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Chapitre 04 :
ADDITION – SOUSTRACTION - MULTIPLICATION
I) Additions et soustractions :
1) Définitions : Somme – différence – termes
On appelle somme le résultat d’une addition et différence le résultat d’une soustraction.
Dans une addition (ou dans une soustraction), les nombres que l’on additionne (ou que l’on
soustrait) s’appellent des termes.Exemples :
1. Dans une addition : 𝟑𝟓, 𝟖+𝟏𝟕, 𝟐=𝟓𝟑
2. Dans une soustraction : 𝟏𝟔, 𝟒−𝟕, 𝟑=𝟗, 𝟏
Exercice : Calculer :
a) La somme de 7 et de 11 b) La différence entre 97 et 13.
2) Propriétés :
Dans une addition, on peut changer l’ordre des termes sans changer le résultat.
Dans une addition, on peut regrouper les termes de différentes façons sans changer le résultat.
Exemples :
Changement d’ordre des termes L’addition : 8 + 5 + 4 = 17 peut s’écrire : 8 + 4 + 5 = 17 mais aussi : 5 + 8 + 4 = 17, etc.
Regroupement des termes
On cherche à effectuer le calcul suivant : 2,5 + 3 + 0,5 + 6.
Pour faciliter le calcul, on peut regrouper 2,5 et 0,5 puis 3 et 6 : 2,5 + 3 + 0,5 + 6 = 2,5 + 0,5 + 3 + 6
= 3 + 9 = 12 Exercice : Calculer astucieusement :
a) 14,5 + 3,2 + 12,8 + 2,5 b) 126 + 325 + 14 + 22 + 75 Remarque :
On ne peut pas changer l’ordre des termes dans une différence.
En effet : 8 − 5 = 3 alors qu’on ne sait pas calculer 5 − 8 en classe de 6ème.
3) Propriété :
Pour calculer une suite d’opérations avec des parenthèses, on effectue d’abord les calculs entre parenthèses.
Exemples :
A = 159 − (𝟏𝟐 + 𝟓𝟏) A = 159 −𝟔𝟑
A = 96
B = (𝟖𝟗, 𝟑 − 𝟓𝟐, 𝟏) − (𝟒, 𝟐 + 𝟑, 𝟕) B = 𝟑𝟕, 𝟐−𝟕, 𝟗
B = 29,3 Exercice : Calculer les expressions suivantes :
a) 24 − (8 + 13) + 3 + 7 b) 24 − 8 + (13 + 3) + 7 c) 24 − (8 + 13 + 3 + 7)
Termes Somme Termes Différence
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4) Méthode : Poser une addition ou une soustraction
Onposeuneaddition(ouunesoustraction)enalignantlescolonnescommedansuntableaudenumération:
Exemples :
1. Calculer 145 + 78,1 en posant : 1 4 5 , 0
+ 7 8 , 1 2 2 3 , 1
2. Calculer 145 − 78,1 en posant : 1 4 5 , 0
− 7 8 , 1 0 6 6 , 9 Exercice : Poser et effectuer l’addition 3,42 + 1,3.
5) Définition : Ordre de grandeur
Un ordre de grandeur d’une somme ou d’une différence est une valeur approchée du résultat.
Il est obtenu en remplaçant chacun des termes par des nombres proches et faciles à calculer.
Un ordre de grandeur se détermine mentalement et permet de prévoir ou de vérifier la cohérence d’un résultat.
Exemples :
Pour estimer un ordre de grandeur de la somme suivante : 392 + 203 + 489, on procède en deux étapes : 1. on remplace chacun des termes par un nombre plus simple :
392 est proche de 400, 203 est proche de 200, 489 est proche de 500.
2. on calcule la somme des nombres trouvés : 400 + 200 + 500 = 1100
Exercice :
En utilisant un ordre de grandeur de l’expression : 13 278,837 + 1 987,54 + 4 876,3 – 1 089,5 Retrouver parmi les propositions suivantes celle qui correspond au résultat.
a. b. c. d.
Remarque :
Pour vérifier la cohérence d’un résultat (somme, différence, …), il est possible conseillé de calculer un ordre de grandeur sans que cela soit stipulé dans l’énoncé.
1. On aligne les chiffres de la partie entière (les unités sous les unités, les dizaines sous les dizaines, …) ; On place les virgules sous les virgules ;
Pour la partie décimale, on procède de la même façon (les dixièmes sous les dixièmes, les centièmes sous les centièmes, …).
2. On effectue l’addition (ou la soustraction) comme on le ferait avec des nombres entiers.
3. Dans le résultat, on n’oublie pas de placer la virgule sous les autres virgules.
1 1
1 1 1 1 1 1
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II) Multiplications :
1) Définitions : Produit – facteurs
On appelle produit le résultat d’une multiplication.
Dans une multiplication, les nombres que l’on multiplie s’appellent des facteurs.
Exemple :
Dans un produit : 𝟏𝟓, 𝟐×𝟑, 𝟓=𝟓𝟑, 𝟐
Exercice : Calculer :
a) Le produit de 25 par 4.
2) Propriétés :
Dans un produit, on peut changer l’ordre des facteurs sans changer le résultat.
Dans un produit, on peut regrouper les facteurs de différentes façons sans changer le résultat.
Exemples :
Changement d’ordre des facteurs Le produit : 8 × 5 × 4 = 160 peut s’écrire : 8 × 4 × 5 = 160 mais aussi : 5 × 8 × 4 = 160 etc.
Regroupement des facteurs
On cherche à effectuer le calcul suivant : 10 × 3 × 2,5 × 4.
Pour faciliter le calcul, on peut regrouper 10 et 3 puis 2,5 et 4 : 10 × 3 × 2,5 × 4 = 10 × 3 × 2,5 × 4
= 30 × 10 = 300 Exercice : Calculer astucieusement :
a) 2 × 4 × 8 × 25 × 5
3) Propriété : Priorités opératoires
Dans un calcul où s’enchaînent plusieurs opérations, on doit suivre les règles de priorités suivantes.
On commence par effectuer dans l’ordre : 1) tous les calculs entre parenthèses ; 2) puis les multiplications ;
3) enfin les additions et les soustractions de gauche à droite.
Exemples :
18,5 + 3 × (7 − 4,6) 18,5 + 3 × 2,4 18,5 + 7,2 25,7
Donc 18,5 + 3 × (7 − 4,6) = 25,7
(2 + 3) × 5 5 × 5 25
Donc (2 + 3) × 5 = 5
Exercice :
Calculer les expressions suivantes :
a) 29 − (4 + 8) b) (13 + 8) − (7 + 11) c) 18 + 5 × 2 Facteurs Produit
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4) Propriété :
Lorsqu’on multiplie par 10 ; 100 ; 1 000 ; … le résultat devient 10 ; 100 ; 1 000 ; … fois plus grand.
→ Multiplier un nombre décimale par 10 ; 100 ; 1 000 ; … revient à décaler la virgule de un,
deux, trois, … rangs vers la droite en complétant avec des zéros si nécessaire.
Lorsqu’on multiplie par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; … le résultat devient 10 ; 100 ; 1 000 ; … fois plus petit.
→ Multiplier un nombre décimale par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; … revient à décaler la virgule de un,
deux, trois, … rangs vers la gauche en complétant avec des zéros si nécessaire.
Exemples :
Multiplier par 10 ; 100 ; 1 000 ; … 6,58 × 10 = 65,8
6,58 × 100 = 658 6,58 × 1 000 = 6 580
…
Multiplier par 0,1 ; 0,01 ; 0,001 ; … 123 × 0,1 = 12,3
123 × 0,01 = 1,23 123 × 0,001 = 0,123
… Exercice : Calculer :
a. 4,68 × 10 b. 832,47 × 10000 c. 42,95 × 0,1 d. 121,4 × 0,001
Remarque :
Lorsqu’un nombre est entier, on peut l’écrire sous forme décimale et appliquer les propriétés ci-dessus.
5) Méthode : Poser une multiplication
Pour poserune multiplication de deux nombres décimaux :
Exemple :
Calculer 25,18 × 3,9 en posant : 2 5, 1 8
× 3, 9
2 2 6 6 2 + 7 5 5 4
9 8, 2 0 2
Exercice :
Calculer 3,42 × 1,3 en posant.
Remarque :
Comme pour les sommes et les différences, il est conseillé de calculer un ordre de grandeur du résultat pour vérifier le placement de la virgule.
1. On aligne les derniers chiffres (sans tenir compte des virgules) ; 2. On effectue la multiplication sans tenir compte des virgules
(comme on la ferait avec des nombres entiers) ;
3. Pour savoir à combien de rangs on place la virgule dans le résultat, on additionne les nombres de chiffres après la virgule des deux facteurs.
+
7 1 4 2 1
2 chiffres après la virgule 1 chiffre après la virgule
3 chiffres après la virgule
