FONCTIONS : CONTINUITE, DERIVABILITE. Pour pouvoir comprendre ce chapitre, vous devez connaître et maîtriser la partie Fonctions du document : "A retenir de la première S

(1)

FONCTIONS : CONTINUITE, DERIVABILITE.

Pour pouvoir comprendre ce chapitre, vous devez connaître et maîtriser la partie Fonctions du document : "A retenir de la première S".

I. Continuité d une fonction.

1. Limite finie en un réel a.

f est une fonction définie sur un intervalle I ; a est un nombre qui appartient à I où qui est une borne de I.

Dire que la fonction f a pour limite L lorsque x tend vers a signifie que tout intervalle ouvert contenant L contient toutes les valeurs de f (x ) lorsque x est suffisamment proche de a. On écrit alors lim

x a

f( x) L . Les valeurs de f (x ) s accumulent autour du nombre L lorsque x est proche de a.

2. Continuité en un réel a, continuité sur un intervalle.

Définitions : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de contenant un réel a.

Dire que f est continue en a signifie que lim

x a

f( x) = f(a)

Dire que f est continue sur I signifie que f est continue en tout réel de I.

Graphiquement, la continuité d’une fonction f sur un intervalle I se traduit par le fait que la courbe représentative de f sur I peut être tracée sans lever le crayon.

-3 -2 -1 0 1 2 3

-4 -2 0 2

-3 -2 -1 0 1 2 3

-4 -2 0 2 4

Exemple important de fonction non continue : la fonction partie entière.

La fonction partie entière notée E est définie sur par : E( x) = n où n est l’unique entier relatif tel que n  x < n + 1

Par exemple : E(2,1) = ……… E(3) = 3……….. ; E( 2,1) = ...

Sur les calculatrices :

T I : Math Num int( 2,71) ENTER

Casio : OPTN F6 F4 (pour choisir Num) F5 (pour choisir intg) ( (-) 2 . 7 1 ) ENTER La fonction E est discontinue en chaque entier relatif.

En effet :

Représentation graphique :

E est une fonction en escalier.

o

(2)

3. Des fonctions continues.

Propriété (admise) :

Les fonctions polynômes, rationnelles, valeur absolue et racine carrée sont continues sur tout intervalle sur lequel elles sont définies.

La somme, le produit, le quotient de fonctions continues sont continues sur tout intervalle sur lequel elles sont définies.

Si f et g sont des fonctions continues sur leur ensemble de définition, la fonction f ◦ g : x f (g (x )) est continue sur son ensemble de définition.

Exemples :

 f: x 4 x

⁶

3x

⁴

6 x

³

2 3 x

²

x 1 4

 g: x 2x ² 3x 4 x² 3x 2

 h: x x² 5

Théorème : Soit f une fonction définie sur un intervalle I de contenant un réel a.

Si f est dérivable en a; alors f est continue en a.

Si f est dérivable sur I; alors f est continue sur I

Remarques :

 La réciproque du théorème est fausse : une fonction peut être continue sans être dérivable :



Dans le tableau de variation de la fonction f, une flèche oblique et sans coupure traduit la continuité et la

stricte monotonie de f sur l’intervalle considéré.

(3)

II. Continuité et résolution d équations.

1. Théorème des valeurs intermédiaires.

Théorème des valeurs intermédiaires (admis) : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b]; alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b); il existe au moins un réel c appartenant à [a ; b] tel que f(c) = k.

Autrement dit, l’équation f(x) = k admet au moins une solution dans l’intervalle [a ; b].

Graphiquement :

. .

2. Cas d une fonction strictement monotone.

Théorème : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b]; alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b); il existe un unique réel c appartenant à [a ; b] tel que f(c) = k.

Autrement dit, l’équation f(x) = k admet exactement une solution dans l’intervalle [a ; b].

Démonstration :

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a b ] et k un réel compris entre f (a ) et f (b ).

Supposons que f est strictement croissante sur [a ; b]. (On raisonne de même si f strictement décroissante).

Graphiquement :

3. Cas généralisé d une fonction strictement monotone.

Théorème (admis) : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle I; admettant aux bornes de I des limites et réelles ou infini es. Alors pour tout réel k compris entre et ; il existe un unique réel c appartenant à I tel que f(c) = k.

Autrement dit, l’équation f(x) = k admet exactement une solution dans l’intervalle I.

(4)

Application :

Soit f la fonction définie sur [ 1 ; 3] par f( x) x

³

5 x 4.

1. Construire le tableau de variation de la fonction f.

2. Montrer que l équation f (x ) 0 a une unique solution dans l intervalle [ 1 ; 3].

3. A la calculatrice, déterminer une valeur approchée de à 10

³

près.

III. Dérivation : compléments.

Théorème (admis) : Si u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I, alors la fonction u est dérivable sur I et ...

Exemple : f est la fonction définie par f( x) 2x 4 .

Théorème (admis) : Si u est une fonction dérivable sur un intervalle I et n un entier naturel non nul, alors la fonction u

ⁿ

est dérivable sur I et ( ) u

ⁿ

...

Si, de plus, la fonction u ne s annule pas sur I, alors la fonction 1

u

ⁿ

est dérivable sur I et

 

  1 u

ⁿ

= Exemples :

f est la fonction définie par f( x) ( ^x

³

² ^{x² 5} )

⁶

^.

g est la fonction définie par g( x) 1

(x² 7)

⁵

(5)

Théorème (admis) : Soit a et b deux réels et soit g une fonction définie et dérivable sur un intervalle I.

Soit f la fonction définie par f( x) g( ax b ).

Pour tout x tel que ax b appartienne à I, f est dérivable en x et f (x ) ...

Exemple : f est la fonction définie par f( x) 2x 4 .

Théorème (admis) : Dérivée d’une fonction composée : Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I et v une fonction dérivable sur un intervalle J tel que pour tout x de I; u (x ) appartienne à J .Alors la fonction v

_

u est dérivable sur I et pour tout x de I : ...

Exemple : Retrouver le théorème donnant la dérivée de u où u est une fonction dérivable et strictement positive sur un intervalle I.

IV. Primitives d une fonction continue.

Définition : Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Une primitive de f sur I est une fonction F dérivable sur I telle que F f .

Exemples :

Soit f définie sur par f( x) 2 x.

La fonction F définie sur par F(x) x² est une primitive de f sur

Soit f définie sur ]0 ; + [ par f(x ) 3x² 1 x² .

La fonction F définie sur ]0 ; + [ par F(x) x

³

1 x 5 est une primitive de f sur

(6)

Théorème (admis) : Soit f une fonction continue sur un intervalle I, qui admet une primitive sur I. Alors f admet une infinité de primitives sur I, et toute primitive de f sur I est définie par F( x) (x ) k où k est une constante réelle.

Exemples :

Soit f définie sur par f( x) 2 x.

Les primitives de f sont les fonctions définies sur par x x² k où k est un réel.

Par exemple : G : x x² 12 et H : x x² 2

5 sont des primitives de f sur .

Soit f définie sur ]0 ; + [ par f(x ) 3x² 1 x² .

Les primitives de f sont les fonctions définies sur ]0 ; + [ par x x

³

1 x k où k est un réel.

Par exemple : G : x x

³

1 x 2 et H : x x

³