4ème CALCUL COURS-Ex
10 1.8 Puissances
1.8.1 Puissances d’un nombre
* Puissances entières positives
Si on considère l’addition répétée d’un même nombre, il peut être plus simple de faire un regroupement, en définissant la multiplication : 7 7 7 7 7 7 5+ + + + = ×
De même, la multiplication répétée d’un même nombre pourra être simplifiée en utilisant une puissance : 7 7 7 7 7 7× × × × = 5 qui se lit « 7 puissance 5 » ; le nombre 5 est placé en exposant
Définition : le nombre an (« a puissance n ») est le produit de a par lui-même, n fois.
a a × × × × = ⋯ a a a
n où n est un entier naturel (0, 1, 2, 3, …)Cas particuliers : a3 = a×a×a se dit « a au cube »; a2 = a×a se dit « a au carré »;
a1 = a ; a0 = 1
* Puissances entières négatives
Définition : le nombre a−n (« a puissance moins n ») est l’inverse de an.
1 1
n
a
na a a a a
−
= =
× × × × ⋯
où n est un entier naturel (0, 1, 2, 3, …) et a≠0.
* Propriétés algébriques (règles de calcul)
Si n et p sont deux entiers relatifs (c’est-à-dire positifs ou négatifs), et a et b deux nombres quelconques (non nuls s’ils forment un dénominateur) :
propriétés exemples
n p n p
a × a = a
+ 72× = × × × × =73(
7 7) (
7 7 7)
75( )
6 4 1 2
7 7 7 7 7 7 7 7 7
7 7 7 7
× − = × × × × × × =
× × ×
n
n p p
a a a
=
−5
2 3
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3
× × × ×
= =
× ×
( ) ( )
2
8 6
5 5 5
5 5 5 5 5 5 5 5 5
5 1
5 5 5 5 5 5
−
= × = × × × × × × × =
× × × × ×
on voit aussi dans ce deuxième exemple que :
ap a−p
diviser par , c’est multiplier par
( ) an p = a
n p× ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
52 4 = 52 × 52 × 52 × 52 = × × × × × × × =(
5 5) (
5 5) (
5 5) (
5 5)
58
( ) ( ) ( ) ( )
5−2 3= 5−2 × 5−2 × 5−2 = 512×512 ×512 =52× ×512 52 =516 =5−6( )
nn n
a × b = a b ×
72× = × × × = × × × = ×32(
7 7) (
3 3) (
7 3) (
7 3)
21 21 21= 2Ꙭ Attention : les formules sont valables lorsqu’elles font appel à des multiplications. On ne peut pas les transposer à des cas d’addition. Il suffit de constater par exemple que (2 + 3)² vaut 5², donc 25, alors que 2² + 3² = 4 + 9 = 13. Ainsi, par exemple : (a + b)n≠ an + bn
Ꙭ Attention : les puissances n’affectent que ce qu’elles touchent : un élément ou un bloc mis entre parenthèses. Ex : dans 3×5², 3 n’est pas au carré, et le résultat est 75, alors que (3×5)² = 15² = 225.
n facteurs
n facteurs
4ème CALCUL COURS-Ex
11 1.8.2 Particularités des puissances de 10
Lorsqu’on met le nombre 10 à une certaine puissance, les définitions et propriétés précédentes restent vraies (puisqu’elles le sont pour tout nombre).
Par contre, comme nous écrivons nos nombres en base 10, certaines écritures sont remarquables :
2 3 5
9
10 10 10 100 ; 10 10 10 10 1000 ; 10 10 10 10 10 10 100 000 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1000 000 000
= × = = × × = = × × × × =
= × × × × × × × × = 10n possède n zéros.
2 1 3 1 6 1
10 0,01 ; 10 0,001 ; 10 0,000001
100 1000 1000 000
− = = − = = − = = 10-npossède n zéros.
Puissances
de 10 Préfixe sens Symbole exemple écriture sans puissance de 10 109 Giga milliard G 1,2 GW : 1,2 gigawatts 1 200 000 000 watts
106 Méga million M 53 Mo : 53 mégaoctets 53 000 000 octets*
103 Kilo millier k 25 kg : 25 kilogrammes 25 000 grammes
102 Hecto centaine h 12,5 hL : 12,5 hectolitres 1 250 L
101 Déca dizaine da 6 dam : 6 décamètres 60 m
100 = 1 : unité
10-1 Déci dixième d 5,4 dg : 5,4 décigrammes 0,54 gramme
10-2 Centi centième c 35 cm : 35 centimètres 0,35 mètre
10-3 Milli millième m 12 mA : 12 milliampères 0,012 ampère
10-6 Micro millionième µ 64 µg : 64 microgrammes 0,000 064 gramme 10-9 Nano milliardième n 4 nm : 4 nanomètres 0,000 000 004 mètre
*en fait, 1 ko = 1024 o et 1 Mo = 1024 ko
* Notation scientifique d’un nombre
Prenons une quantité quelconque : N = 250 m. Cette même quantité peut être exprimée dans diverses unités. Quelques exemples : N = 250 000 mm = 250 m = 2,5 hm = 0,25 km = etc.
En utilisant des puissances de 10 et en se basant sur l’unité « mètre », ces exemples s’écrivent : N = 250 000 × 10-3m = 250 m = 2,5 × 102m = 0,25 × 103m = etc.
Définition : Exprimer un nombre N en notation scientifique, c’est l’écrire sous la forme : N= ×a 10n où 1≤ <a 10 et n est un entier relatif
Exemples : 250 = 2,5 × 102 6 000 = 6 × 103 22 600 = 2,26 × 104
2,5 centaines 6 milliers 2,26 dizaines de milliers
0,2 = 2 × 10-1 0,0035 = 3,5 × 10-3 0,00004 = 4 × 10-5
2 dixièmes 3,5 millièmes 4 cent-millièmes
On peut remarquer que déterminer le nombre a tel que 1≤ <a 10 revient à déplacer n fois la virgule du nombre N. Si ce décalage se fait vers la gauche, la puissance sera positive, et s’il est vers la droite, la puissance sera négative.
Ꙭ Attention : la calculatrice (pour la plupart des modèles) n’utilise pas la notation 10n, mais la remplace par « En » (lorsqu’elle emploie le mode scientifique d’écriture d’un nombre).
Par exemple, le nombre 3 000 000, soit 3×106, sera écrit (en mode scientifique) 3E06.
Piège : cela ne signifie pas « 3 exposant 6 » (nombre qui vaudrait 36 = 729), mais bien 3×106 ! Les grands nombres (ceux qui ne rentrent pas dans l’écran) seront automatiquement écrits en notation scientifique par une calculatrice : 5 000 000 x 3 000 000 donnera 1.5E13.
4ème CALCUL COURS-Ex
12 Exercices
1) Calculer
2³ × 3³ (2×3)³ 4² + 5² (4+5)² (2²)³
3 5 2 2 4 2 4 2 4 2
2
2 2 5 3 3 3
2 5 5 5 3 5 3 2 4
2 2 4 2 5 5 2
−
−
× + ×
2) QCM : pour tout réel a :
a. a3 + a5 = a8 b. a3 × a5 = a8 c. a3 × a5 = a15 d. a3 + a5 = 2a8 3) QCM : (-3a)² est égal à…
a. -9a² b. (3a)² c. 9a² d. 6a² e. -3a²
4) Grâce à la deuxième propriété du tableau page 10, montrer que a0 = 1.
5) Écrire en chiffres : 10², 10³, 106, 10-3, 10-6.
6) Écrire les nombres 2 300 ; 55 000 ; 0,02 ; 0,00015 en notation scientifique (s’aider de la calculatrice) 7) Calculer : 105×102 ; 105:102 ; 10-3×106 ; 10-4×10-2
8) Donner l'écriture scientifique correcte des nombres suivants :
35 000 000 0,000078 2 580.10-30 47 500.102 68,5.10-5 0,000127.10-27 9) Faire les calculs suivants et écrire les résultats en notation scientifique :
a. 2,5×103 + 3×102 b. (2,5×103) × (3×102) c. 2,5×103 - 3×102 d. (2,5×103):(3×102) 10)
a. La distance Terre-Soleil est environ 150 millions de kilomètres. Écrire en notation scientifique (puissances de 10) le nombre de mètres correspondant. On appelle ce nombre "a".
b. Une feuille de papier a une épaisseur de 0,2 mm. Écrire en notation scientifique cette épaisseur en mètres. On appelle ce nombre "b".
c. Calculer, en utilisant seulement a et b, le nombre de feuilles qu'il faudrait empiler pour atteindre le Soleil.