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4ème CALCUL COURS-Ex 10

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

4ème CALCUL COURS-Ex

10 1.8 Puissances

1.8.1 Puissances d’un nombre

* Puissances entières positives

Si on considère l’addition répétée d’un même nombre, il peut être plus simple de faire un regroupement, en définissant la multiplication : 7 7 7 7 7 7 5+ + + + = ×

De même, la multiplication répétée d’un même nombre pourra être simplifiée en utilisant une puissance : 7 7 7 7 7 7× × × × = 5 qui se lit « 7 puissance 5 » ; le nombre 5 est placé en exposant

Définition : le nombre an (« a puissance n ») est le produit de a par lui-même, n fois.

a a × × × × = ⋯ a a a

n où n est un entier naturel (0, 1, 2, 3, …)

Cas particuliers : a3 = a×a×a se dit « a au cube »; a2 = a×a se dit « a au carré »;

a1 = a ; a0 = 1

* Puissances entières négatives

Définition : le nombre an (« a puissance moins n ») est l’inverse de an.

1 1

n

a

n

a a a a a

= =

× × × × ⋯

où n est un entier naturel (0, 1, 2, 3, …) et a≠0.

* Propriétés algébriques (règles de calcul)

Si n et p sont deux entiers relatifs (c’est-à-dire positifs ou négatifs), et a et b deux nombres quelconques (non nuls s’ils forment un dénominateur) :

propriétés exemples

n p n p

a × a = a

+ 72× = × × × × =73

(

7 7

) (

7 7 7

)

75

( )

6 4 1 2

7 7 7 7 7 7 7 7 7

7 7 7 7

× = × × × × × × =

× × ×

n

n p p

a a a

=

5

2 3

3 3 3 3 3 3

3 3 3 3 3

× × × ×

= =

× ×

( ) ( )

2

8 6

5 5 5

5 5 5 5 5 5 5 5 5

5 1

5 5 5 5 5 5

= × = × × × × × × × =

× × × × ×

on voit aussi dans ce deuxième exemple que :

ap ap

diviser par , c’est multiplier par

( ) a

n p

= a

n p×

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

52 4 = 52 × 52 × 52 × 52 = × × × × × × × =

(

5 5

) (

5 5

) (

5 5

) (

5 5

)

58

( ) ( ) ( ) ( )

52 3= 52 × 52 × 52 = 512×512 ×512 =52× ×512 52 =516 =56

( )

n

n n

a × b = a b ×

72× = × × × = × × × = ×32

(

7 7

) (

3 3

) (

7 3

) (

7 3

)

21 21 21= 2

Ꙭ Attention : les formules sont valables lorsqu’elles font appel à des multiplications. On ne peut pas les transposer à des cas d’addition. Il suffit de constater par exemple que (2 + 3)² vaut 5², donc 25, alors que 2² + 3² = 4 + 9 = 13. Ainsi, par exemple : (a + b)n≠ an + bn

Ꙭ Attention : les puissances n’affectent que ce qu’elles touchent : un élément ou un bloc mis entre parenthèses. Ex : dans 3×5², 3 n’est pas au carré, et le résultat est 75, alors que (3×5)² = 15² = 225.

n facteurs

n facteurs

(2)

4ème CALCUL COURS-Ex

11 1.8.2 Particularités des puissances de 10

Lorsqu’on met le nombre 10 à une certaine puissance, les définitions et propriétés précédentes restent vraies (puisqu’elles le sont pour tout nombre).

Par contre, comme nous écrivons nos nombres en base 10, certaines écritures sont remarquables :

2 3 5

9

10 10 10 100 ; 10 10 10 10 1000 ; 10 10 10 10 10 10 100 000 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 1000 000 000

= × = = × × = = × × × × =

= × × × × × × × × = 10n possède n zéros.

2 1 3 1 6 1

10 0,01 ; 10 0,001 ; 10 0,000001

100 1000 1000 000

= = = = = = 10-npossède n zéros.

Puissances

de 10 Préfixe sens Symbole exemple écriture sans puissance de 10 109 Giga milliard G 1,2 GW : 1,2 gigawatts 1 200 000 000 watts

106 Méga million M 53 Mo : 53 mégaoctets 53 000 000 octets*

103 Kilo millier k 25 kg : 25 kilogrammes 25 000 grammes

102 Hecto centaine h 12,5 hL : 12,5 hectolitres 1 250 L

101 Déca dizaine da 6 dam : 6 décamètres 60 m

100 = 1 : unité

10-1 Déci dixième d 5,4 dg : 5,4 décigrammes 0,54 gramme

10-2 Centi centième c 35 cm : 35 centimètres 0,35 mètre

10-3 Milli millième m 12 mA : 12 milliampères 0,012 ampère

10-6 Micro millionième µ 64 µg : 64 microgrammes 0,000 064 gramme 10-9 Nano milliardième n 4 nm : 4 nanomètres 0,000 000 004 mètre

*en fait, 1 ko = 1024 o et 1 Mo = 1024 ko

* Notation scientifique d’un nombre

Prenons une quantité quelconque : N = 250 m. Cette même quantité peut être exprimée dans diverses unités. Quelques exemples : N = 250 000 mm = 250 m = 2,5 hm = 0,25 km = etc.

En utilisant des puissances de 10 et en se basant sur l’unité « mètre », ces exemples s’écrivent : N = 250 000 × 10-3m = 250 m = 2,5 × 102m = 0,25 × 103m = etc.

Définition : Exprimer un nombre N en notation scientifique, c’est l’écrire sous la forme : N= ×a 10n où 1≤ <a 10 et n est un entier relatif

Exemples : 250 = 2,5 × 102 6 000 = 6 × 103 22 600 = 2,26 × 104

2,5 centaines 6 milliers 2,26 dizaines de milliers

0,2 = 2 × 10-1 0,0035 = 3,5 × 10-3 0,00004 = 4 × 10-5

2 dixièmes 3,5 millièmes 4 cent-millièmes

On peut remarquer que déterminer le nombre a tel que 1≤ <a 10 revient à déplacer n fois la virgule du nombre N. Si ce décalage se fait vers la gauche, la puissance sera positive, et s’il est vers la droite, la puissance sera négative.

Ꙭ Attention : la calculatrice (pour la plupart des modèles) n’utilise pas la notation 10n, mais la remplace par « En » (lorsqu’elle emploie le mode scientifique d’écriture d’un nombre).

Par exemple, le nombre 3 000 000, soit 3×106, sera écrit (en mode scientifique) 3E06.

Piège : cela ne signifie pas « 3 exposant 6 » (nombre qui vaudrait 36 = 729), mais bien 3×106 ! Les grands nombres (ceux qui ne rentrent pas dans l’écran) seront automatiquement écrits en notation scientifique par une calculatrice : 5 000 000 x 3 000 000 donnera 1.5E13.

(3)

4ème CALCUL COURS-Ex

12 Exercices

1) Calculer

2³ × 3³ (2×3)³ 4² + 5² (4+5)² (2²)³

3 5 2 2 4 2 4 2 4 2

2

2 2 5 3 3 3

2 5 5 5 3 5 3 2 4

2 2 4 2 5 5 2

× + ×

2) QCM : pour tout réel a :

a. a3 + a5 = a8 b. a3 × a5 = a8 c. a3 × a5 = a15 d. a3 + a5 = 2a8 3) QCM : (-3a)² est égal à…

a. -9a² b. (3a)² c. 9a² d. 6a² e. -3a²

4) Grâce à la deuxième propriété du tableau page 10, montrer que a0 = 1.

5) Écrire en chiffres : 10², 10³, 106, 10-3, 10-6.

6) Écrire les nombres 2 300 ; 55 000 ; 0,02 ; 0,00015 en notation scientifique (s’aider de la calculatrice) 7) Calculer : 105×102 ; 105:102 ; 10-3×106 ; 10-4×10-2

8) Donner l'écriture scientifique correcte des nombres suivants :

35 000 000 0,000078 2 580.10-30 47 500.102 68,5.10-5 0,000127.10-27 9) Faire les calculs suivants et écrire les résultats en notation scientifique :

a. 2,5×103 + 3×102 b. (2,5×103) × (3×102) c. 2,5×103 - 3×102 d. (2,5×103):(3×102) 10)

a. La distance Terre-Soleil est environ 150 millions de kilomètres. Écrire en notation scientifique (puissances de 10) le nombre de mètres correspondant. On appelle ce nombre "a".

b. Une feuille de papier a une épaisseur de 0,2 mm. Écrire en notation scientifique cette épaisseur en mètres. On appelle ce nombre "b".

c. Calculer, en utilisant seulement a et b, le nombre de feuilles qu'il faudrait empiler pour atteindre le Soleil.

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