3ème CALCUL et FONCTIONS COURS-Ex

3ème CALCUL et FONCTIONS COURS-Ex

JF Ferraris – 3ème – Calcul et fonctions – Cours et exercices – page 20

2.2 Développement : distributivité

Exemple d’approche

Imaginons le serveur d’un restaurant prenant la commande de la part d’une table de trois clients.

Chacun d’eux souhaite des crudités (c), un steak-frites (s) et une glace (g).

Le serveur a deux possibilités pour noter (ou retenir) ces commandes identiques : 3×(1c+1s+1g) ou alors 3c + 3s + 3g

forme factorisée forme développée un terme de deux facteurs trois termes Ces deux façons d’exprimer la commande sont équivalentes, elles sont égales.

D’une manière générale, on dit qu’il y a distributivité de la multiplication sur l’addition :

( )

a× + = × + ×b c a b a c Exemples :

( )

3 x+ =2 3x+6 ^5a+20=5

(

^a+4

) (

^{7 2+ y}

)

^{× = +5 35 10y}

( )

3 x− =2 3x−6 ^{− +5a 20= − +5}

(

^{a 4}

) (

^{7 2− y}

) ( )

^{× − = − +5 35 10y}

(

²

)

^{2 2}

x x− = −x x ^{x2+6x=x x}

(

⁺⁶

) (

^{− +7 2y}

)

^{× = − +5 35 10y}

Double distributivité

Lorsqu’une somme multiplie une somme, on peut faire une décomposition complète :

(

^{3 7 2}+

)(

+ = × + + × + = × + × + × + ×⁵

)

³

(

^{2 5}

)

⁷

(

^{2 5}

)

3 2 3 5 7 2 7 5

En effet :

(

^{3 7 2+}

)(

^{+ = × =5}

)

^{10 7 70} et 3 2 3 5 7 2 7 5× + × + × + × = +6 15 14+ +35=70

(

^{a+b c}

)(

^+d

)

^{=ac+ad+ +bc bd}

Exemples :

(

^x+3

)(

^{x+ = +2}

)

^{x2 2x+3x+ = +6 x2 5x+6}

(

^2−x

)(

^{y+ =4}

)

^{2y+ − −8 xy 4x}

(

^x−3

)(

^{x− = − −2}

)

^{x2 2x 3x+ = −6 x2 5x+6}

(

^x−2

)(

^{y+ = − − +4}

)

^{2y 8 xy+4x}

( )( )

2 2

3 2 5 6 3 5 3 6 2 5 2 6

3 5 3 6 2 5 2 6

15 18 10 12

15 28 12

x x x x x x

x x x x

x x x

x x

+ + = × + × + × + ×

= × × × + × × + × × + ×

= × + × + × +

= + +

Réduction

Comme on a pu le voir dans certains exemples ci-dessus, un développement s’accompagne d’un regroupement des termes de même nature, aussi appelé réduction.

Il s’agit de cumuler ces termes en un seul : les termes constants, ceux « en x », ceux « en x² », etc.

Exemple : ^{x2+2x− +5 7x+ + =x2 3}

(

^x2+x2

)

⁺

⁽

^2x+7x

^{) (}

^{+ − + =5 3}

⁾

^2x2+9x−2

Exercices : développer

2.2.1 ⁷

(

²

) (

^{4 2 3}

)

^{; 7}

(

²

) (

^{6 2}

)

^{; 1}

(

¹

)

^{; 4 2 3}

x x x x x x  a 2

− − − − − − − −  − 

 

2.2.2

(

^{3x−1 2}

)(

^x−5

)

^{; 4 3}

(

^x−2

)

^_2^x+1_ ^;

(

^3x+1

)

^{2 ;}

(

^1−x

)(

^{1 2− x}

)(

^{1 3− x}

)