Dérivation et continuité
6.1 Fonctions dérivables
a. Rappels
Soitf une fonction définie sur un intervalleI, aet a+hdeux réels de l’intervalleI
Définition 1
Dire qu’une fonction est dérivable enasignifie que le taux de variation def entreaeta+htend vers un réell
hlim→0
f(a+h)−f(a)
h =l.
Ce réell est appelé le nombre dérivée def enaet on le notef′(a).
Définition 2
Dire quef est dérivable surI signifie quef est dérivable en tout réelxde I.
La fonction dérivée def, notéef′, est la fonction qui associe à tout réelxde Ile nombre dérivéf′(x).
Propriété 1
Soitf une fonction dérivable enaetC sa courbe représentative dans un repère du plan.
La tangente àC au pointAd’abscisseaa pour coefficient directeurf′(a)et pour équation y=f′(a)(x−a) +f(a).
y
x C
b c
b
ac
f(a)
T
Définition 3 (Approximation affine)
Sif est dérivable en un réeladeI, alors il existe une fonctionεtelle que pour tout réel havec a+hdans I: f(a+h) =f′(a)×h+f(a) +h×ε(h)avec lim
h→0ε(h) = 0.
On dit quef′(a)×h+f(a)est une approximation affine def(a+h)pourhproche de0.
y
x C
a
f(a) Abc
b c
b T
c
b c
b c
h
M
a+h f′(a)×h+f(a)
f(a+h)
|hε(h)|
b. Opérations et dérivation
Propriété 2
Soitu etv deux fonctions définies et dérivables sur un intervalleI et k un réel, alors les fonctions ku, u+v etuv sont dérivables surI, et si de plusv ne s’annule pas surI alors la fonction u
v, sont dérivables surI.
Fonction u+v ku uv 1
v
u v
↓ ↓ ↓ ↓ ↓
Fonction dérivée u′+v′ ku′ u′v+uv′ −v′ v2
u′v−uv′ v2
Théorème 1 (Dérivée d’une fonction composée)
Sivest une fonction dérivable surI etuune fonction dérivable env(x)pour toutxdeI, alors la fonction composéeu◦v est dérivable surI et pour toutxdeI on a :
(u◦v)′(x) =v′(x)×(u′◦v)(x)
Remarque : la propriété vu en première
« Soit g une fonction dérivable sur un intervalle I. Pour tout réel xtel que ax+b ∈ I, la fonctionf : x7→g(ax+b) est dérivable et on a f′(x) =a×g′(ax+b).»
est un cas particulier du théorème 1.
■ Démonstration :
Pour toutx∈I, on sait quevest dérivable enx.
On a doncv(x+h) =v′(x)h+v(x) +hε(h), avec lim
h→0ε(h) = 0 d’oùu(v(x+h)) =u(v′(x)h+v(x) +hε(h)).
Si on posek=v′(x)h+hε(h) on au(v(x+h)) =u(v(x) +k)
or lorsque htend vers 0,k=v′(x)h+hε(h) tend vers 0 et puisqueuest dérivable env(x) on peut écrire : u(v(x) +k) =u(v(x)) +k×u′(v(x)) +kφ(k)), avec lim
k→0φ(k) = 0.
On en déduit que u(v(x+h))−u(v(x)) = (v′(x)h+hε(h))×u′(v(x)) + (v′(x)h+hε(h))φ(v′(x)h+hε(h)) et on poseψ(h) = (v′(x) +ε(h))φ(v′(x)h+hε(h)). Par composition et produit de limites on a lim
h→0ψ(h) = 0.
u(v(x+h))−u(v(x)) =hv′(x)×u′(v(x)) +h(ψ(h) +ε(h)u′(v(x))) Pour h6= 0 on a u(v(x+h))−u(v(x))
h =v′(x)×u′(v(x)) +ψ(h) +ε(h)u′(v(x)) donc
hlim→0
u(v(x+h))−u(v(x))
h =v′(x)×u′(v(x))
Propriété 3
Soitufonction définie et dérivable sur un intervalleI.
Les fonctionscosu,sinu,eu, etun, avecn∈N∗ sont dérivables surI.
Siune s’annule pas surI alors la fonctionu−n, avecnun entier naturel non-nul, est dérivable surI.
Siuest strictement postive alors la fonction√
uest dérivable dansI.
Fonction cosu sinu un u−n √
u eu
↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓
Fonction dérivée −u′sinu u′cosu nu′un−1 −nu′u−n−1 u′ 2√
u u′eu
6.2 Continuité d’une fonction
La notion de continuité d’une fonctionf a pour objet de traduire mathématiquement le fait que sa courbe représentative peut se tracer sans « trou », sans « lever le crayon ».
a. Continuité
Définition 4
Dire quef est continue en un réelade l’intervalle ouvertIsignifie quef admet une limite enaet que
xlim→af(x) =f(a).
Une fonction est dite continue sur un intervalle ouvertI si elle continue en toutadeI.
On a les résultats suivants :
Propriété 4
• Les fonctions polynômes, les fonctions cosinus et sinus sont continues sur R. La fonction x 7→ √
x est continue sur [0; +∞[.
• Une fonction rationnelle est continue sur chacun des intervalles où elle est définie.
• Siuetv sont continues surI, alors u+v,u×v etun (nentier naturel non nul) sont continues sur I. La fonction u est continue sur les intervalles où elle est définie. v
• Si la fonctionv est continue enaet si la fonctionuest continue env(a), alors la fonctionu◦vest continue ena.
b. Quelques exemples
1. Soitf la fonction définie sur [0; 2] par
f :x7→
( cosxsix∈ [0; 1]
cos(x−1) six∈]1; 2]
Lorsqu’on traceC la courbe représentative def dans un repère (O;−→ i ,−→
j) on constate un « décrochage » pourx= 1.
On peut conjecturer que la fonctionf n’est pas continue en 1.
O 1
b c b
On af(1) = cos 1≈0,54 lim
x→1−
f(x) = cos(1)≈0,54 lim
x→1+f(x) = cos(0) = 1, la fonctionf est donc discontinue en 1.
2. Soitg la fonction définie surRparg :x7→
sinx
x six6= 0 1 six= 0 On peut conjecturer que la fonctionf est continue en 0.
O
Pour la démonstration on utilise des inégalités démontrées dans une précédente activité.
Pour toutxde [−π; 0] on a 06sin(x)−x6x3
6 et pour toutxde [0;π] on a −x3
6 6sin(x)−x60.
À l’aide du théorème des gendarmes on démontre que lim
x→0−
sinx x = lim
x→0+
sinx x = lim
x→0
sinx
x =g(0) = 1, la fonction est donc continue en 0.
3. Partie entière
Pour tout réel x, il existe un unique entier n tel que n 6 x < n+ 1. Cet entier n est appelé partie entière du réelxet est notéE(x) =n. La fonction partie entière Equi à tout réelxassocieE(x) est discontinue pour tout entier p et est continue sur tout intervalle de la forme [p;p+ 1[.
En effet, pour toutp∈Zon a :
six ∈ [p;p+ 1[, alorsE(x) =p six ∈ [p−1;p[, alorsE(x) =p−1
d’où lim
x→p−E(x) =p−1 et lim
x→p+E(x) =p.
O
b (
b (
b (
b (
b (
b (
c. Lien entre dérivabilité et continuité
Propriété 5
Si une fonctionf est dérivable sur l’intervalleI, alorsf est continue enI.
■ Démonstration :
Soitaun réel deI, commef est dérivable enail existe une fonctionεtelle que pour tout réelhaveca+hdansI:
f(a+h) =f′(a)×h+f(a) +h×ε(h) avec lim
h→0ε(h) = 0.
On a f(a+h)−f(a) =f′(a)×h+h×ε(h) donc lim
h→0f(a+h) =f(a).
On en déduit que la fonctionf est continue ena.
Remarque :la réciproque est fausse, une fonction continue en un réeladeI n’est pas forcément dérivable ena.
6.3 Théorème des valeurs intermédiares
a. Cas des fonctions continues
Théorème 2 (des valeurs intermédiaires)
Soitf une fonction continue sur un intervalleI,aetbdeux réels de I. Pour tout réel k conmpris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) =k.
Autrement dit l’équation f(x) = k admet au moins une solution.
Remarque : Ce théorème est un théorème d’existence il affirme l’existence d’une solution, mais il ne donne pas de solution.
Des méthodes numériques permettront de donner des valeurs approchées des solutions.
y
x C
b c b c
a f(a)
b c
b c
b
f(b)
b. Cas des fonctions continues strictement monotones
Théorème 3 (bijection)
Soitf une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle[a;b]. Pour tout réelkconmpris entref(a)etf(b), il existe une unique solutionαdans l’intervalle[a;b]à l’équationf(x) =k.
■ Démonstration :
