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Chapitre 9 : Résumé fonctions usuelles.
A Tableau récapitulatif : Formules usuelles.
Dérivées des fonctions usuelles
u Dérivéeu1 Sur
kPR 0 R
x 1 R
x2 2x R
xn (nPN) nxn´1 R
1
x ´1
x2 R˚
1
xn ´ n
xn`1 R˚
?x 1
2?
x s0;`8r
cosx ´sinx R
sinx cosx R
tanx 1
cos2x“1`tan2x R˚
ex ex R
lnx 1
x R`˚
Opérations sur les dérivées
uetv désignent deux fonctions quelconques, définies et dé- rivables sur un intervalleI.
Fonction Dérivée ku,kPR ku1
u`v u1`v1 uv u1v`uv1
u v
u1v´uv1 v2
u2 2u1u
1
u ´u1
u2 un (nPZ˚) nu1un´1
u˝vpxqq v1pxq ˆu1˝vpxq
?u u1
2? u
eu u1eu
lnu u1
u cosu ´u1ˆcosu
B Fonctions exponentielles.
1 Définition.
L’exponentielle est l’unique fonction dérivable surRtelle que : expp0q “1 et @xPR; exp1pxq “exppxq On note : exppxq ou ex.
Définition-Proposition 1
2 Étude de la fonction exponentielle.
Tableau de variation.
x exppxq
exppxq
´8 `8
`
0 0
`8
`8 0
1
On détermine la tangente àCexp en utilisant la formule : y“exp1p0qpx´0q `expp0q “x`1
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3 Propriétés algébriques et fonctionnelles.
Pour tous x et y réels etnPZ
• expp0q “1
• exppx`yq “exppxq ˆexppyq
• exppy´xq “exppyq exppxq
• exppxqy “exppxyq
• exppnxq “ pexppxqqn
• e0“1
• ex`y“exˆey
• ey´x“eeyx
• pexqy“exy
• penx“ pexqn Proposition 2
4 Exponentielle en base a.
Soitaun réel strictement positif. Pour tout réel x, on définit axpar :ax“exˆlna. A retenir que les formules sur les puissances entières restent vrai.
Définition-Proposition 3
Sifpxq “ax“exˆlna alorsf1pxq “lnaax. Commeaxą0, la dérivéef1pxqest du signe de lna. Doncf est strictement croissante siaą1 et strictement décroissante si 0ăaă1.
C Fonctions logarithmes.
La fonction f : s0,`8r Ñ R x ÞÑ 1x
est continue surs0,`8r. Elle admet une unique primitive s’annulant en 1. Cette primitive est, par définition, la fonction logarithme népérien notée ln
Définition 1
Pourpx, yq P` R˚`
˘2
et, pournPZon a :
lnpxyq “lnpxq `lnpyq ln
ˆ1 x
˙
“ ´lnpxq lnpxnq “nlnpxq
Proposition 4
La fonction ln est strictement croissante surs0,`8r. Elle vérifie
xÑ0limlnpxq “ ´8 lim
xÑ`8lnpxq “ `8 Proposition 5
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‚Pour xPRon a lnpexq “x. ‚ Pouryą0 on a elnpyq“y Théorème 6
Tableau de variation.
x ln1x“ x1
exppxq
0 `8
`
´8
´8
`8
`8 1
0
Représentation graphique de ln etexp.
On définie le logarithme décimal par :
@xPR, logpxq “ lnpxq lnp10q Définition 2(Logarithme décimal)
Toutes les propriétés du logarithme népérien sont conservées, sauf que cette fois l’on a :
• log 10“1 • @xPR,logp10xq “x
La fonction inverse du logarithme est donc la fonctionxÞÑ10x définie surR. Proposition 7
D Fonctions puissances.
SoitaPRet xą0, on définitxa par
xa“exppalnpxqq Définition 3(Fonctions puissances)
Aveca‰0. Si l’on pose : f : s0;`8r Ñ R x ÞÑ xa
. Alorsf1pxq “a
xxa“axa´1. On retrouve donc la formule que l’on connait dans le cas oùaPZ˚.
E Fonctions circulaires.
Revoir les définitions vues à l’occasion du chapitre sur la trigonométrie, ainsi que les formules de trigonométrie.
On retiendra que :
• cos et sin sont définies surRtandis que tan n’est pas définie sur
! kπ`π
2, kPZ )
. Ne pas oublier dés lors les limites de tan aux bornes de sont ensembles de définition (C’est-à-dire en tous points de
! kπ`π
2, kPZ )
à gauche et à droite.)
• cos est pair et que sin et tan sont impaires.
• cos et sin sont 2π-périodique et tan estπ-périodique.
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F Méthodes.
Attention certaines de ces étapes peuvent s’avérer inutiles (par exemple la parité si les fonctions ne sont pas circulaires)
1ière Étape : Domaine de définition.
2ième Étape : Parité. (et réduction du domaine de d’étude ?) 3ième Étape : Périodicité (et réduction du domaine de d’étude ?) 4ième Étape : Calcul de la dérivée.
5ième Étape : Étude du signe la dérivée.
6ième Étape : Tableau de variation.
7ième Étape : Limites aux bornes du domaine de définition.
8ième Étape : Branches infinies et asymptotes.
Méthode 1(Étude de fonction.)
Étude de la parité. Soit la fonction définie surRparfpxq “cosp2xq `cosp3xq.
• Ici cosp2xqet cosp3xqsont respectivementπ-périodique et 2π
3 -périodique.
• On déterminer la période "commune" . On obtient quef est 2π-périodique.
• On réduira l’intervalle d’étude à un intervalle de longueur 2π.
• Attention : plutôt que r0,2πson choisirar´π, πs. En effet, ici la fonction est paire. On peut réduire l’intervalle symétrique r´π, πsa r0, πspuis l’on déduira le reste de la représentation par symétrie par rapport àp0yq.
Méthode-exemple 2 (Périodicité)
On peut parfois étudier certaines (in)-équations par décomposition en fonction de référence : Par exemple l’étude de ´3
?x2`16`1ď2
5, sur l’intervaller3;`8r.
Méthode-exemple 3 (Décomposition en fonction de référence : (in)-équation)
On peut résoudre des inéquations par des études de fonction. Voir exercice 8.
Méthode-exemple 4 (Étude de fonction et inéquation)
Pour|3x´5| “ |5x´3|
‚1ier cas : 3x´5“5x´3ôx“ ´1.
‚2ième cas : 3x´5“ ´p5x´3q ôx“1.
Soit donc deux solutions :S“ t´1; 1u
Méthode-exemple 5 (égalité et valeur absolue)
Pour|3x´5| ď |5x´3|
Comme ce sont des nombres positifs, on résout :
|3x´5| ď |5x´3| ď0ô p3x´5q2ď p5x´3q2ô0ď16x2´16
Soit maintenant, on étudie le polynôme du second degré soit on remarque : 16x2´16“16px´1qpx`1q Puis tableau de signe.
Méthode-exemple 6 (égalité et valeur absolue)
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