Chapitre 7 – Fonctions usuelles – Exercices
I. Ciril, F. De Lepine, F. Duffaud, C. Peschard
Exercice 1
R´esoudre les ´equations suivantes : 1. arctan(2x) + arctanx=π4. 2. arcsin(2x)−arcsin(x√
3) = arcsin(x).
3. arctan(x) + arctan(√
3x) = 7π12. Exercice 2
Soient les fonctionsf :x7→arcsin(sinx) etg:x7→arctanq
1−cosx 1+cosx. 1. Simplifier les expressions def(x) et g(x).
2. Construire les graphes def etg.
Exercice 3
Etudier la fonction :´
φ:x→arcsin1−x2
1 +x2 + arccos 2x 1 +x2. Exercice 4
Donner un expression plus simple de :
y= argch
r1 + chx
2 ; y= argsh(2xp
1 +x2); y= argthx2−1 x2+ 1;
y= Argthx2−1 x2+ 1.
Exercice 5
Calculer pour (n, a, b)∈N∗×R2 :
n−1
X
k=0
ch(a+bk),
n−1
X
k=0
sh(a+bk).
Exercice 6
Soita∈]1; +1[.On consid`ere la fonctionf donn´ee par :
f(x) = ln(cosh(x))−ax.
On noteCf la courbe repr´esentative def.
1. D´eterminer le domaine de d´efinitionDf; de continuit´eCf et de d´erivabilit´eDerf de f.
1
2. Etudier les variations def.
3. D´emontrer que Cf poss´ede une asymptote oblique au voisinage de +∞; asymptote dont on pr´ecisera la position par rapport `a la courbeCf.
4. ´Etudier la convexit´e def.
5. Tracer la courbe def pour a= 2.
Exercice 7
On pose pour toutxr´eel :
f(x) = arg thx2−1 x2+ 1
.
1. D´eterminer le domaine de d´efinitionDf; de d´erivabilit´eDerf def; puis calculerf0. 2. En d´eduire une expression ”simple” def. Puis tracer la courbe def.
Exercice 8
Etudier la fonction´ f donn´ee par :
f(x) = arcsin arg sinh(x) .
2
