3ème CALCUL et FONCTIONS COURS-Ex
JF Ferraris – 3ème – Calcul et fonctions – Cours et exercices – page 7 1.6 Proportionnalité
1.6.1 Activités
Exemple d’approche 1
L’échelle d’un plan est le rapport entre une dimension sur le plan et celle qui lui correspond dans la réalité. On la calcule par : plan
réel
éch d
= d et on l’exprime sous le forme 1
éch=n où n est le facteur d’échelle.
1. Une maison mesure 16 mètres de longueur et son plan montre une longueur de 32 cm. Quelle est l’échelle du plan ?
2. Dans le plan précédent, combien mesurerait sa largeur si la valeur réelle est 12 mètres ?
1. dplan = 32 cm et dréel = 1600 cm (toujours dans la même unité !). Donc éch = 32/1600.
Comme 1600/32 = 50, on donne l’échelle sous forme : éch = 1/50e.
2. La réalité est 50 fois plus grande que le plan. Donc la largeur sur le plan est 1200 cm / 50 = 24 cm.
Exemple d’approche 2
Le dosage est une opération de mesures qui intervient :
- en chimie (choix des quantités à mettre en présence pour une réaction, dosage en mol.L-1), - pour les relevés de pollution (taux d’ozone dans l’atmosphère basse = 200 ppm – parties par
million)
- engrais industriels (engrais à 30% de phosphates – 300 L par m3 d’engrais), carburants, … - béton (dosé à 350 kg par m3 de béton)
- vinaigre titré à 8° (masse d’acide éthanoïque = 8% de la masse totale) - recette de cuisine (250 g de farine pour 6 personnes)
- etc.
1. Je dois préparer 150 L d’engrais dosé à 32% de phosphates. Combien de litres de phosphates utiliser ?
2. Ma recette indique 240 g de farine pour 6 personnes. Combien de farine faut-il prévoir pour 8 personnes ?
1. Il faut 32 L de phosphates pour 100 L d’engrais. 150 L d’engrais représente une fois et demie la quantité précédente. Il faut donc rajouter la moitié de 32 L.
Pour 150 L d’engrais, on doit utiliser 48 L de phosphates.
Comme 1600/32 = 50, on donne l’échelle sous forme : éch = 1/50e.
2. 8 personnes représente 6 plus un tiers de 6. Il faut donc prévoir un tiers de farine en plus : 240 + 1/3 de 240 = 240 + 80 = 320. Il faut 320 g de farine.
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JF Ferraris – 3ème – Calcul et fonctions – Cours et exercices – page 8 1.6.2 Définitions
Listes proportionnelles
Une liste L est un ensemble de valeurs citées dans un ordre bien précis.
On souhaite comparer deux listes A = (a1, a2, …, an) et B = (b1, b2, …, bn) formées du même nombre de termes (ici : « de longueur n »), tous non nuls.
Par définition, dire que deux listes A et B sont proportionnelles, c'est dire que pour tout entier i compris entre 1 et n le rapport bi/ai est constant.
Notons "c" ce rapport unique, lorsqu'il existe, et appelons-le "coefficient de proportion(nalité) de A vers B", nombre par lequel il faut multiplier les valeurs de A pour obtenir celles de B.
Exemple : Vérifier que les listes A = (2, 4, 6, 10, 15, 20) et B = (7, 14, 21, 35, 52,5, 70) sont proportionnelles.
Grandeurs proportionnelles
On peut aussi parler de proportionnalité sans citer de valeurs, mais en parlant plus généralement de quelque chose qui pourrait se mesurer (des grandeurs) et en les comparant entre elles.
Par exemple : le périmètre et le diamètre d’un cercle sont proportionnels.
Le coefficient de proportionnalité est π.
En effet : quel que soit le cercle, le périmètre vaut π x son diamètre La notion de grandeurs proportionnelles s’associe à une formule.
Dans l’exemple précédent, on écrira la formule générale : p = π x d 1.6.3 Formules rectangulaires
Les formules rectangulaires montrent l’égalité de deux fractions, a c
b=d, b et d non nuls.
Elles font donc état d’une proportion respectée entre les listes (a, b) et (c, d) de longueur 2.
Dans ce cas, on a par équivalence l’égalité des produits en croix :
ad = bc
.Mais on peut aussi placer ces quatre nombres dans un tableau de proportion et considérer de façon mécanique que chaque trait intérieur de ce tableau peut représenter un trait de fraction :
a c
b=d permet la notation a c b d , qui entraîne les égalités : a b b d c d
c =d, a = c, a = b
1.6.4 Proportion et représentation graphique
Deux listes de valeurs peuvent donner lieu à une représentation graphique (page suivante) :
en plaçant les valeurs de la première liste sur un axe horizontal et celles de la seconde sur un axe vertical, on positionne un point sur le plan pour chaque couple de valeurs rencontré.
Dans le premier exemple ci-dessous, on obtient six couples : (2 , 7), (4 , 14), etc. qui se traduisent graphiquement par six points (en rouge).
À partir de l’exemple 2, on obtient de même cinq points (en bleu).
On observe alors que l’ensemble des points issus de deux listes proportionnelles se trouve sur une même droite, et que cette droite contient aussi l’origine de notre repère.
Cette observation est une propriété de la proportionnalité : - elle est vraie pour tout couple de listes proportionnelles - elle n’est vraie que pour des listes proportionnelles
...
1 2 3
1 2 3
n n
b
b b b
a =a =a = =a
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JF Ferraris – 3ème – Calcul et fonctions – Cours et exercices – page 9 Exercices
1.6.1 Compléter le tableau suivant constitué de deux listes proportionnelles
14 35 42 1
10 35 1 45
1.6.2 Lesquels sont des tableaux de proportionnalité ?
a. 2 20 b. 20 1 c. 8,5 5,5
5 50 10 2 34 22
d. 2 5 e. 2 4 10 20 50
20 50 14 28 70 140 350
1.6.3 Un producteur de cerises vend pour 22 € sa caisse de 12 kg.
a. À l’aide d’un tableau de proportion, dire combien il vendrait une caisse de 5 kg.
b. Il a estimé son bénéfice à 0,25 €/kg. Quelle quantité devra-t-il vendre pour en retirer un bénéfice de 1000 € ?
1.6.4 a. Un taille-haies mesure 0,80 m pour une puissance de 2 cv ; un autre mesure 1,10 m pour une puissance de 3 cv. Puissance et longueur sont-elles proportionnelles ?
b. Un taille-haies mesure 0,80 m pour une puissance de 2 cv ; puissance et longueur sont proportionnelles. Calculer la puissance d’un taille-haies mesurant 1 m.
1.6.5 Un employé est payé en fonction du temps de travail comme l’indique le tableau ci-contre :
a. Est-ce un tableau de proportionnalité ? pourquoi ?
b. Calculer le salaire correspondant à 85 h 30 min de travail.
c. Calculer le temps de travail nécessaire pour obtenir un salaire de 1 755 € ; exprimer le résultat en heures minutes.
1.6.6 Afin de monter une petite entreprise, trois amis, Paul, François et Marc ont besoin de 200 000 €. Ils décident d’investir respectivement 94 000 €, 61 000 € et 45 000 €. Au bout d’un an ils réalisent un bénéfice total de 75 000 € qu’ils se partagent proportionnellement à leurs investissements.
Calculer la part de chacun.
1.6.7 Trois vendeurs ont reçu chacun une prime, proportionnelle au montant des ventes qu’ils ont réalisées dans le mois. Le vendeur A a vendu pour 12 000 € , le vendeur B pour 8 000 € et le vendeur C pour 11 000 €. Sachant que le vendeur B a reçu 200 € de moins que le vendeur A, calculer le montant de chaque prime.
Temps (h) 1 10 50 Salaire (€) 12 120 600
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JF Ferraris – 3ème – Calcul et fonctions – Cours et exercices – page 10 1.6.8 On veut réaliser une maquette de la ville de Paris avec ses monuments principaux.
On dispose d'une maquette de la Tour Eiffel de 30 cm de haut (hauteur réelle : 300 m).
a. Quelle sera l'échelle de la maquette ?
b. Sachant que Paris mesure d'est en ouest 12 km, quelle sera la taille de la maquette de la ville ? c. Quelles seront les dimensions de la maquette de l'Arc de Triomphe sachant qu'elles sont en réalité
de 55m × 50m × 20m ?
d. La place de l'Etoile est circulaire et mesure 200 m de diamètre. Les aires des places réelles et maquette respectent-elles le facteur d'échelle ? Pourquoi ?
1.6.9 Le prix d'un diamant est proportionnel au carré de son poids. Un diamant de 0,45 g vaut 3 000 €.
a. Combien coûte un diamant de 0,693 g ?
b. Quel est le poids d'un diamant valant 30 000 € ?
1.6.10 Dire que deux grandeurs x et y sont proportionnelles, c'est dire que le rapport y/x est constant.
Notons donc y/x = K. Nous avons ainsi la possibilité de calculer y pour chaque valeur de x : y = Kx.
Graphiquement, l'ensemble des points (x, y) obtenus est une droite qui contient l'origine.
Placer les points correspondant au tableau de l’exercice 1.6.1, puis en déduire un tracé de la droite :
