Chapitre 7 – Fonctions usuelles – Exercices I. Ciril, F. De Lepine, F. Duffaud, C. Peschard

Chapitre 7 – Fonctions usuelles – Exercices

I. Ciril, F. De Lepine, F. Duffaud, C. Peschard

Exercice 1

R´esoudre les ´equations suivantes : 1. arctan(2x) + arctanx=^π₄. 2. arcsin(2x)−arcsin(x√

3) = arcsin(x).

3. arctan(x) + arctan(√

3x) = ^7π₁₂. Exercice 2

Soient les fonctionsf :x7→arcsin(sinx) etg:x7→arctanq

1−cosx 1+cosx. 1. Simplifier les expressions def(x) et g(x).

2. Construire les graphes def etg.

Exercice 3

Etudier la fonction :´

φ:x→arcsin1−x²

1 +x² + arccos 2x 1 +x². Exercice 4

Donner un expression plus simple de :

y= argch

r1 + chx

2 ; y= argsh(2xp

1 +x²); y= argthx²−1 x²+ 1;

y= Argthx²−1 x²+ 1.

Exercice 5

Calculer pour (n, a, b)∈N^∗×R² :

n−1

X

k=0

ch(a+bk),

n−1

X

k=0

sh(a+bk).

Exercice 6

Soita∈]1; +1[.On consid`ere la fonctionf donn´ee par :

f(x) = ln(cosh(x))−ax.

On noteCf la courbe repr´esentative def.

1. D´eterminer le domaine de d´efinitionDf; de continuit´eCf et de d´erivabilit´eDerf de f.

1

2. Etudier les variations def.

3. D´emontrer que Cf poss´ede une asymptote oblique au voisinage de +∞; asymptote dont on pr´ecisera la position par rapport `a la courbeC_f.

4. ´Etudier la convexit´e def.

5. Tracer la courbe def pour a= 2.

Exercice 7

On pose pour toutxr´eel :

f(x) = arg thx²−1 x²+ 1

.

1. D´eterminer le domaine de d´efinitionDf; de d´erivabilit´eDerf def; puis calculerf⁰. 2. En d´eduire une expression ”simple” def. Puis tracer la courbe def.

Exercice 8

Etudier la fonction´ f donn´ee par :

f(x) = arcsin arg sinh(x) .

2