4ème GEOMETRIE COURS-Ex
4 2.4 Droite des milieux, Thalès
On exprime ici des relations entre le parallélisme et les longueurs, dans un triangle quelconque.
Théorèmes des milieux :
* Si une droite joint les milieux de deux côtés d’un triangle, alors elle est parallèle au troisième.
* Si une droite contient le milieu d’un côté et est parallèle à un autre,
alors elle coupe le troisième en son milieu.
* La longueur du segment joignant les milieux de deux côtés est la moitié de celle du troisième côté.
Remarque : tous ces résultats sont associés au fait qu’en utilisant les milieux des trois côtés, on scinde le triangle en quatre triangles superposables, deux fois plus petits que l’original.
« petit » théorème de Thalès :
Soit un triangle ABC et deux points B’ sur [AB] et C’ sur [AC] tels que (B’C’) et (BC) sont parallèles.
Alors ′ ′ ′ ′
= =
AB AC B C AB AC BC
Remarque : le fait que (B’C’) et (BC) soient parallèles implique que le triangle AB’C’ est un modèle réduit du triangle ABC :
les deux triangles ont les trois mêmes angles et leurs dimensions respectives sont proportionnelles.
exemples :
Si ′ AB =1
AB 2, Si
′= AB 1
AB 3, Si
′= AB 3
AB 4, alors ′
AC =1 AC 2 et
′ ′= B C 1
BC 2 : alors
′= AC 1
AC 3 et
′ ′= B C 1
BC 3 : alors
′= AC 3
AC 4 et
′ ′= B C 3
BC 4 : le triangle AB’C’ est deux fois le triangle AB’C’ est trois fois le triangle AB’C’ mesure plus petit que le triangle ABC. plus petit que le triangle ABC. les trois quarts de ABC.
/ /
||| |||
/ /
=
= =
=
||| |||
A
B C
B’ C’
A
B C
B’ C’
A
B C
B’ C’
A
B C
B’ C’
4ème GEOMETRIE COURS-Ex
5 Exercices
1) Soit un triangle ABC avec AB = 5 cm, AC = 7 cm et BC = 6 cm. Soit B’ le milieu de [AB] et C’ celui de [AC].
Calculer la distance B’C’.
2) Soit un triangle ABC rectangle en B et M le milieu de [AC] . La perpendiculaire à [BC] contenant M coupe [BC] en N. Montrer que N est le milieu de [BC].
3) Soit ABCD un quadrilatère quelconque. Démontrer que le quadrilatère joignant les milieux de ses côtés est un parallélogramme !
4) Soit un triangle ABC tel que BC = 6 cm. Soit B’ sur [AB] et C’ sur [AC] tels que (B’C’) et (BC) sont parallèles, BB’ = 2 cm, CC’ = 3 cm et B’C’ = 4,5 cm. Déterminer les longueurs AB et AC.
5) Soit un segment [AB] de longueur 5 cm et un point C extérieur à la droite (AB).
Construire le point A’ sur la demi-droite [CA), tel que AA’ = 2 × CA ; construire le point B’ sur la demi-droite [CB), tel que BB’ = 2 × CB.
Les droites (AB) et (A’B’) sont-elles parallèles ? Combien vaut la distance A’B’ ?
6) Soit un triangle ABC de centre de gravité G. Soit B’ un point du côté [AB] tel que [B’G] soit parallèle à [BC]. Montrer que AB′ = ×2 AB
3 . (voir partie suivante sur les médianes)
7) Michel et Philippe veulent mesurer la taille de la Tour Eiffel. Michel place ses yeux au point O (au sol), et Philippe se tient debout, vertical, à une position qui fait que Michel voit le haut de la tête de Philippe correspondre avec le haut de la Tour Eiffel. Philippe mesure 1,67 m. Par ailleurs, les distances
horizontales sont indiquées sur le schéma. En utilisant la propriété de Thalès, montrez comment Michel va calculer A'B' : hauteur de la tour.
