4ème CALCUL COURS-Ex
6 1.6 Proportionnalité
Une liste est un ensemble de valeurs citées dans un ordre bien précis. On souhaite comparer deux listes
(
, , , , ...)
l= a b c d et L=
(
A B C D, , , , ...)
formées du même nombre de termes, tous non nuls.Dire que les deux listes l et L sont proportionnelles, c’est dire que tous les rapports calculables entre les
deux listes sont égaux : ...
A B C D
a = b = c = d =
Ce rapport unique est appelé coefficient de proportionnalité de l vers L.
Exemple 1 : Soit les listes l= (2, 4, 6, 10, 20) et L = (7, 14, 21, 35, 70). Sont-elles proportionnelles ? Calculons les rapports : 7
2=3,5 ; 14
4 =3,5 ; 21
6 =3,5 ; 35
10=3,5 ; 70 20=3,5. Les valeurs de L entretiennent avec celles de lle même rapport : 3,5.
Elles sont donc proportionnelles et le coefficient de proportionnalité de lvers L est 3,5.
On peut écrire L=3,5×l.
Une grandeur est une donnée variable qui peut se mesurer. Deux grandeurs peuvent être proportionnelles.
Exemple 2 : Une automobile roule à 80 km/h. La distance parcourue et le temps passé sont-ils proportionnels ?
Ici, distance et temps sont deux grandeurs pour lesquelles nous n’avons pas de valeurs.
Nous pouvons :
* soit créer quelques exemples et les représenter :
En une heure, la distance parcourue est 80 km, en deux heures 160 km, en trois heures 240 km, etc. Tableau :
temps de trajet (t, en h) 1 2 3
distance parcourue (d, en km) 80 160 240
Résultat général : il semble bien que, pour n’importe quelle durée t, la distance parcourue se calcule en multipliant t par 80. d et t sont proportionnelles et le coefficient de proportionnalité de t vers d est 80 : d =80×t.
* soit connaître la formule générale qui relie distance, vitesse et temps : d= ×v t.
On remarque que cette formule traduit immédiatement une situation de proportionnalité entre la distance et le temps, avec un coefficient de proportionnalité égal à v.
Lorsque les valeurs de deux grandeurs (ou de deux listes) proportionnelles sont positionnées dans un tableau, ce dernier est appelé tableau de proportionnalité.
Un tel tableau possède des propriétés remarquables :
* la multiplication/division d’une colonne par un nombre de notre choix donne une autre colonne,
* l’addition/soustraction de deux colonnes donne une troisième colonne,
* dans un groupe de deux colonnes, les produits en croix sont égaux.
2 4 6 10 20 1 2 3
7 14 21 35 70 80 160 240
2 × 14 = 7 × 4 (= 28) 1 × 240 = 80 × 3 (= 240)
col.2 + col.3 = col.4 col.3 – col.2 = col.1 col.1 + col.2 = col.3
5 × col.2 = col.5 3 × col.1 = col.3
× 5
× 5
× 3
× 3
4ème CALCUL COURS-Ex
7 Lorsqu’on a l’égalité de deux fractions : a c
b =d , on a l’égalité des produits en croix : ad = bc.
Mais on peut aussi placer ces quatre nombres dans un tableau de proportionnalité et considérer de façon mécanique que chaque trait intérieur de ce tableau peut représenter un trait de fraction : ,
qui entraîne les égalités : a b, c d, b d, a c c =d a =b a= c b =d . Exemple : 5 =2
20 8 équivaut à 5 × 8 = 20 × 2, 5=20
2 8 , 2= 8
5 20, 20 =8 5 2. L’égalité des produits en croix permet de trouver la quatrième proportionnelle :
si, dans un tableau de proportionnalité , les trois valeurs a, b et c sont connues, alors
b c d
a
= × .
Enfin, la représentation graphique d’un tableau de proportionnalité est une droite contenant l’origine.
Exemple : reprenons le tableau
2 4 6 10 20
7 14 21 35 70
Exercices
1) Compléter le tableau suivant constitué de deux listes proportionnelles
14 35 42 1
10 35 1 45
2) Lesquels sont des tableaux de proportionnalité ?
a. 2 20 b. 20 1 c. 8,5 5,5
5 50 10 2 34 22
d. 2 5 e. 2 4 10 20 50
20 50 14 28 70 140 350
3) On veut réaliser une maquette de la ville de Paris avec ses monuments principaux.
On dispose d'une maquette de la Tour Eiffel de 30 cm de haut (hauteur réelle : 300 m).
a. Quelle sera l'échelle de la maquette ?
b. Sachant que Paris mesure d'est en ouest 12 km, quelle sera la taille de la maquette de la ville ? c. Quelles seront les dimensions de la maquette de l'Arc de Triomphe sachant qu'elles sont en réalité de
55m × 50m × 20m ?
