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228 : CONTINUITE ET DERIVABILITE DES FONCTIONS REELLES D'UNE VARIABLE REELLE – Ex & C-ex I. Propriétés locales

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Academic year: 2022

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228 : CONTINUITE ET DERIVABILITE DES FONCTIONS REELLES D'UNE VARIABLE REELLE – Ex & C-ex

I. Propriétés locales [RDO3][G2][TM]

1. Continuité

cont, cont à g/d, carac topo/séquentielle/par l'oscillation - composition – ex, c-ex

2. Dérivabilité

der, der à g/d – composition, inverse - => cont, rec fausse – ex, c-ex

II. Propriétés globales [RDO3][G2][TM]

1. Fonctions continues sur un intervalle

def, ex, c-ex – Th Heine - TVI

2. Fonctions dérivables sur un intervalle

def, ex, c-ex – Th Rolle - TAF

3. Fonctions de classe C

n

def, ex,c-ex – formule de Leibniz – Formules de Taylor

III. Résultats de densité [TM][ZQ] - [G2][Br]

1. Ensemble de continuité ou discontinuité

monotone => {pt disc} a.p.d. - existe f cont sur R\Q, disc sur Q, pas le contraire – fct° de classe 1ère : {pts de cont} dense, cor : f '

2. Approximation

{f cont nulle part der} dense dans C – Th Weierstrass C

c

dense ds L

p

IV. Fonctions définies par ∑ ou ∫ [RDO4][G2] - [FaC]

1. Série

th de continuité et derivabilité

2. Intégrale

th de continuité et derivabilité

Biblio :

Ramis Deschamps Odoux ( 3:analyse et 4:séries ) Gourdon (analyse)

Tissier Mialet Zuilly Queffelec Brézis

Faraut

Développements :

15 – Théorème de Weierstrass

30 – Continuité d'une fonction de classe première

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