaun réel deI. On noteCf sa courbe représentative et Ale point de la courbeCf d’abscissea. Pour tout réelxde l’intervalleI, on considère le pointMde la courbeCf d’abscissex
O x
y
Cf a
f(a) A
x f(x) M
O x
y
b
Cf
a f(a) A
x f(x) M
La fonctionf est continue.
Pour tout réeladeI, on peut rendref(x) aussi proche que l’on veut def(a) pourvu quexsoit suffisamment proche de
a.
La fonctionf n’est pas continue ena.
La courbeCf présente un saut au point d’abscissea.
Le pointMn’est pas proche du pointAquandxest proche dea.
Exemple
I.2 Propriétés
I.2.1 Théorème (admis)
Toute fonction dérivable sur un intervalleIest continue sur cet intervalle.
Théorème 1
Remarque
La réciproque du théorème est fausse :
Une fonction peut être continue en un réelasans être dérivable en ce réel. Par exemple la fonction valeur absoluef définie surRparf(x)= |x|est continue en 0 mais n’est pas dérivable en 0.
0 x
y
I.2.2 Conséquences
Les fonctions de référence (affines, carré, cube, inverse, racine carrée) sont continues sur tout intervalle où elles sont définies. De ce fait :
• Les fonctions affines, la fonctions carré et la fonction cube sont continues surR;
• Les fonctions polynômes sont continues surR;
• La fonction inverse est continue surR∗=R\ {0} ;
• La fonction racine carrée est continue sur [0 ;+∞[.
Propriété 1(Admise)
Toute fonction construite algébriquement (somme, produit, inverse, quotient ou composée) à partir de fonctions de référence est continue sur tout intervalle où elle est définie.
Propriété 2
Montrer la continuité de la fonction définie surI=]0 ;+∞[ par :
f(x)=2x3−x
2+2x+2 3x+1
La fonction f est définie et continue sur son ensemble de définitionIcomme somme et composée de fonctions qui le sont sur cet intervalle.
Point Bac
I.3 Tableau de variation
Une flèche dans un tableau de variation traduit la stricte monotonie et la continuité (c’est une consigne spécifique du programme) d’une fonction sur un intervalle considéré.
• Exemple.
x
Variations deg
−3 −1 0 1
−6
−6
−1
−1
−2
−2
4 4
D’après le tableau de variation ci-dessus, la fonctiongest continue et strictement croissante sur [−3 ;−1].
II Continuité et propriété des valeurs intermédiaires
II.1 Théorème des valeurs intermédiaires
Sif est une fonction définie sur un intervalle [a;b] et continue sur [a;b] alors pour tout réelkcompris entref(a) etf(b), l’équationf(x)=kadmet au moins une solutioncappartenant à [a;b].
Théorème 2(Théorème des valeurs intermédiaires (Admis))
f est continue surI f n’est pas continue surI
0 x
y
k
a
f(a)
b f(b)
0 x
y
b
k
a
f(a)
m′
f(b) m
b
L’image de l’intervalle [a;b] est un intervalle.
Tout réelkcompris entref(a) etf(b) est l’image d’au moins un élément de [a;b].
L’image de l’intervalle [a;b] n’est pas un intervalle.
Il existe des réelskcompris entref(a) etf(b) pour lesquels l’équationf(x)=kn’a pas de solution.
II.1.1 Remarque historique
Le première démonstration rigoureuse de ce théorème est due au mathématicien autrichien Bernard Bolzano (1781-1848, Prague, Empire d’Autriche).
Bernhard Placidus Johann Nepomuk Bolzano est le fils d’une germanophone et d’un émigré italien en Bohême, alors dans l’Empire d’Autriche. Dans son premier ouvrage Rein analytischer Beweis...(1817) il démontre le théorème des valeurs intermédiaires sans utiliser l’évidence géo-
métrique comme on le faisait alors. Bernard Bolzano
(1781-1848)
x
Variations de g
−3 −1 0 1
−6
−6
−1
−1
−2
−2
4 4 γ
−1.5 β
−1.5 α
−1.5
• D’après le tableau de variation ci-dessus, la fonctiongest continue sur [−3 ; 1].
• Le réelk= −1, 5 est compris entre
(f(−3)= −6 f(1)=4
• Donc d’après le théorème des valeurs intermédiaires , l’équationf(x)= −1, 5 admet au moins une solution appartenant à [−3 ; 1].
Exemple
On va affiner la recherche de solutions afin de les dénombrer, ici il semble qu’il y ait 3 solutions,α,β et γ.
II.2 Les corollaires du TVI
Si f est une fonction définie,continueet strictementmonotonesur un intervalle [a;b], alors, pour tout réelkcompris entref(a) etf(b), l’équationf(x)=kadmet une unique solution dans [a;b].
Bernard Bolzano (1781-1848) Théorème 3(Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires)
Sif est continue et strictement monotone sur [a;b] et sif(a) et f(b) sont de signe contraires, alors l’équationf(x)=0 admet une solution unique dans [a;b].
Bernard Bolzano (1781-1848) Théorème 4(Corollaire du théorème des valeurs intermédiaires)
On considère la fonctiongdéfinie sur [−3 ; 1] et dont le tableau de variation est donnée ci-dessous.
x
Variations de g
−3 −1 0 1
−6
−6
−1
−1
−2
−2
4 4 γ
−1.5 β
−1.5 α
−1.5
• Sur [−3 ; 1].
– D’après le tableau de variation ci-dessus, la fonctiongest continue et strictement croissante sur [−3 ;−1].
– Le réelk= −1, 5 est compris entre :
f(−3)= −6< −1, 5 et
f(−1)= −1> −1, 5
– Donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires , l’équationf(x)= −1, 5 admet exactement une solutionαappartenant à [−3 ;−1].
• Sur [−1 ; 0].
– D’après le tableau de variation ci-dessus, la fonctiongest continue et strictement décroissante sur [−1 ; 0].
– Le réelk= −1, 5 est compris entre :
f(−1)= −1> −1, 5 et
f(0)= −2< −1, 5
– Donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires , l’équationf(x)= −1, 5 admet exactement une solutionβappartenant à [−1 ; 0].
• Sur [0 ; 1].
– D’après le tableau de variation ci-dessus, la fonctiongest continue et strictement croissante sur [0 ; 1].
– Le réelk= −1, 5 est compris entre :
f(1)=4> −1, 5 et
f(0)= −2< −1, 5
– Donc d’après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires , l’équationf(x)= −1, 5 admet exactement une solutionγappartenant à [0 ; 1].
Point Bac : Rédaction type
III Convexité
III.1 Fonction convexe, fonction concave
III.1.1 Définitions
Soitf une fonction dérivable sur un intervalleIetCf sa courbe représentative.
• Dire que la fonctionf est convexe surIsignifie que la courbeCf est située entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes.
• Dire que la fonctionf est concave surIsignifie que la courbeCf est située entièrement au-dessous de chacune de ses tangentes.
Théorème 5
O x
y
convexe
La fonction carréx7−→x2est convexe.
O x
y Cf
concave
convexe
La fonction inversex7−→1
x est concave sur ]−∞; 0[
et convexe sur ]0;+∞[
Exemple
Remarque
Intuitivement, quels que soient les pointsAetBde la courbeCf
• Si le segment [AB] est au-dessus de la courbe alorsf est convexe.
• Si le segment [AB] est au-dessous de la courbe alorsf est concave.
O x
y
a
f(a)
b f(b)
A
B
O x
y
a
f(a)
b f(b)
A
B
f est convexe. f est concave
III.1.2 Théorème (Admis)
Soitf une fonction définie et dérivable sur un intervalleI.
• f est convexe surIsi, et seulement si, sa fonction dérivéef′est croissante surI.
• f est concave surIsi, et seulement si, sa fonction dérivéef′est décroissante surI.
Théorème 6
Conséquence
On notef′′la dérivée seconde de la fonctionf, c’est à dire la dérivée de la dérivéef′.
• Si la dérivée seconde est positive alors la fonctionf est convexe.
• Si la dérivée seconde est négative alors la fonctionf est concave.
Définition 2
Soitf la fonction définie surRparf(x)=x5−5x4.
La fonctionf est dérivable en tant que fonction polynôme surR. Sa dérivée est la fonctionf′définie sur Rpar :
f′(x)=5x4−20x3 Sa dérivée seconde est la fonctionf′′définie surRpar
f′′(x)=20x3−60x2=20x2(x−3) Les variations def′se déduisent du signe de sa dérivéef′′.
Notons que pour tout réelxon a : 20x2Ê0 doncf′′(x) est du même signe que (x−3). D’où le tableau :
x −∞ 3 +∞
signe def′′(x) − 0 +
variations def′
convexité def CONCAVE CONVEXE
f est concave sur ]−∞; 3] et convexe sur [3;+∞[.
Exemple
III.2 Point d’inflexion
III.2.1 Définition
Soitf une fonction définie et dérivable sur un intervalleIetCf sa courbe représentative.
S’il existe un pointAde la courbeCf tel que la courbe traverse sa tangente en ce point, alors on dit queA est un point d’inflexion.
Théorème 7
III.2.2 Exemples
La courbe représentative de la fonction cube définie surRparf(x)=x3admet comme point d’inflexion l’origineO(0 ; 0) du repère.
O x
y
SoitCf la courbe représentative de la fonction cube.
La tangente au point O à la courbeCf est l’axe des abscisses d’équationy=0.
• PourxÉ0,f(x)É0 donc la courbeCf est au dessous de la tangente en O sur ]−∞; 0].
• PourxÊ0,f(x)Ê0 donc la courbeCf est au dessus de la tangente en O sur [0;+∞[.
La courbeCf traverse sa tangente en O donc O (0; 0) est un point d’inflexion.
Exemple
III.2.3 Applications
• En un point d’inflexion la courbe traverse sa tangente : cela signifie que la fonction change de convexité.
• Si la dérivéef′change de sens de variation enaalors la courbe admet un point d’inflexion d’abs- cissea.
• Si la dérivée secondef′′s’annule en changeant de signe enaalors la courbe admet un point d’in- flexion d’abscissea.
Définition 3
III.2.4 Exemple
Soitf la fonction définie surRpar :
f(x)=x5−5x4 Sa dérivée est la fonctionf′définie surRpar :
f′(x)=5x4−20x3 Sa dérivée seconde est la fonctionf′′définie surRpar :
f′′(x)=20x2(x−3)
L’équationf′′(x)=0 admet deux solutionsx1=0 etx2=3.
Notons que pour tout réelx, on a : 20x2Ê0 doncf′′(x) est du même signe quex−3.
Les variations def′se déduisent du signe de sa dérivéef′′. D’où le tableau : x
Signe def′′(x)
Convexité
−∞ 0 3 +∞
− 0 − 0 +
f concave f concave f convexe
En tenant compte des changements de concavité, on en déduit que la courbeCf admet un seul point d’inflexion, le pointA¡
3;f(3)¢ . En effet :
• f′′(0)=0 mais, sur l’intervalle ]− ∞; 3]f′′(x)É0 donc le point de la courbeCf d’abscisse 0, n’est pas un point d’inflexion. (La fonctionf est concave sur ]− ∞; 3]).
• f′′s’annule enx=3 en changeant de signe donc le pointA¡ 3;f(3)¢
est un point d’inflexion de la courbeCf. La fonctionf change de concavité en ce point, elle est concave sur ]− ∞; 3] et convexe sur [3;+∞[.
Exemple
-100
-200
-300 100 200 300 400
1 2 3 4 5
-1 -2
-3 O x
y
b
Cf
A La courbe ne traverse pas sa tangente en O.
O n’est pas un point d’inflexion.
La fonctionfne change pas de convexité La courbe traverse sa tangente enA.
Aest un point d’inflexion.
La fonctionf change de convexité
