FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – Chapitre 1 Page 1
Chapitre I : Fonctions et optimisation
I- Études de fonctions 1) Définitions
Définition 1 : Une fonction est un procédé pour lequel chaque élément de l’ensemble de départ (un ensemble de nombre) est associé à un unique élément de l’ensemble d’arrivée (lui aussi un ensemble de nombres). Si la fonction est notée
et le nombre de l’ensemble de départ , le nombre associé à est appelé image de et noté ().
Graphe d’une fonction (ou représentation graphique) : Définition 2 : Soit une fonction définie sur un intervalle ; . On appelle graphe de l’ensemble noté des points de coordonnées ( ; ) telles que ∈ ; et = ().
Définition 3 : Soit une fonction.
On dit que est croissante sur un intervalle si pour tous éléments et de l’intervalle tels que ≤ alors () ≤ ().
On dit que est décroissante sur un intervalle si pour tous éléments et de l’intervalle tels que ≤ alors () ≥ ().
Exemple 1 : Une société de maintenance informatique propose un forfait de 50 € par mois et facture chaque heure d’intervention 20€ (au lieu de 30€ sans forfait).
La fonction qui associe à la durée d’intervention (en heures) le prix total est donnée par :
() = 20 + 50.
La fonction est croissante (ce qui paraît logique au vu de la situation).
2) Log – Exponentielle – Puissance a. Fonction log
La fonction ln() est définie, continue et strictement croissante sur 0; +∞.
Propriété 1 :
Pour tous réels et strictement positifs, on a :
1) ln(1) = 0
2) ln( × ) = ln() + ln() 3) ln !1
" = − ln() 4) ln !
" = ln() − ln() 5) ln(%) = × ln() 6) ln'√) =1
2 ln()
FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – Chapitre 1 Page 3 Exemple 2 :
Utiliser les formules précédentes pour simplifier les nombres suivants :
* = ln 8 + ln 5 − ln 4 , = 2 ln 4 − 3 ln 2 = ln(2√2)
- = ln(√5 − 2) + ln(√5 + 2) . = ln(3 + 2√2) + ln(3 − 2√2)
b. Fonction exponentielle La fonction exp() ou 23 est définie,
continue et strictement croissante sur
−∞; +∞.
Propriété 2 :
Pour tous réels et , on a : 1) exp(0) = 1 et exp(1) = 2 ≈ 2,718 Ou encore 27= 1 et 2= 2
2) exp( + ) = exp () × exp () Ou encore 238%= 23× 2% 3) exp(−) = 1
exp () ou encore 2=3= 1 23 4) exp( − ) =exp()
exp() ou encore 23=%=23 2% 5) exp() = exp ()% ou encore 23%= (23)%
Exemple 3 : 1) Utiliser les formules précédentes pour simplifier les écritures suivantes : a) * =(2?)× 2?
2@× 2 b) ,() = 2?3=× 2=3 c) () =23A8?3=
2?3= × '2=3A) d) -() =(238)?× (2?38)
(238)C
2) (**) Étudier la parité des fonctions et D définies sur ℝ par : () = 23
(23+ 1) et D() = 23 (23+ 1)
c. Lien entre les fonctions exp et log Les fonctions exp et ln sont dites réciproques
l’une de l’autre, on dit que l’une est la
« bijection réciproque » de l’autre.
On a l’équivalence : Ge3=
∈ ℝ ⇔ I = ln() ∈ 0; +∞
Conséquence :
Pour tout réel ,ln(e3) = Pour tout réel > 0, eKL(3)=
Dans un repère orthonormé, les courbes des fonctions ln et exp sont symétriques par rapport à la droite d’équation = , c’est-à- dire la première bissectrice du repère.
d. Généralisation
Grâce aux deux fonctions ln et exp, il est possible de définir d’autres fonctions : La fonction 3 (où > 0) : elle est appelée fonction exponentielle de base . On note expM() = 3
Pour tout réel , 3= 23NO(M)
La fonction logM() (où > 0) : elle est appelée fonction logarithme de base . Pour tout réel > 0, logM() =ln
ln Remarques :
1) La fonction exp n’est autre que la fonction exponentielle de base 2 et, de la même façon, la fonction ln est la fonction logarithme en base e.
2) La fonction logM() possède les mêmes propriétés calculatoires que la fonction ln.
3) La fonction 3 possède les mêmes propriétés calculatoires que la fonction exp.
Exemple 4 :
1) Utiliser les formules précédentes pour simplifier les écritures suivantes :
* = log8 + logS4 − ln 1 , = logC5T+ logS(4 × 16) = log30 − log5 - = 2 log730 − log79
2) Résoudre les équations et inéquations suivantes :
ln = 3 23= 5 23= 10 log34 = 2 2?3= 4 238?= 1 ln(2 − 3) = 5 ln( + 3) ≤ 0 ln() + ln 3 = ln ( + 3) log@ = 1 33= 15 103= 1000 ln(2) = 2 ln 2?3= 22C3 238> 1 2?3< 23= 2C3= > 0
FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – Chapitre 1 Page 5 II- Dérivées d’une fonction
1) Dérivée première a. Définition
Définition 4 : Soit une fonction définie sur un intervalle et 7 un réel appartenant à .
On dit que la fonction est dérivable en 7 si la limite lorsque tend vers 7 du rapport (3)=(3W) 3=3W existe et est égale à un nombre réel ℓ.
Ce nombre réel ℓ est appelé nombre dérivé de Y en 7 et noté Z(7).
La fonction définie sur qui à tout nombre réel ∈ associe le nombre dérivé Z() est appelée fonction dérivée première de et notée ′.
Remarque : En d’autres termes, la dérivée première de la fonction indique comment () évolue lorsque varie de façon infinitésimale. Le nombre dérivé correspond à un taux de variation ou taux d’accroissement.
b. Illustration graphique
Définition 5 : Soit une fonction définie sur un intervalle et 7 un réel appartenant à .
Soit la courbe représentative de dans un repère (O, ]^, _^) du plan et A le point de d’abscisse 7. Si est dérivable en 7, alors la tangente à la courbe au point A est la droite passant par A et de coefficient directeur Z(7).
Cette tangente a pour équation : = Z(7)( − 7) + (7).
Théorème 1 :
Soit une fonction dérivable sur un intervalle .
1) Si Z() ≤ 0 pour tout réel de , alors la fonction est décroissante sur . 2) Si Z() ≥ 0 pour tout réel de , alors la fonction est croissante sur .
c. Formulaires
Pour calculer la dérivée d’une fonction, il est très pratique d’utiliser les formulaires ci-dessous : Formulaire des fonctions usuelles :
() ′()
` (où ` est une constante) O (a entier)
1
√ ln()
23
Formulaire des opérations :
() ′()
` × b (où ` est une constante) b + c
b × c c1 bc
√b ln(b)
2d bO (b)
FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – Chapitre 1 Page 7 Exemple 5 :
En reprenant l’exemple 1, Z() = 20.
Cela signifie que le prix augmente de 20 € pour chaque heure d’intervention supplémentaire.
Ce qui correspond à la définition du coût marginal (voir le paragraphe IV).
Exemple 6 :
Calculer, à l’aide des formulaires, la dérivée des fonctions suivantes :
1) () = + 5 + 3 2) () = 1
3 + 2 3) () = ln
4) () = 23− ln + 3√
5) () =+ 2 − 5 3 + 4
6) () = (3 + 1)C 7) () = 23+ 2 8) () = 2C3A8?
9) () = 1 (2 − 5)? 10) () = ln(+ 1) 11) () = e+ 3 + 1 2) Dérivée seconde
a. Définition
Définition 6 : Soit une fonction définie sur un intervalle I.
Si la fonction est deux fois dérivable sur , la dérivée seconde de est la dérivée de la dérivée première ′. On la note ′′.
Remarque : En d’autres termes, la dérivée seconde de la fonction indique comment ′() évolue lorsque varie de façon infinitésimale. La dérivée seconde correspond au taux de variation de la dérivée première.
Théorème 2 :
Soit une fonction deux fois dérivable sur un intervalle .
1) Si Z′() ≤ 0 pour tout réel de , alors la fonction ′ est décroissante sur : on dit que la fonction est concave sur .
2) Si Z′() ≥ 0 pour tout réel de , alors la fonction ′ est croissante sur : on dit que la fonction est convexe sur .
Remarque : Une fonction convexe est une fonction qui décroît de moins en moins vite ou qui croît de plus en plus vite. Une fonction concave est une fonction qui croît de moins en moins vite ou qui décroît de plus en plus vite.
Exemple 7 : Démontrer les propositions suivantes : 1) La fonction carré est convexe.
2) La fonction ln est concave.
3) La fonction exp est convexe.
b. Illustration graphique
Remarque : La courbe d’une fonction convexe est située en-dessous ses cordes et au-dessus de ses tangentes. La courbe d’une fonction concave est située au-dessus de ses cordes et en-dessous de ses tangentes.
Exemple 8 :
1) Étude de la fonction () = ln sur 0; +∞. Z() = ln + 1 puis ZZ() =3> 0, la fonction est donc convexe.
2) Étude de la fonction () = ? sur −∞; +∞. Z() = 3 puis ZZ() = 6, la fonction est donc concave sur −∞; 0 puis convexe sur 0; +∞. Elle présente en 0 ce que l’on appelle un point d’inflexion : la fonction est croissante mais sa croissance présente un ralentissement jusqu’en 0 puis une accélération à partir de 0.
FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – Chapitre 1 Page 9 III- Optimisation
1) Définition
Définition7 : Soit une fonction définie sur un intervalle I et 7∈ .
On dit que admet un maximum global (respectivement un minimum global) en 7 si, pour tout ∈ , () ≤ (7) (respectivement () ≥ (7)).
Un extremum global est un maximum global ou un minimum global.
Définition 8 : Soit une fonction définie sur un intervalle I et 7∈ .
On dit que admet un maximum local (respectivement un minimum local) en 7 s’il existe > 0 tel que, () ≤ (7), pour tout 7− ; 7+ , (respectivement () ≥ (7)).
L’intervalle 7− ; 7+ est appelé voisinage de 7
Un extremum local est un maximum local ou un minimum local.
Sur le graphique ci-dessus, on observe que admet un maximum global en 7, un minimum local en
et un maximum local en .
2) Recherche d’extremum Théorème 3 :
Soit une fonction définie sur un intervalle I et 7∈ .
Si admet un extremum local en 7 et si Z(7) existe alors Z(7) = 0.
Remarque : Attention, la réciproque est fausse en général. En effet, une fonction dont la dérivée s’annule en 7 n’admet pas forcément un extremum en 7. Pour le visualiser, il suffit de reprendre l’exemple de la fonction cube à la page 8…
En résumé, Si admet un extremum local en 7 alors Z(7) = 0 (condition nécessaire) mais la condition Z(7) = 0, seule, ne suffit pas pour affirmer que admet un extremum local en 7 (ce n’est pas une condition suffisante).
Un tel point est appelé point critique ou point stationnaire.
Afin de déterminer si la fonction admet un extremum local au point où la dérivée s’annule, il est nécessaire d’effectuer l’un des tests suivants :
Test de premier ordre :
Soit 7 un point critique de , c’est-à-dire tel que Z(7) = 0. S’il existe un réel > 0 tel que :
1er cas :
Z() < 0 si 7− < < 7
Z() > 0 si 7< < 7+ h alors admet un minimum local en 7
7− 7 7+ Z() − 0 +
() (7) 2ème cas :
Z() > 0 si 7− < < 7
Z() < 0 si 7< < 7+ h alors admet un maximum local en 7 7− 7 7+ Z() + 0 −
()
(7)
Test de second ordre :
Soit 7 un point critique de , c’est-à-dire tel que Z(7) = 0. Si ZZ(7) < 0 alors admet un maximum local en 7. Si ZZ(7) > 0 alors admet un minimum local en 7.
FA Vaz – DUT GEA CHAM1 – M 12 05 – Chapitre 1 Page 11 Exemple 9 :
Étudier les éventuels extremums des fonctions : 1) () = −3+ 12 + 5
2) D() = ?− 2+ − 7.
IV- Applications
1) Coûts, revenus, bénéfices
Quelques définitions :
Le coût total, noté CT, est la somme de tous les coûts liés à la production :
• Les coûts fixes, notés CF, sont non proportionnels à l’activité (coût d’acquisition du matériel de production par exemple)
• Les coûts variables, notés CV, sont fonctions du niveau de production (consommation de matière première, énergie, …)
On note alors CT=CF+CV
Le coût moyen, noté CM, est le coût total par unité produite : CM() =lm(3)3 où est la quantité d’unités produites. Le coût moyen est aussi appelé coût unitaire.
Le coût marginal, noté Cn, est le supplément de coût induit par la production d’une unité supplémentaire : Cn() = CT( + 1) − CT().
Dans le cas (très fréquent) où le coût total CT est une fonction continue et dérivable de la quantité produite , le coût marginal est donné par la relation : Cn() =plm(3)p3 = CTZ()
Le revenu, noté R, provient des ventes de l’entreprise.
Le revenu marginal, noté Rn, est le supplément de revenu induit par la production et la vente d’une unité supplémentaire : Rn() = R( + 1) − R().
Dans le cas (très fréquent) où le revenu R est une fonction continue et dérivable de la quantité produite , le revenu marginal est donné par la relation : Rn() =pr(3)p3 = RZ()
Enfin, les bénéfices (ou profits) de l’entreprise, notés B, découlent des revenus R déduction faite des coûts liés à la production CT : B = R − CT
Propriété 3 :
La quantité optimale à produire afin de minimiser le coût moyen de production correspond à une quantité pour laquelle le coût moyen est égal au coût marginal : CM() = Cn()
La quantité optimale à produire afin de maximiser le profit total correspond à la quantité pour laquelle le revenu marginal est égal au coût marginal : Rn() = Cn()
Exemple 10 :
Une entreprise fabrique unités chaque mois (exprimée en milliers pour éviter les grands nombres).
Le coût total mensuel de production, exprimé en milliers d’euros, est donné par : t() = 5− 2 + 20
Chaque unité produite est vendue 15€ et on considère que toute la production est vendue.
1) Pour quelle quantité produite l’entreprise minimise-t-elle son coût moyen ? 2) Quelle est la valeur de ce coût moyen minimum ?
3) Exprimer les revenus mensuels puis les bénéfices mensuels de cette entreprise.
4) Pour quelle production l’entreprise maximise-t-elle ses bénéfices ? 5) Quel est ce bénéfice maximal ?
2) Élasticité
L’élasticité désigne la possibilité de variation relative d’un phénomène par rapport à un autre.
En économie et gestion, on étudie la variation relative d’une variable par rapport à une autre, plus précisément, le rapport de cause à effet qui unit deux variables.
Ainsi, l’élasticité de la demande mesure le degré de sensibilité de la demande d’un bien (ou d’un service) aux variations de son prix de vente (élasticité-prix), ou encore, aux variations des revenus des consommateurs (élasticité-revenu).
L’élasticité de l’offre mesure le degré de sensibilité de la production en volume aux variations des prix.
Plus l’élasticité est forte en valeur absolue, plus l’intensité de la relation de cause à effet est élevée, c’est-à-dire qu’une faible variation de la cause a des effets très importants.
Les élasticités n’ont pas d’unité.
Soit avec Q la quantité de bien demandé (ou la quantité de bien produit) et P le prix du bien, on a :
e = variation relative de la demande (ou de lZoffre) variation relative du prix (ou dZuneautre variable) =
∆PP
=∆Q
∆P ×P Q
Propriété 4 :
Si la demande (ou l’offre) Q est liée au prix du bien P par la fonction Q = (P) et si est continue et dérivable, alors l’élasticité est définie par :
e = ′(P) ×P Q
Exemple 11 :
zachant que la demande Q est définie par : (P) = 0,7 ×10C
P : (P) = 0,7 ×10C 1) Tracer la courbe de . P
2) Comment évolue la demande si le prix augmente de 1% ? 3) Calculer l’élasticité de .
Reprendre les mêmes questions avec la fonction : D(P) = 0,7 ×10C P
Mis en forme : Normal, Sans numérotation ni puces Mis en forme : Police :+Titres (Cambria), 12 pt
