3ème CALCUL et FONCTIONS COURS-Ex JF Ferraris – 3ème – Calcul et fonctions – Cours et exercices – page 18

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3ème CALCUL et FONCTIONS COURS-Ex

JF Ferraris – 3ème – Calcul et fonctions – Cours et exercices – page 18

2 Calcul littéral

2.1 Rappels

2.1.1 Nombres relatifs et règle des signes

On appelle nombres relatifs les nombres positifs ou négatifs.

Exemples : 2 –5 4,8 –12,45

La valeur absolue d’un nombre relatif est sa valeur sans tenir compte de son signe.

Exemples : les valeurs absolues des quatre nombres ci-dessus sont 2, 5, 4,8 et 12,45.

Deux nombres relatifs de signes contraires et de même valeur absolue sont dits opposés.

Exemples : 3 et –3 sont opposés (–3 est l’opposé de 3 et 3 est l’opposé de –3).

(0 est son propore opposé : –0 = 0)

On peut bien sûr effectuer tout calcul avec des nombres relatifs, à commencer par les quatre opérations de base : l’addition, la soustraction, la multiplication et la division.

Pour bien décrire les mécanismes de ces opérations, on aura parfois recours (ci-dessous) à des notations entre parenthèses : (+a) au lieu de a et (–a) au lieu de –a.

Addition et soustraction

Ces deux opérations sont équivalentes, dans l’ensemble des nombres relatifs : soustraire, c’est ajouter l’opposé.

Soit deux nombres a et b. On a alors :

a + (+b) = a + b a – (+b) = a – b a + (–b) = a – b

« ajouter une perte, c’est enlever »

a – (–b) = a + b

« enlever une perte, c’est ajouter » Exemples :

5 + (+3) = 5 + 3 = 8 5 – (+3) = 5 – 3 = 2 5 + (–3) = 5 – 3 = 2 5 – (–3) = 5 + 3 = 8

Une succession d’additions et de soustractions peut être effectuée dans l’ordre de notre choix :

( )

2 5 7− + − − = + − + = + − + = + + − =1 2 7 5 1 7 1 5 2 1 2 7 5 etc.

Multiplication et division

Ces deux opérations sont équivalentes, dans l’ensemble des nombres relatifs… si on met le cas de 0 à part : diviser, c’est multiplier par l’inverse.

Exemple : « la moitié de 100 » peut être vu comme 100 2÷ =50 ou comme 1

100 50

× =2 . Ci-dessous, nous ne travaillerons pas sur des questions d’inverses, mais ce qui vient d’être montré nous fera admettre que les règles de calcul de ces deux opérations sont les mêmes, sur les nombres relatifs.

Soit deux nombres a et b. On a les règles des signes suivantes :

( ) ( )

^{+ × + = ×}^a ^b ^a ^b

( ) ( )

− × + = − ×^a ^b ^a ^b

( ) ( )

+ × − = − ×^a ^b ^a ^b

( ) ( )

^{− × − = ×}^a ^b ^a ^b

Ces règles sont identiques pour la division (b non nul) :

( ) ( )

^{+ ÷ + = ÷}^a ^b ^a ^b

( ) ( )

− ÷ + = − ÷^a ^b ^a ^b

( ) ( )

+ ÷ − = − ÷^a ^b ^a ^b

( ) ( )

^{− ÷ − = ÷}^a ^b ^a ^b

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JF Ferraris – 3ème – Calcul et fonctions – Cours et exercices – page 19 Exemples :

( ) ( )

+ × + = × =⁶ ³ ^{6 3 18}

( ) ( )

− × + = − × = −⁶ ³ ^{6 3} ¹⁸

( ) ( )

+ × − = − × = −⁶ ³ ^{6 3} ¹⁸

( ) ( )

− × − = × =⁶ ³ ^{6 3 18}

Attention :

( )

^{− − = −}⁶ ³ ⁹ : addition de deux nombres négatifs, résultat négatif

( ) ( )

^{− × − =}⁶ ³ ¹⁸ : multiplication de deux nombres négatifs, résultat positif

( ) ( )

+ ÷ + = ÷ =⁶ ³ ^{6 3} ²

( ) ( )

− ÷ + = − ÷ = −⁶ ³ ^{6 3} ²

( ) ( )

+ ÷ − = − ÷ = −⁶ ³ ^{6 3} ²

( ) ( )

− ÷ − = ÷ =⁶ ³ ^{6 3} ²

Une succession de multiplications et de divisions peut être effectuée dans l’ordre de notre choix : 10 2 4÷ × = × ÷ = ÷ ×10 4 2 4 2 10= × ÷ =4 10 2 etc.

2.1.2 Priorités des opérations

Un calcul impliquant plusieurs nombres (plusieurs = au moins trois) et les deux catégories d’opérations ne peut pas être mené « dans le désordre » ; de même que sur la route la priorité à droite est une règle, il existe des priorités en calcul.

Priorité des multiplications/divisions sur les additions/soustractions

Dans un calcul faisant intervenir les deux types d’opérations, les multiplications et divisions doivent être effectuées d’abord.

Exemples :

1 4 2 3 1 8 3+ × − = + − =6 ^{1 4}+ × − − − = − + = −

( ) ( )

² ³ ^{1 8 3} ⁴

3 5 3 15 3 12× − = − = 1 4 2 3 1 2 3+ ÷ − = + − =0 Erreurs classiques : ^{1 4 2 3}+ × − = × − = −⁵

( )

¹ ⁵

3 5 3× − = × =3 2 6

Cette règle de priorité nous conduit à bien regarder la structure d’un calcul dès qu’il est posé : un calcul se compose de termes (blocs additionnés ou soustraits entre eux) ;

les termes sont composés de facteurs (nombres multipliés ou divisés entre eux).

Exemples :

( ) ( )

1+ − × − − ÷4 2 9 3 a. on repère les termes :

( ) ( )

1+ − × − − ÷4 2 9 3 b. on multiplie les facteurs :

( ) ( )

1+ − − −8 3 c. on ajoute les termes :

1 8− + = −3 4

( ) ( ) ( )

60÷ − × − − × + −2 3 5 7 2 a. on repère les termes :

( ) ( ) ( )

60÷ − × − − × + −2 3 5 7 2 b. on multiplie les facteurs :

( ) ( ) ( )

⁻⁹⁰ ^{− −}³⁵ ^{+ −}²

c. on ajoute les termes :

90 35 2 57

− + − = − Priorité des calculs entre parenthèses (lorsqu’il y en a…)

Exemples

(

⁶+ − × × − +

( )

² ²

) ^{( )}

⁵ ^{20 4}÷

=

(

⁶+ − × × − +

( )

² ²

) ^{( )}

⁵ ^{20 4}÷

=

(

⁶^{+ −}

( )

⁴

)

^{× − + ÷}

( )

⁵ ^{20 4}

= ²^{× − + ÷}

( )

⁵ ^{20 4}

= ²^{× − + ÷}

( )

⁵ ^{20 4}

= 10 5− + = −5

Exercices

2.1.1 Calculer : a. 4 × (–6) b. 27 ÷ (–9) c. (–2) × (–8) d. (–4) × (–2) x 6 e. – (4 + 2) × (–6) 2.1.2 Calculer : a. (–4) ÷ 2 – (–4) × (–9) ÷ 3 b. (8 ÷ 2) ÷ 2 × 3 – 4 c. (5 + 3) × 2 × (4 ÷ 2 + 1)