FONCTIONS : CONTINUITE ET DERIVATION I.

FONCTIONS : CONTINUITE ET DERIVATION

I. Continuité d une fonction.

f est une fonction définie sur un intervalle I. Si la courbe représentative de f sur I peut être tracée sans lever le crayon, on dit que la fonction f est ... sur l intervalle I.

-3 -2 -1 0 1 2 3

-4 -2 0 2

-3 -2 -1 0 1 2 3

-4 -2 0 2 4

Les fonctions usuelles (polynômes, racine carrée, inverse) sont continues sur les intervalles sur lesquels elles sont définies.

II. Continuité et résolution d équations.

1. Théorème des valeurs intermédiaires.

Théorème des valeurs intermédiaires (admis) : Soit f une fonction continue sur un intervalle [a ; b]; et k un réel compris entre f(a) et f(b). Alors l’équation f(x) = k admet au moins une solution dans l’intervalle [a ; b].

Graphiquement :

.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

-1 2 3 4

0 1

1

x y

2. Cas d une fonction strictement monotone.

Théorème : Soit f une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b]; et k un réel compris entre f(a) et f(b). Alors l’équation f(x) = k admet exactement une solution dans l’intervalle [a ; b].

Graphiquement :

Application :

On conviendra que les flèches obliques d’un tableau de variation traduisent la continuité et la stricte monotonie de la fonction sur l’intervalle considéré.

La fonction f définie sur [ 4 5] admet le tableau de variation suivant :

x 4 2 5 f(x)

2 7 3

1. Déterminer, en justifiant le nombre de solutions de l équation f(x) 4.

2. Déterminer, en justifiant le nombre de solutions de l équation f(x) 5.

3. Déterminer, en justifiant le nombre de solutions de l équation f(x) 0.

4. Donner le tableau de signes de la fonction f.

III. Dérivation

1. Formules de dérivation.

fonction fonction dérivée

k (fonction constante) mx p (fonction affine)

x xⁿ 1 x x

u v

ku u v

1 u u v u²

2. Dérivation et tangente.

Définition et propriété : Soient f une fonction dérivable en un point a de son ensemble de définition et C_f sa courbe représentative dans un repère. La tangente à Cf au point A d’abscisse a est la droite de coefficient directeur f ’(a) qui passe par A.

Cette tangente a pour équation ...

Exemple :

Soit f la fonction définie sur par f(x) 0,5x² x 2. Déterminer une équation de la tangente T à la courbe de f au point d abscisse 2.

3. Dérivation et variations.

Théorème (admis) : Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.

f est croissante sur I si et seulement si, pour tout x de I, f (x) 0.

f est décroissante sur I si et seulement si, pour tout x de I, f (x) 0.

f est constante sur I si et seulement si, pour tout x de I, f (x) 0.

Exemple 1.

Voici la courbe d une fonction f définie sur [ 4 ; 2] : 1. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

2. Donner le signe de f ′(1,5) et de f ′( 2)

3. Dresser le tableau de signes de f .

Exemple 2.

f est une fonction. On donne ci-dessous la courbe de sa fonction dérivée f .

1. Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier.

a) f ' est positive sur [ 1 3].

b) f est croissante sur [1 3].

c) f est décroissante sur [ 1 1].

d) La tangente à la courbe Cf au point d'abscisse −1 est parallèle à l'axe des abscisses.

2. Dresser le tableau de variation de la fonction f.

Exemple 3.

f est la fonction définie sur par f(x) = x³ 3x² 9x 1.

Déterminer f (x) où f est la fonction dérivée de f sur puis dresser le tableau de variation de f sur .

Exemple 4.

f est la fonction définie sur {2} par f(x) = 3x 4 x 2 .

Déterminer f (x) où f est la fonction dérivée de f sur {2} puis dresser le tableau de variation de f sur {2}.